TS EAMCET 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = \frac{1}{4} \left( 7 + \frac{1}{7} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{64}{7} \right) = \frac{16}{7}$.
હવે,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$,તેથી $\sqrt{x^2 - 1} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
આ કિંમતોને $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ માં મૂકતા:
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) - \frac{3}{\sqrt{7}}}$
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $m:n$ ગુણોત્તરમાં હોય તેની શરત $mnb^2 = ac(m+n)^2$ છે.
$(i)$ જો $\alpha = \beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $1:1$ છે. સૂત્રમાં $m=1, n=1$ મૂકતા: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. જે $(E)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(ii)$ જો $\alpha = 2\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $2:1$ છે. $m=2, n=1$ મૂકતા: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. જે $(B)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(iii)$ જો $\alpha = 3\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $3:1$ છે. $m=3, n=1$ મૂકતા: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. જે $(D)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(iv)$ જો $\alpha = \beta^2$ હોય,તો $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ મૂકતા,આપણને $\beta^2 + \beta = -b/a$ અને $\beta^3 = c/a$ મળે. તેથી $\beta = (c/a)^{1/3}$. આને $\beta^2 + \beta = -b/a$ માં મૂકતા: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ વડે ગુણતા: $a(c/a)^{2/3} + a(c/a)^{1/3} = -b \Rightarrow (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. જે $(A)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $(i)-E, (ii)-B, (iii)-D, (iv)-A$ છે.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^3+2x^2-4x+1=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવા માંગીએ છીએ જેના બીજ $3\alpha, 3\beta, 3\gamma$ હોય.
ધારો કે $y = 3x$,જેનો અર્થ છે $x = \frac{y}{3}$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = \frac{y}{3}$ મૂકતા:
$(\frac{y}{3})^3 + 2(\frac{y}{3})^2 - 4(\frac{y}{3}) + 1 = 0$
$\frac{y^3}{27} + \frac{2y^2}{9} - \frac{4y}{3} + 1 = 0$
આખા સમીકરણને $27$ વડે ગુણતા:
$y^3 + 6y^2 - 36y + 27 = 0$
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,જરૂરી સમીકરણ $x^3+6x^2-36x+27=0$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^3+x+1=0$ ના બીજો $\alpha, \beta, \gamma$ છે. ધારો કે $S_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$.
ન્યૂટનના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$x^3+p_1x^2+p_2x+p_3=0$ માટે,જ્યાં $p_1=0, p_2=1, p_3=1$:
$S_1 + p_1 = 0$ $\Rightarrow S_1 + 0 = 0$ $\Rightarrow S_1 = 0$.
$S_2 + p_1S_1 + 2p_2 = 0$ $\Rightarrow S_2 + 0(0) + 2(1) = 0$ $\Rightarrow S_2 = -2$.
$S_3 + p_1S_2 + p_2S_1 + 3p_3 = 0$ $\Rightarrow S_3 + 0(-2) + 1(0) + 3(1) = 0$ $\Rightarrow S_3 = -3$.
$S_4 + p_1S_3 + p_2S_2 + p_3S_1 = 0 \Rightarrow S_4 + 0(-3) + 1(-2) + 1(0) = 0$.
$S_4 - 2 = 0 \Rightarrow S_4 = 2$.

(A) આપેલ છે કે,$\arg \left(\frac{z-2}{z-6i}\right) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z = x + iy$.
આ સમીકરણ એવા બિંદુઓનો ગણ દર્શાવે છે જે $A(2, 0)$ અને $B(0, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડ પર $\frac{\pi}{2}$ ખૂણો આંતરે છે.
$\arg(z-2) - \arg(z-6i) = \frac{\pi}{2}$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y-6}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
$\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$1+AB = 0$ થાય.
$1 + \left(\frac{y}{x-2}\right)\left(\frac{y-6}{x}\right) = 0$.
$x(x-2) + y(y-6) = 0$.
$x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = 1+4i, z_2 = 3+i, z_3 = 1-i, z_4 = 2-3i$ છે.
સંકર સંખ્યા $z = a+bi$ નો માનાંક $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માનાંકની ગણતરી:
$m_1 = |1+4i| = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$
$m_2 = |3+i| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$
$m_3 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
$m_4 = |2-3i| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{2} < \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{17}$
તેથી,$m_3 < m_2 < m_4 < m_1$.

(C) આપણે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^n k(k+2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સરવાળાની અંદરના પદને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $k^2 + 2k$ મળે છે.
તેથી,$S = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(D) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ છે.
કૌંસની અંદર,આપણી પાસે $a=1$,$r=2$ અને $k$ પદો ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે,તેથી $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k-1)}{2-1} = 2^k-1$.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા,$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k-1}{k !}$ મળે છે.
આને બે સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકાય: $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !}$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = e^x - 1$.
પ્રથમ સરવાળા માટે,$x=2$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} = e^2 - 1$.
બીજા સરવાળા માટે,$x=1$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{k !} = e^1 - 1 = e - 1$.
આમ,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$.

