TS EAMCET 2008 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) એસિટિક એસિડ $(CH_3COOH)$ નું લિથિયમ એલ્યુમિનિયમ હાઇડ્રાઇડ $(LiAlH_4)$ સાથે રિડક્શન કરવાથી ઇથાઇલ આલ્કોહોલ $(CH_3CH_2OH)$ મળે છે.
$CH_3COOH \xrightarrow{LiAlH_4} CH_3CH_2OH$
એસિટિક એસિડનું $HI$ અને લાલ $P$ સાથે રિડક્શન કરવાથી ઇથેન $(CH_3-CH_3)$ મળે છે.
$CH_3COOH \xrightarrow{\text{Red } P + HI} CH_3-CH_3$
તેથી,પ્રક્રિયક $A$ એ $LiAlH_4$ છે અને પ્રક્રિયક $B$ એ $HI +$ લાલ $P$ છે.

(D) ઇથાઇલ આલ્કોહોલ $(C_2H_5OH)$ સાથે હાઇડ્રોજન હેલાઇડ $(HX)$ ની પ્રતિક્રિયામાં $C-O$ બંધનું વિભાજન થાય છે,જે હેલાઇડ આયન $(X^-)$ ના ન્યુક્લિયોફિલિક હુમલા દ્વારા સરળ બને છે.
જેમ હેલાઇડ આયનનું કદ $F^-$ થી $I^-$ તરફ વધે છે,તેમ $H-X$ બંધની બંધ વિયોજન ઉર્જા ઘટે છે અને હેલાઇડ આયનની ન્યુક્લિયોફિલીસીટી વધે છે.
તેથી,ઇથાઇલ આલ્કોહોલ પ્રત્યે હાઇડ્રોજન હેલાઇડની પ્રતિક્રિયાશીલતાનો ક્રમ આ મુજબ છે: $HI > HBr > HCl > HF$.

(B) એસીટોન $(CH_3COCH_3)$ ની મિથાઈલ મેગ્નેશિયમ બ્રોમાઈડ $(CH_3MgBr)$ સાથેની પ્રક્રિયા એ ન્યુક્લિયોફિલિક યોગશીલ પ્રક્રિયા છે.
એસીટોન $CH_3MgBr$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને એક યોગશીલ સંકીર્ણ $(CH_3)_3COMgBr$ બનાવે છે.
આ સંકીર્ણ,એસિડિક જળવિભાજન (એસિડ સાથે વિઘટન) પર,તૃતીયક આલ્કોહોલ $X$ આપે છે,જે $2$-મિથાઈલપ્રોપેન-$2$-ઓલ અથવા ટર્ટ-બ્યુટાઈલ આલ્કોહોલ,$(CH_3)_3COH$ છે,સાથે $Mg(OH)Br$ મળે છે.
પ્રક્રિયા: $(CH_3)_2C=O + CH_3MgBr$ $\rightarrow (CH_3)_3COMgBr$ $\xrightarrow{H_3O^+} (CH_3)_3COH + Mg(OH)Br$.

(A) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,આંટાની સંખ્યા $(N)$ અને પ્રવાહ $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{N_P}{N_S} = \frac{I_S}{I_P}$
આપેલ છે:
$N_P = 50$
$N_S = 200$
$I_P = 4 ~A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{50}{200} = \frac{I_S}{4}$
$\frac{1}{4} = \frac{I_S}{4}$
$I_S = 1 ~A$
તેથી,સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પ્રવાહ $1 ~A$ છે.

(C) ઈથર દ્રાવકમાં લિથિયમ એલ્યુમિનિયમ હાઈડ્રાઈડ $(LiAlH_4)$ સાથે નાઈટ્રોબેન્ઝીનનું રિડક્શન કરવાથી મુખ્ય નીપજ તરીકે એઝોબેન્ઝીન મળે છે. આ પ્રક્રિયામાં નાઈટ્રોબેન્ઝીનના બે અણુઓનું જોડાણ થાય છે.
$2C_6H_5NO_2 \xrightarrow{LiAlH_4} C_6H_5-N=N-C_6H_5$ (એઝોબેન્ઝીન)

