यदि अवकल समीकरण x y^{prime}=y+x^2 sin x का हल | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.$x^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.

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$\alpha=\cot \frac{\alpha}{2}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.$x^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.यह $\frac{y}{x}$ का अवकलज है,अतः $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x} ight) = \sin x$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{y}{x} = -\cos x + c$.दिया है $y(\pi) = 0$,अतः $\frac{0}{\pi} = -\cos(\pi) + c \Rightarrow 0 = 1 + c \Rightarrow c = -1$.इस प्रकार,$y = -x \cos x - x$.$x = \alpha$ पर चरम मान के लिए,हम $\frac{d y}{d x} = 0$ रखते हैं।$\frac{d y}{d x} = -(\cos x - x \sin x) - 1 = -\cos x + x \sin x - 1 = 0$.$x = \alpha$ पर,$\alpha \sin \alpha - \cos \alpha - 1 = 0$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $\alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) - (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 0$.$2 \cos \frac{\alpha}{2} (\alpha \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0$.चूंकि $\cos \frac{\alpha}{2} 
eq 0$,इसलिए $\alpha \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = \cot \frac{\alpha}{2}$.

यदि अवकल समीकरण $x y^{\prime}=y+x^2 \sin x$ का हल,$y(\pi)=0$ की शर्त के अधीन $y=f(x)$ है और $f(x)$ का $x=\alpha$ पर चरम मान (extreme value) है,तो

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