(B) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}$.
તેથી,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1} \right) = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{7} \right) + \dots$
$S = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots$
$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ માટે $\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$.
તેથી,$S = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots) = 1 - (1 - \log_e 2) = 2 - \log_e 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરીને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\tan \theta + \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} + \frac{\tan \theta - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan \theta} = 3$.
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા:
$\tan \theta + \frac{8 \tan \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$\frac{9 \tan \theta - 3 \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$3 \left( \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} \right) = 3$.
$\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ હોવાથી,$3 \tan 3\theta = 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan 3\theta = 1$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2 \dots (i)$ છે.
જ્યારે કોઓર્ડિનેટ અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(X^2 - 2XY + Y^2) + \frac{3}{2}(X^2 + 2XY + Y^2) + (X^2 - Y^2) = 2$
$3X^2 + 3Y^2 + X^2 - Y^2 = 2$
$4X^2 + 2Y^2 = 2$
$2$ વડે ભાગતા,$2X^2 + Y^2 = 1$ મળે છે.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + y^2 = 1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $l, m, n$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
તેથી,$2m = l + n$.
રેખાનું સમીકરણ $lx + my + n = 0$ છે.
આપણે બિંદુ $(1, -2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$l(1) + m(-2) + n = 0$
$l - 2m + n = 0$
$l + n = 2m$
આ શરત $l, m, n$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાની શરત સાથે બંધ બેસે છે,તેથી રેખા હંમેશા બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું રેખા $x = 0$ થી અંતર $|x|$ છે અને રેખા $y = 0$ થી અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ ચાર ચરણોમાં ચાર રેખાખંડો દર્શાવે છે:
$1$) $x + y = 1$ જ્યાં $x > 0, y > 0$
$2$) $-x + y = 1$ જ્યાં $x < 0, y > 0$
$3$) $-x - y = 1$ જ્યાં $x < 0, y < 0$
$4$) $x - y = 1$ જ્યાં $x > 0, y < 0$
આ ચાર રેખાખંડો $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ બનાવે છે.
ચોરસ એ એક પ્રકારનો સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$P$ નો બિંદુપથ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=4$ અને $x+y=a$ ને સમઘાત બનાવવા માટે,આપણે રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ આ રીતે લખીએ છીએ:
$x^2+y^2-4\left(\frac{x+y}{a}\right)^2=0$
$a^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
આ લંબ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2a^2-8=0$
$a^2=4$
$a=\pm 2$
તેથી,$a$ નો જરૂરી ગણ $\{-2, 2\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2-10 x y+12 y^2+5 x-16 y-3=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=\lambda, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ મળે છે.
રેખાયુગ્મ દર્શાવવા માટેની શરત $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - \lambda(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36\lambda + 200 - 64\lambda - 75 + 75 = 0$.
$-100\lambda + 200 = 0$.
$100\lambda = 200$.
$\lambda = 2$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$
$x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$
$x_1+x_3=0, y_1+y_3=0, z_1+z_3=2n$
આ સમીકરણોને ઉકેલતા:
$x$ માટે: $x_1+x_2=2l, x_2+x_3=0, x_1+x_3=0 \implies x_1=l, x_2=l, x_3=-l$
$y$ માટે: $y_1+y_2=0, y_2+y_3=2m, y_1+y_3=0 \implies y_1=-m, y_2=m, y_3=m$
$z$ માટે: $z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_1+z_3=2n \implies z_1=n, z_2=-n, z_3=n$
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(l, -m, n), B(l, m, -n), C(-l, m, n)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈનો વર્ગ શોધતા:
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 0 + (2m)^2 + (-2n)^2 = 4m^2 + 4n^2$
$BC^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = (-2l)^2 + 0 + (2n)^2 = 4l^2 + 4n^2$
$CA^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = (2l)^2 + (-2m)^2 + 0 = 4l^2 + 4m^2$
તેમનો સરવાળો કરતા:
$AB^2+BC^2+CA^2 = (4m^2+4n^2) + (4l^2+4n^2) + (4l^2+4m^2) = 8(l^2+m^2+n^2)$
તેથી,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(A) આપેલ છે કે $E_k = \{(a, b) \in S : ab = k\}$ જ્યાં $k \geq 1$ અને $p_k = P(E_k)$.
નિદર્શાવકાશ $S$ માં કુલ $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે,તેથી સંભાવના $p_k = \frac{|E_k|}{36}$ દ્વારા મળે છે.
$k=1$ માટે: $E_1 = \{(1, 1)\}$,તેથી $|E_1| = 1$ અને $p_1 = \frac{1}{36}$.
$k=2$ માટે: $E_2 = \{(1, 2), (2, 1)\}$,તેથી $|E_2| = 2$ અને $p_2 = \frac{2}{36}$.
$k=4$ માટે: $E_4 = \{(1, 4), (4, 1), (2, 2)\}$,તેથી $|E_4| = 3$ અને $p_4 = \frac{3}{36}$.
$k=6$ માટે: $E_6 = \{(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)\}$,તેથી $|E_6| = 4$ અને $p_6 = \frac{4}{36}$.
$k=30$ માટે: $E_{30} = \{(5, 6), (6, 5)\}$,તેથી $|E_{30}| = 2$ અને $p_{30} = \frac{2}{36}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $p_1 = \frac{1}{36}$,$p_{30} = \frac{2}{36}$,$p_4 = \frac{3}{36}$,$p_6 = \frac{4}{36}$.
આમ,$p_1 < p_{30} < p_4 < p_6$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$\alpha+\beta=-2$ અને $\alpha^3+\beta^3=-56$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$.
$\alpha+\beta = -2$ મૂકતા,$-2(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta = 28$.
વળી,$(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = (-2)^2 = 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta) - (\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = 4 - 28$.
$3\alpha\beta = -24$,તેથી $\alpha\beta = -8$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-2)x + (-8) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+2x-8=0$ થાય છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં હોય તેની શરત $mnb^2 = ac(m+n)^2$ છે.
$(i)$ જો $\alpha = \beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $1:1$ છે. સૂત્રમાં $m=1, n=1$ મૂકતા: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. જે $(E)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(ii)$ જો $\alpha = 2\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $2:1$ છે. $m=2, n=1$ મૂકતા: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. જે $(B)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iii)$ જો $\alpha = 3\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $3:1$ છે. $m=3, n=1$ મૂકતા: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. જે $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iv)$ જો $\alpha = \beta^2$ હોય,તો $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ મૂકતા,આપણને $\beta^2 + \beta = -b/a$ અને $\beta^3 = c/a$ મળે. તેથી $\beta = (c/a)^{1/3}$. આ કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ વડે ગુણતા: $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. જે $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $i-E, ii-B, iii-D, iv-A$ છે.