(A) સુક્રોઝનું મંદ જલીય સલ્ફ્યુરિક એસિડની હાજરીમાં જળવિભાજન થતા $D-(+)$-ગ્લુકોઝ અને $D-(-)$-ફ્રુક્ટોઝનું સમાન મોલર મિશ્રણ મળે છે.
$C_{12}H_{22}O_{11} + H_2O$ $\xrightarrow{H_2SO_4} C_6H_{12}O_6 (D-(+)\text{-ગ્લુકોઝ}) + C_6H_{12}O_6 (D-(-)\text{-ફ્રુક્ટોઝ})$
આ પ્રક્રિયામાં બંને મોનોસેકેરાઈડ્સ $1: 1$ ના પ્રમાણમાં મળે છે.
$D-(-)$-ફ્રુક્ટોઝનું વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ $(-92.4^{\circ})$ એ $D-(+)$-ગ્લુકોઝ $(+52.7^{\circ})$ કરતા વધારે હોવાથી,પરિણામી મિશ્રણ વામભ્રમણીય (laevorotatory) બને છે,જેને ખાંડનું વ્યુત્ક્રમણ (inversion of sugar) કહેવામાં આવે છે.

(B) $ClO_4^{-}$ ની રચનામાં એક $Cl-O$ સિંગલ બોન્ડ અને ત્રણ $Cl=O$ ડબલ બોન્ડ હોય છે. દરેક $Cl=O$ ડબલ બોન્ડમાં એક $\sigma$ બંધ અને એક $d\pi - p\pi$ બેક બોન્ડ હોય છે. આમ,$ClO_4^{-}$ માં $3 \ d\pi - p\pi$ બંધો હોય છે.
$XeO_3$ માં,ઝેનોન પરમાણુ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે અને એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ ધરાવે છે. તેમાં ત્રણ $Xe=O$ ડબલ બોન્ડ હોય છે. દરેક $Xe=O$ ડબલ બોન્ડમાં એક $d\pi - p\pi$ બંધ હોય છે. તેથી,$XeO_3$ માં $3 \ d\pi - p\pi$ બંધો હોય છે,જે $ClO_4^{-}$ માં હાજર સંખ્યાની સમાન છે.

(D) આપેલ છે:
અવલોકિત ડાયપોલ મોમેન્ટ $= 1.03 \ D$
$HCl$ અણુની બંધ લંબાઈ,$d = 1.275 \ \mathring{A} = 1.275 \times 10^{-8} \ cm$
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$e = 4.8 \times 10^{-10} \ esu$
સૈદ્ધાંતિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $= e \times d = (4.8 \times 10^{-10} \ esu) \times (1.275 \times 10^{-8} \ cm) = 6.12 \times 10^{-18} \ esu \cdot cm = 6.12 \ D$
ટકાવારી આયનીય લક્ષણ $= \frac{\text{અવલોકિત ડાયપોલ મોમેન્ટ}}{\text{સૈદ્ધાંતિક ડાયપોલ મોમેન્ટ}} \times 100$
ટકાવારી આયનીય લક્ષણ $= \frac{1.03}{6.12} \times 100 = 16.83 \%$

(B) વિઘટન પ્રક્રિયા: $PCl_5 \rightleftharpoons PCl_3 + Cl_2$
શરૂઆતના મોલ: $5, 0, 0$
સંતુલન સમયે મોલ: $5(1-\alpha), 5\alpha, 5\alpha$
આપેલ છે $\alpha = 40 \% = 0.4$,તેથી સંતુલન સમયે મોલ: $5(1-0.4) = 3$,$5(0.4) = 2$,$5(0.4) = 2$
ફ્લાસ્કનું કદ $V = 500 \ mL = 0.5 \ L$
સંતુલન સમયે સાંદ્રતા: $[PCl_5] = \frac{3}{0.5} = 6 \ M$,$[PCl_3] = \frac{2}{0.5} = 4 \ M$,$[Cl_2] = \frac{2}{0.5} = 4 \ M$
$K_c = \frac{[PCl_3][Cl_2]}{[PCl_5]} = \frac{4 \times 4}{6} = \frac{16}{6} = 2.66 \ mol \ L^{-1}$