(C) ધારો કે $z_1 = 1+4i, z_2 = 3+i, z_3 = 1-i$ અને $z_4 = 2-3i$.
સંકર સંખ્યા $z = a+bi$ નો માનાંક $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માનાંકની ગણતરી કરતા:
$m_1 = |1+4i| = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$
$m_2 = |3+i| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$
$m_3 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
$m_4 = |2-3i| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{2} < \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{17}$,જેનો અર્થ છે કે $m_3 < m_2 < m_4 < m_1$.

(B) આપેલ છે કે,${}^n P_r = 30240$ અને ${}^n C_r = 252$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^n P_r = {}^n C_r \times r!$.
કિંમતો મુકતા,$30240 = 252 \times r!$.
$r! = \frac{30240}{252} = 120$.
$120 = 5!$ હોવાથી,$r = 5$ મળે.
હવે,${}^n P_5 = \frac{n!}{(n-5)!} = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 30240$.
$n$ માટે કિંમતો ચકાસતા,$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ મળે છે.
આમ,$n = 10$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(10, 5)$ છે.

(C) ધારો કે $9$ બોક્સ $B_1, B_2, \dots, B_9$ છે અને $3$ નાના બોક્સ $B_1, B_2, B_3$ છે.
$5$ દડાઓ આ $3$ નાના બોક્સમાં સમાઈ શકતા નથી,તેથી તેમને બાકીના $6$ બોક્સમાં મૂકવા પડે.
આ $5$ દડાઓને $6$ બોક્સમાં ગોઠવવાની રીતો $^6P_5$ છે.
બાકીના $4$ દડાઓને બાકીના $4$ બોક્સમાં ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે.
કુલ ગોઠવણી = $^6P_5 \times 4! = 720 \times 24 = 17280$.

(C) આપેલ છે,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow [(1+x)(1+x^2)]^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
ધારો કે $f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
આપણે $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14} = \frac{f(1) + f(-1)}{2}$.
$f(1) = (1+1)^5 (1+1^2)^5 = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 1024$.
$f(-1) = (1-1)^5 (1+(-1)^2)^5 = 0^5 \times 2^5 = 0$.
તેથી,$\sum_{k=0}^7 a_{2k} = \frac{1024 + 0}{2} = 512$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= 2 \left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} \right)$
$= 2 \times 2 = 4$

(B) આપેલ છે કે $\alpha+\beta+\gamma=2 \theta$,તેથી $\theta = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$.
ધારો કે $S = \cos \theta + \cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)$.
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$S = [\cos \theta + \cos (\theta-\alpha)] + [\cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)]$
$S = 2 \cos \frac{2\theta-\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{2\theta-\beta-\gamma}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
$2\theta = \alpha+\beta+\gamma$ હોવાથી,$2\theta-\beta-\gamma = \alpha$ થાય.
$S = 2 \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [\cos \frac{\beta+\gamma}{2} + \cos \frac{\beta-\gamma}{2}]$
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [2 \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}]$
$S = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$A=35^{\circ}, B=15^{\circ}$ અને $C=40^{\circ}$.
અહીં $A+B+C = 35^{\circ} + 15^{\circ} + 40^{\circ} = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(A+B+C) = \tan(90^{\circ})$ જે અવ્યાખ્યાયિત છે.
$\tan(A+B+C)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$
આ પદ અવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A) = 0$
તેથી,$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x + 2 \cos^2 x = 2$
નિત્યસમ $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2 \cos^2 x - 1) + 2 \cos^2 x = 2$
$4 \cos^2 x = 3$
$\cos^2 x = \frac{3}{4}$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ જ્યાં $n \in Z$ છે.

(B) અક્ષોને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવતા,આપણે $(x, y)$ ને $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ દ્વારા બદલીએ છીએ.
આ કિંમતોને $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2 + y^2 = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $2x - 3y + k = 0$,$3x - 4y - 13 = 0$ અને $8x - 11y - 33 = 0$ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & k \\ 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(132 - 143) + 3(-99 + 104) + k(-33 + 32) = 0$
$2(-11) + 3(5) - k = 0$
$-22 + 15 - k = 0$
$-7 - k = 0$
$k = -7$

(C) આપેલ રેખાઓ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ વર્તુળના વ્યાસ હોવાથી,તેમનું છેદબિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ થશે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
બાદબાકી કરતા $y = -1$ મળે છે.
$y = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
તેથી,કેન્દ્ર $(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 7$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ પરના બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{S_1}}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $S_1$ એ બિંદુની વર્તુળ સાપેક્ષ ઘાત છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-5x+4y-2=0$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2 - (-2)} = \frac{7}{2}$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, 0)$ માટે $S_1 = (-1)^2 + (0)^2 - 5(-1) + 4(0) - 2 = 4$ મળે છે.
તેથી,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7/2}{\sqrt{4}}\right) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$.

(B) આપેલ વર્તુળનું ધ્રુવીય સમીકરણ $r^2-8r(\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta) + 15 = 0$ છે.
$r \cos \theta = x$ અને $r \sin \theta = y$ મૂકતા,અને $r^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$x^2 + y^2 - 8(\sqrt{3}x + y) + 15 = 0$
$x^2 + y^2 - 8\sqrt{3}x - 8y + 15 = 0$.
આને વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -4\sqrt{3}$,$f = -4$,અને $c = 15$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે.
$R = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + (-4)^2 - 15} = \sqrt{48 + 16 - 15} = \sqrt{49} = 7$.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(1, 2)$ ની પોલર રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
આ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી આ રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(\alpha, \beta)$ શોધતા:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{(1 + 2 - 1)}{1^2 + 1^2} = -1$.
તેથી,$\alpha = 0$ અને $\beta = 1$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(0, 1)$ છે.

(D) બે રેખાઓ $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય તેની શરત $l_1n_2 + l_2n_1 = 2am_1m_2$ છે.
આપેલ રેખાઓ $2x + 3y + 12 = 0$ અને $x - y + 4\lambda = 0$ છે અને પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$ એટલે કે $a = 2$.
અહીં,$l_1 = 2, m_1 = 3, n_1 = 12$ અને $l_2 = 1, m_2 = -1, n_2 = 4\lambda$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(4\lambda) + 1(12) = 2(2)(3)(-1)$
$8\lambda + 12 = -12$
$8\lambda = -24$
$\lambda = -3$.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 3y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $(x^2 - 4x) - 3(y^2 + 2y) = 11$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 4x + 4) - 3(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4 - 3$.
$(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12$.
$12$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$.
અહીં,$a^2 = 12$ અને $b^2 = 4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times \sqrt{12} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \times 2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = [x-3] + |x-4|$.
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $x = 3 - h$,જ્યાં $h \rightarrow 0$ અને $h > 0$.
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ([3 - h - 3] + |3 - h - 4|)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} ([-h] + |-1 - h|)$
કારણ કે $h$ એ ખૂબ જ નાની ધન સંખ્યા છે,$-h$ એ ખૂબ જ નાની ઋણ સંખ્યા છે,તેથી $[-h] = -1$.
વળી,$|-1 - h| = |-(1 + h)| = 1 + h$.
તેથી,$\lim_{h \rightarrow 0} (-1 + 1 + h) = 0$.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2+x^3}$
છેદનું અવયવીકરણ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2(1+x)}$
પદને ફરીથી ગોઠવતા: $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1-e^x}{x} \right) \times \left( \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \frac{1}{1+x} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
પદની કિંમત $(-1) \times (1) \times \left( \frac{1}{1+0} \right) = -1 \times 1 \times 1 = -1$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a+b+2c}{ab + ac + bc + c^2} = \frac{3}{a+b+c}$
ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab + ac + bc + c^2)$
$(a+b)^2 + c(a+b) + 2c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$ ની સરખામણી $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$ સાથે કરતા:
$ab = 2ab \cos C$
$\cos C = \frac{1}{2}$
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) વિધાન $(I)$ માટે:
$b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = b \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-b)}{ac} = \frac{s(s-c) + s(s-b)}{a} = \frac{s(2s - b - c)}{a} = \frac{s(a)}{a} = s$.
આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$ માટે:
આપેલ છે $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.
$\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$ હોવાથી,$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
તેથી,$\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
આ સૂચવે છે કે $\cos \frac{A}{2} = \cos \frac{B-C}{2}$,તેથી $\frac{A}{2} = \frac{B-C}{2} \implies A = B - C \implies A+C = B$.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2B = 180^{\circ} \implies B = 90^{\circ}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ વિધાન $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{2}$ છે,જે પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે કારણ કે છેદમાં $a$ હોવો જોઈએ. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
સમાન પદો બાદ કરતા: $a^2 + b^2 - c^2 = ab$
કોસાઇન નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ મૂકતા: $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
સૂત્ર મુજબ,$s-a = k, s-b = 2k, s-c = 3k$ લેતા,
$s = 6k$.
તેથી $a = 5k, b = 4k, c = 3k$.
હવે,$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(D) આપેલ છે $r_1=2 r_2=3 r_3$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b}$ પરથી,$s-b = 2s-2a \Rightarrow s = 2a-b$.
$\frac{1}{s-a} = \frac{3}{s-c}$ પરથી,$s-c = 3s-3a \Rightarrow 2s = 3a-c$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ ને આ સમીકરણોમાં મૂકતા:
$a+b+c = 4a-2b \Rightarrow 3a-3b = c$.
$a+b+c = 3a-c \Rightarrow 2a-b = 2c$.
ગુણોત્તર શોધતા:
$3a-3b = c$ અને $2a-b = 2c$ પરથી,$2(3a-3b) = 2a-b$ $\Rightarrow 6a-6b = 2a-b$ $\Rightarrow 4a = 5b$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$.
ત્યારબાદ $c = 3a-3b = 3a - 3(\frac{4a}{5}) = 3a - \frac{12a}{5} = \frac{3a}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ અને $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$,તેથી $\frac{b}{c} = \frac{b}{a} \times \frac{a}{c} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$.
અંતે,$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}$.
$\theta = \frac{x}{2}$ મૂકતા,આપણને $\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1+\tanh \frac{x}{2}}{1-\tanh \frac{x}{2}} = \frac{1+\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}{1-\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}$
$= \frac{\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2}}$
વ્યાખ્યા $\cosh \theta = \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2}$ અને $\sinh \theta = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2} = e^{x/2}$
$\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2} = e^{-x/2}$
તેથી,પદાવલિ $\frac{e^{x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2 - (-x/2)} = e^x$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\left(a+\frac{b}{10}\right)^x = \left(\frac{a}{10}+\frac{b}{100}\right)^y = 1000$.
નોંધો કે $\frac{a}{10} + \frac{b}{100} = \frac{1}{10} \left(a + \frac{b}{10}\right)$.
ધારો કે $k = a + \frac{b}{10}$. તો આપેલ સમીકરણો $k^x = 1000$ અને $\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ થાય.
$k^x = 1000$ પરથી,$k = 1000^{1/x} = 10^{3/x}$ મળે.
$\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ પરથી,$\frac{k}{10} = 1000^{1/y} = 10^{3/y}$ મળે.
આમ,$k = 10 \cdot 10^{3/y} = 10^{1 + 3/y}$.
$k$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $10^{3/x} = 10^{1 + 3/y}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $\frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{y}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 1$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $AB$ એ $h$ ઊંચાઈની ટેકરી છે અને $CD$ એ $h^{\prime}$ ઊંચાઈનો સ્તંભ છે.
ધારો કે $E$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $ED$ સમક્ષિતિજ રહે.
$\triangle EBD$ માં,$\tan \alpha = \frac{BE}{ED} = \frac{h-h^{\prime}}{ED}$,તેથી $ED = \frac{h-h^{\prime}}{\tan \alpha}$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \beta = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{ED}$,તેથી $ED = \frac{h}{\tan \beta}$.
$ED$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h-h^{\prime}}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta}$
$h-h^{\prime} = \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta}$
$h^{\prime} = h - \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta} = h \left(1 - \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}\right) = \frac{h(\tan \beta - \tan \alpha)}{\tan \beta}$.