(C) આપેલ ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિ પરથી:
$E_a = \text{પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા}$
$E_a^{\prime} = \text{પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા}$
$E_t = \text{થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા}$
$1$. આકૃતિ દર્શાવે છે કે ટોચની ઉર્જા $(E_t)$ એ પ્રક્રિયકો $(E_R)$ અને નીપજો $(E_P)$ ની ઉર્જા કરતા વધારે છે.
$2$. પુરોગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a = E_t - E_R$ છે.
$3$. પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a^{\prime} = E_t - E_P$ છે.
$4$. $E_P > E_R$ હોવાથી,$E_a > E_a^{\prime}$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$5$. નીપજની સ્થિતિ ઉર્જા પ્રક્રિયક કરતા વધારે હોવાથી $(E_P > E_R)$,પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$6$. થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_t)$ એ પ્રક્રિયા થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે,જે હંમેશા પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ કરતા વધારે હોય છે. તેથી,થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા સક્રિયકરણ ઉર્જા કરતા ઓછી છે તે વિધાન ખોટું છે. આમ,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$7$. પુરોગામી પ્રક્રિયાની ઉર્જા $E_a = \Delta H + E_a^{\prime}$ છે,જ્યાં $\Delta H$ એ પ્રક્રિયાની ઉષ્મા છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે,$B$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $= Z$. $B$ નિષ્ક્રિય વાયુ હોવાથી તે સમૂહ $18$ માં આવે છે.
$A$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $= Z-1$,જે હેલોજન (સમૂહ $17$) છે.
$C$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $= Z+1$,જે આલ્કલી ધાતુ (સમૂહ $1$) છે.
$D$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $= Z+2$,જે આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુ (સમૂહ $2$) છે.
વિધાન $(1)$: હેલોજન $(A)$ ની ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પી ઊંચી હોય છે. આ સાચું છે.
વિધાન $(2)$: $C$ આલ્કલી ધાતુ છે,તેથી તે $+1$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા ધરાવે છે,$+2$ નહીં. આ ખોટું છે.
વિધાન $(3)$: $D$ આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુ (સમૂહ $2$) છે. આ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $E$ એ બેટરીનું $EMF$ છે અને $r$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{V}{R}$ છે.
તેથી,$E = V + \frac{V}{R}r = V(1 + \frac{r}{R})$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_1 = 16 \ \Omega$,$V_1 = 12 \ V$.
$E = 12(1 + \frac{r}{16}) = 12 + \frac{12r}{16} = 12 + \frac{3r}{4} \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $R_2 = 10 \ \Omega$,$V_2 = 11 \ V$.
$E = 11(1 + \frac{r}{10}) = 11 + \frac{11r}{10} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$12 + \frac{3r}{4} = 11 + \frac{11r}{10}$
$1 = \frac{11r}{10} - \frac{3r}{4}$
$1 = \frac{22r - 15r}{20} = \frac{7r}{20}$
$r = \frac{20}{7} \ \Omega$.

(C) પરિપથમાં બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ $PRQ$ અને $PSQ$ જોડાયેલી છે。
શાખા $PRQ$ નો કુલ અવરોધ $3 \, \Omega + 7 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે。
શાખા $PSQ$ નો કુલ અવરોધ $7 \, \Omega + 3 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે。
બંને શાખાઓના અવરોધ સમાન હોવાથી, કુલ $2 \, A$ પ્રવાહ દરેક શાખામાંથી $1 \, A$ મુજબ સમાન રીતે વહેંચાય છે。
શાખા $PRQ$ માટે, પ્રવાહ $I_1 = 1 \, A$। $3 \, \Omega$ ના અવરોધ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_P - V_R = I_1 \times 3 \, \Omega = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ છે。
શાખા $PSQ$ માટે, પ્રવાહ $I_2 = 1 \, A$। $7 \, \Omega$ ના અવરોધ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_P - V_S = I_2 \times 7 \, \Omega = 1 \, A \times 7 \, \Omega = 7 \, V$ છે。
આપણે $V_R - V_S$ શોધવા માંગીએ છીએ। ઉપરના સમીકરણો પરથી:
$V_R = V_P - 3$
$V_S = V_P - 7$
તેમની બાદબાકી કરતા: $V_R - V_S = (V_P - 3) - (V_P - 7) = -3 + 7 = +4 \, V$。

(B) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g$ છે.
આપેલ છે કે $I_g = 5 \% \text{ of } I = 0.05 I$.
શંટ અવરોધ $S$ એ ગેલ્વેનોમીટર $G$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
પ્રવાહ વિભાજનના નિયમ મુજબ,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = I \times \frac{S}{S+G}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.05 I = I \times \frac{S}{S+G}$.
$0.05 = \frac{S}{S+G} \implies 0.05(S+G) = S$.
$0.05 S + 0.05 G = S$.
$0.05 G = 0.95 S$.
$S = \frac{0.05 G}{0.95} = \frac{G}{19}$.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે, $\lambda = 45 \times 10^{-2} \text{ \AA} = 45 \times 10^{-12} \text{ m}$.
$E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{45 \times 10^{-12}} \text{ J}$.
ઉર્જાને $eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, $1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ વડે ભાગો.
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{45 \times 10^{-12} \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}$.
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{72 \times 10^{-31}} \text{ eV}$.
$E \approx 0.2758 \times 10^5 \text{ eV} = 27,580 \text{ eV}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, મહત્તમ ઉર્જા $27,500 \text{ eV}$ છે.