(C) આપેલ છે કે,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{7+1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{4}{\sqrt{7}}$.
તેથી,$x^2 = \frac{16}{7}$.
માટે,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$.
આમ,$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(B) ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. આપણને દરેક પેટી પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ આપેલી છે: $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,$P(B_3) = \frac{1}{6}$.
દરેક પેટીમાંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના:
$P(R|B_1) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
$P(R|B_2) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$
$P(R|B_3) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના:
$P(R) = P(B_1)P(R|B_1) + P(B_2)P(R|B_2) + P(B_3)P(R|B_3)$
$P(R) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{3}{7}\right)$
$P(R) = \frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{1}{14} = \frac{35 + 28 + 15}{210} = \frac{78}{210} = \frac{13}{35}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો લાલ દડો હોય તો તે પેટી $B_2$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|R) = \frac{P(B_2)P(R|B_2)}{P(R)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{13}{35}} = \frac{2}{15} \times \frac{35}{13} = \frac{2 \times 7}{3 \times 13} = \frac{14}{39}$.

(C) આપેલ છે કે,રેખા $1$ ના દિશા કોસાઇન $(l_{1}, m_{1}, n_{1}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
રેખા $2$ ના દિશા કોસાઇન $(l_{2}, m_{2}, n_{2}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2}|$ છે.
કિંમતો મુકતા:
$\cos \theta = \left|\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3 + 1 - 12}{16}\right| = \left|-\frac{8}{16}\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ છે.
વિધેય $f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ. પરંતુ,$f(x + \pi) = e^{2i(x+\pi)} = e^{2ix} \cdot e^{2i\pi} = e^{2ix} \cdot 1 = f(x)$. દરેક $x \in R$ માટે $f(x) = f(x+\pi)$ હોવાથી,આ વિધેય અનેક-એક છે.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$f$ નો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ. $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ નો વિસ્તાર એ $1$ માનાંક ધરાવતી તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે ${z \in C : |z| = 1}$. આ ગણ $C$ નો ઉપગણ છે અને $C$ જેટલો નથી,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) આપેલ વક્ર $y^4=a x^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$4 y^3 \frac{d y}{d x} = 3 a x^2$.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, a)} = \frac{3 a(a)^2}{4(a)^3} = \frac{3 a^3}{4 a^3} = \frac{3}{4}$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - a = -\frac{4}{3}(x - a)$.
$3$ વડે ગુણતા: $3y - 3a = -4x + 4a$.
પદોને ગોઠવતા: $4x + 3y = 7a$.

(D) આપેલ વક્રો $y^2=4x+4$ $(i)$ અને $y^2=36(9-x)$ (ii) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$4x+4 = 324-36x$
$40x = 320 \Rightarrow x=8$.
$x=8$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y^2 = 4(8)+4 = 36 \Rightarrow y = \pm 6$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(8,6)$ અને $(8,-6)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -36 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-18}{y}$.
બિંદુ $(8,6)$ પર:
$m_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ અને $m_2 = \frac{-18}{6} = -3$.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = \frac{1}{3} \times (-3) = -1$,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
આમ,વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $2y^4 = x^5$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$8y^3 \frac{dy}{dx} = 5x^4$.
તેથી,$(2, 2)$ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 2)} = \frac{5(2)^4}{8(2)^3} = \frac{5 \times 16}{8 \times 8} = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}$.
અસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
અસ્પર્શકની લંબાઈ $= \frac{2}{5/4} = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$.

(D) આપેલ સંકલન: $\int e^x(1+x) \cdot \sec^2(x e^x) \, dx = f(x) + C$.
ધારો કે $t = x e^x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = e^x + x e^x = e^x(1+x)$.
તેથી,$dt = e^x(1+x) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે: $\int \sec^2(t) \, dt$.
$\sec^2(t)$ નું સંકલન $\tan(t) + C$ થાય છે.
$t$ ની જગ્યાએ $x e^x$ મૂકતા,આપણને મળે: $\tan(x e^x) + C$.
આને $f(x) + C$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \tan(x e^x)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$.
અહીં $f(x) = \sin |x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = \sin |-x| = \sin |x| = f(x)$,તેથી આપણે ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આમ,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$.
અંતરાલ $[0, \pi / 2]$ માટે,$|x| = x$,તેથી $I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx$.
સંકલન કરતા,$I = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi / 2}$.
$I = 2 [-\cos(\pi / 2) - (-\cos(0))]$.
$I = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$.
$x = \sin^2 \theta$ લેતા,$dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{3/2} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot (2 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \cdot \cos \theta \cdot 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \cdot \left[ \frac{(3 \cdot 1) \cdot (1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$
$I = 2 \cdot \left[ \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{16}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y^2 d y = (x^3 + y^3) d x$ છે.
તેને $\frac{d y}{d x} = \frac{x^3 + y^3}{x y^2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = v x$,તેથી $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{x^3 + v^3 x^3}{x(v x)^2} = \frac{x^3(1 + v^3)}{x^3 v^2} = \frac{1 + v^3}{v^2}$.
$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^3}{v^2} - v = \frac{1 + v^3 - v^3}{v^2} = \frac{1}{v^2}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $v^2 d v = \frac{1}{x} d x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v^2 d v = \int \frac{1}{x} d x$.
$\frac{v^3}{3} = \log |x| + C$.
કારણ કે $\log |x| + C = \log |x| + \log c = \log |c x|$,તેથી $\frac{v^3}{3} = \log |c x|$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{3} \left(\frac{y}{x}\right)^3 = \log |c x|$ મળે છે.
તેથી,$y^3 = 3 x^3 \log |c x|$.

(B) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = e^x \sec x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cos x = \int (e^x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
કારણ કે $\sec x \cdot \cos x = 1$,તેથી:
$y \cos x = \int e^x dx + c$.
$y \cos x = e^x + c$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{b}$ છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{PR} = 5 \overrightarrow{PQ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}$ અને $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p} = 5(\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p})$
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = 5(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} - 5\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{r} = 5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$
આમ,$R$ નો સ્થાન સદિશ $5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(60, 3)$,$B(40, -8)$ અને $C(a, -52)$ છે. જો બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય અથવા રેખાખંડોના ઢાળ સમાન હોય.
નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને સમરેખતાની શરત:
$\left|\begin{array}{ccc} 60 & 3 & 1 \\ 40 & -8 & 1 \\ a & -52 & 1 \end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$60(-8 - (-52)) - 3(40 - a) + 1(40(-52) - (-8)a) = 0$
$60(44) - 120 + 3a - 2080 + 8a = 0$
$2640 - 120 - 2080 + 11a = 0$
$440 + 11a = 0$
$11a = -440$
$a = -40$

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$ છે.
હવે,$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(1) + (-2)(-3) + (-6)(-5) = -1 + 6 + 30 = 35$.
$\cos A = \frac{35}{\sqrt{41} \sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{41}}$.
તેથી,$\cos^2 A = \frac{35}{41}$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$.
બીજા સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{6}$ મૂકતા: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6 + 1 - 2}{6} = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. આપણી પાસે $x + y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $6t^2 - 5t + 1 = 0$.
$(2t - 1)(3t - 1) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(A)$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1}{3}$ હોઈ શકે છે.
તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(X = x) = 1$.
$\frac{1}{10} + k + \frac{1}{5} + 2k + \frac{3}{10} + k = 1$
અચળ પદો અને $k$ વાળા પદોનો સરવાળો કરતા:
$(\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10}) + (k + 2k + k) = 1$
$\frac{6}{10} + 4k = 1$
$4k = 1 - \frac{6}{10}$
$4k = \frac{10 - 6}{10}$
$4k = \frac{4}{10}$
$k = \frac{1}{10}$

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,તેથી:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
બંને બાજુને $e^{-\lambda} \lambda$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\lambda \neq 0$):
$1 = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 2$
હવે,આપણે $P(X=4)$ શોધવાનું છે:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} (2)^4}{24}$
$P(X=4) = \frac{16}{24 e^2} = \frac{2}{3 e^2}$

(C) આપેલ છે કે,$f(2)=4$ અને $f^{\prime}(2)=1$.
લક્ષની કિંમત મેળવવા માટે:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(x)}{x-2}$
અંશમાં $2f(2)$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(2)+2 f(2)-2 f(x)}{x-2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \left[ \frac{f(2)(x-2)}{x-2} - 2 \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \right]$
$L = f(2) - 2 \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
$L = f(2) - 2 f^{\prime}(2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = \lambda$ થવું જોઈએ.
લક્ષની ગણતરી કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}$
સૂત્ર $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin(2x) \sin(x)}{x^2}$
$= -2 \times \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin 2x}{x} \right) \times \left( \frac{\sin x}{x} \right)$
$= -2 \times 2 \times 1 = -4$.
આમ,$\lambda = -4$.

(B) આપેલ વક્ર $2x = y^2 - 1$ છે, જેને $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
વક્ર $x = 0$ એ $y$-અક્ષ છે.
વક્ર $2x = y^2 - 1$ અને $x = 0$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકો:
$0 = y^2 - 1 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
આમ, પ્રદેશ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં વક્રો વચ્ચેના અંતરના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} |x_{\text{right}} - x_{\text{left}}| dy = \int_{-1}^{1} |0 - \frac{y^2 - 1}{2}| dy = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy$.
કારણ કે વિધેય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે, આપણે લખી શકીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$.
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ \text{ચોરસ એકમ}}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ અને $f(t) = t^2 - 3t + 7$.
સૌ પ્રથમ,$A^2$ શોધો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix}$.
હવે,$f(A) = A^2 - 3A + 7I$ શોધો,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$:
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$f(A) + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો:
$\begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 7(1 - 0) - (-3)(-1 - 0) + (-3)(0 - (-1))$
$|A| = 7(1) + 3(-1) - 3(1) = 7 - 3 - 3 = 1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1$.
$C_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3, C_{22} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4, C_{23} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3$.
$C_{31} = +\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{32} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{33} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\operatorname{adj}(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.
છેલ્લે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_1$ માંથી $(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a+b+c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a+b+c) [1 \cdot (-(a+b+c)) \cdot (-(a+b+c))]$
$\Delta = (a+b+c) \cdot (a+b+c)^2 = (a+b+c)^3$.

(B) આપેલ છે કે,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}(A) + \cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
નિત્યસમ $\cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
ધારો કે $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \theta$,તો $\sin \theta = \frac{3}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}$.
આમ,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\right)$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{\sqrt{x^2-9}}{x} = \frac{4}{x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 - 9 = 16$,જે $x^2 = 25$ આપે છે.
$\sin ^{-1}$ ના પ્રદેશ મુજબ $|\frac{3}{x}| \le 1$ અને $|\frac{4}{x}| \le 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $|x| \ge 4$. આમ,$x = 5$.

(A) આપેલ છે કે,$f(x)=x^2-3$.
પ્રથમ,આપણે $(f \circ f \circ f)(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(-1) = (-1)^2 - 3 = -2$
$f(f(-1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(-1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
ત્યારબાદ,$(f \circ f \circ f)(0)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(0) = (0)^2 - 3 = -3$
$f(f(0)) = f(-3) = (-3)^2 - 3 = 6$
$f(f(f(0))) = f(6) = (6)^2 - 3 = 33$.
ત્યારબાદ,$(f \circ f \circ f)(1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(1) = (1)^2 - 3 = -2$
$f(f(1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$(f \circ f \circ f)(-1) + (f \circ f \circ f)(0) + (f \circ f \circ f)(1) = -2 + 33 - 2 = 29$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$f(4 \sqrt{2}) = (4 \sqrt{2})^2 - 3 = 32 - 3 = 29$.
આમ,આ પદાવલિ $f(4 \sqrt{2})$ બરાબર છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=|x|$ અને $g(x)=[x-3]$.
$-\frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}$ માટે,$f(x)=|x|$ નો વિસ્તાર $0 \leq f(x) < \frac{8}{5}$ છે,એટલે કે $0 \leq f(x) < 1.6$.
આપણે $g(f(x)) = [f(x)-3]$ ની કિંમતો શોધવાની છે.
કિસ્સો $1$: જો $0 \leq f(x) < 1$ હોય,તો $-3 \leq f(x)-3 < -2$ થાય. તેથી,$[f(x)-3] = -3$.
કિસ્સો $2$: જો $1 \leq f(x) < 1.6$ હોય,તો $-2 \leq f(x)-3 < -1.4$ થાય. તેથી,$[f(x)-3] = -2$.
આ કિસ્સાઓને જોડતા,કિંમતોનો ગણ $\{-3, -2\}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ અને $y=a \sin \theta$.
$x$ અને $y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} \right) = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right)$
$= a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$.
તેમજ,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(B) ધારો કે $f(x, y) = \sec z = \frac{x^4+y^4-8x^2y^2}{x^2+y^2}$.
અહીં $f(x, y)$ એ $n = 4 - 2 = 2$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,તેથી આયલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f(x, y) = 2 \sec z$.
હવે,$f = \sec z$ નું $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}$ મળે.
આ કિંમતો આયલરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}) + y (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}) = 2 \sec z$.
બંને બાજુ $\sec z \tan z$ વડે ભાગતા:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 \sec z}{\sec z \tan z} = 2 \cot z$.

(D) આપેલ છે કે,$y = \sin(\log_e x)$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે
$\frac{dy}{dx} = \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x}$
$x \frac{dy}{dx} = \cos(\log_e x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -\sin(\log_e x)$
કારણ કે $y = \sin(\log_e x)$,તેથી
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -y$

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (x-1)^2 + 3$ છે,જે અંતરાલ $x \in [-3, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 2(x-1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2(x-1) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
અહીં $x = 1$ એ અંતરાલ $[-3, 1]$ નો અંતિમ બિંદુ છે,તેથી આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને સીમાઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$x = 1$ માટે,$f(1) = (1-1)^2 + 3 = 3$.
$x = -3$ માટે,$f(-3) = (-3-1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $m = 3$ અને મહત્તમ કિંમત $M = 19$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M)$ એ $(3, 19)$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
ધારો કે $u = x^n$ અને $dv = e^{cx} \, dx$.
તેથી $du = n x^{n-1} \, dx$ અને $v = \frac{e^{cx}}{c}$ મળે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$.
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$.
કારણ કે $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$,તેથી:
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$.
બંને બાજુ $c$ વડે ગુણતા:
$c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$.
પદોને ગોઠવતા:
$c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.

(C) આપણને સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
ધારો કે $g(x) = -\cot \frac{x}{2}$. તો $g'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$ થાય.
સંકલન $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ સ્વરૂપમાં હોવાથી:
$I = e^x \left( -\cot \frac{x}{2} \right) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.
આમ,$f(x) = -e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-2y+1}{2(x-2y)}$.
ધારો કે $z = x-2y$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dz}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx})$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z+1}{2z}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$1 - \frac{dz}{dx} = \frac{z+1}{z} = 1 + \frac{1}{z}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$-\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}$,જેનું સાદું રૂપ $z dz = -dx$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int z dz = \int -dx$,જેનું પરિણામ $\frac{z^2}{2} = -x + C_1$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,$z^2 = -2x + 2C_1$,અથવા $z^2 + 2x = C$ (જ્યાં $C = 2C_1$).
$z = x-2y$ પાછા મૂકતા,આપણને $(x-2y)^2 + 2x = C$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+y}{xy+x}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y+1)}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{1+y}{y} dy = \frac{1+x}{x} dx$ મળે.
આને $(\frac{1}{y} + 1) dy = (\frac{1}{x} + 1) dx$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = \int (\frac{1}{x} + 1) dx$ મળે.
$\log|y| + y = \log|x| + x + C$.
પદોને ગોઠવતા,$y - x = \log|x| - \log|y| + C$.
$y - x = \log|\frac{x}{y}| + C$.
ધારો કે $C = \log c$,તો $y - x = \log|\frac{x}{y}| + \log c = \log|\frac{cx}{y}|$.
આમ,ઉકેલ $y - x = \log \left(\frac{cx}{y}\right)$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 3\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ શોધો:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \overrightarrow{a} \cdot (3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k})$.
કારણ કે $\overrightarrow{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\overrightarrow{a}| = 1$.
અદિશ ગુણાકાર $|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}| \cos \theta$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ નું માન $\sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ છે.
તેથી,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 1 \cdot \sqrt{59} \cdot \cos \theta$.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,જે $\sqrt{59}$ છે.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ છે.
$(i)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} = (1)(1) + (-1)(-1) + (1)(-1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
આમ,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$,જે $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
(ii) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
આમ,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}$,જે $(A)$ ને અનુરૂપ છે.
(iii) $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(1-1) - 1(-1-1) + 1(1+1) = 0 + 2 + 2 = 4$,જે $(F)$ ને અનુરૂપ છે.
(iv) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(-1-1) + \hat{k}(1+1) = 2\hat{j} + 2\hat{k}$,જે $(E)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચી જોડ $i-C, ii-A, iii-F, iv-E$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = \frac{1}{3}$.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ અને $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$ હોવાથી,$(1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$1 - (P(A) + P(B)) + P(A)P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{6}$ મૂકતા,$1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6+1-2}{6} = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. તો $x + y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ એ $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ બને છે.
$6t^2 - 5t + 1 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(3t - 1) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(A)$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1}{3}$ હોઈ શકે છે.