(C) કેથોડ પર રિડક્શન પ્રક્રિયા: $2H^{+} + 2e^{-} \rightarrow H_2$ છે.
$H_2$ વાયુનું આપેલ કદ $= 1120 \ mL = 1.12 \ L$.
$H_2$ વાયુના મોલની સંખ્યા $= \frac{1.12 \ L}{22.4 \ L/mol} = 0.05 \ mol$.
પ્રક્રિયા મુજબ,$1 \ mol$ $H_2$ માટે $2 \ mol$ ઇલેક્ટ્રોનની જરૂર પડે છે.
તેથી,$0.05 \ mol$ $H_2$ માટે $0.05 \times 2 = 0.1 \ mol$ ઇલેક્ટ્રોનની જરૂર પડશે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = n \times F = 0.1 \times 96500 \ C = 9650 \ C$.
સૂત્ર $Q = I \times t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = 1930 \ s$:
$I = \frac{Q}{t} = \frac{9650 \ C}{1930 \ s} = 5.0 \ A$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના બીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે શ્રેણીમાં જોડાયેલા વિવિધ વિદ્યુતવિભાજ્યોમાંથી સમાન જથ્થામાં વિદ્યુત પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમા થયેલ પદાર્થોના દળ તેમના તુલ્ય દળના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{\text{સિલ્વરનું દળ}}{\text{હાઇડ્રોજનનું દળ}} = \frac{\text{સિલ્વરનું તુલ્ય દળ}}{\text{હાઇડ્રોજનનું તુલ્ય દળ}}$
આપેલ છે:
$H_2$ નું દળ $= 5.04 \times 10^{-2} \ g$
$H_2$ નું તુલ્ય દળ $= 1.008$
$Ag$ નું તુલ્ય દળ $= 108$
ધારો કે જમા થયેલ સિલ્વરનું દળ $w$ છે.
$\frac{w}{5.04 \times 10^{-2}} = \frac{108}{1.008}$
$w = \frac{108 \times 5.04 \times 10^{-2}}{1.008}$
$w = 100 \times 5.04 \times 10^{-2} = 5.4 \ g$
આમ,જમા થયેલ સિલ્વરનું દળ $5.4 \ g$ છે.

(B) કોમ્પટન શિફ્ટનું સૂત્ર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \phi)$ છે.
અહીં $\lambda = 0.140 \ nm = 0.140 \times 10^{-9} \ m$ અને $\phi = 90^{\circ}$ આપેલ છે.
$\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,શિફ્ટ $\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c}$ થશે.
કોમ્પટન તરંગલંબાઈ $\frac{h}{m_e c} \approx 2.426 \times 10^{-12} \ m = 0.002426 \ nm$ છે.
તેથી,$\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.140 \ nm + 0.002426 \ nm = 0.142426 \ nm$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda' \approx 0.142 \ nm$ મળે છે.

(B) કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1 \mu C = 10^{-6} \ C$ આપેલ છે.
વિદ્યુતભારો $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વહેંચાયેલા છે.
તેથી,$q_1 = \frac{2}{2+3} \times 10^{-6} \ C = 0.4 \times 10^{-6} \ C$ અને $q_2 = \frac{3}{2+3} \times 10^{-6} \ C = 0.6 \times 10^{-6} \ C$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = 1 \ m$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $F = (9 \times 10^9) \times \frac{(0.4 \times 10^{-6}) \times (0.6 \times 10^{-6})}{1^2}$.
$F = 9 \times 10^9 \times 0.24 \times 10^{-12} = 2.16 \times 10^{-3} \ N = 0.00216 \ N$.

(A) સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાં નીચેની પ્રતિક્રિયાઓ થાય છે જે ઓઝોન સ્તરના ક્ષય માટે જવાબદાર છે:
$NO + O_3 \longrightarrow NO_2 + O_2$
$CF_2Cl_2 \stackrel{h\nu}{\longrightarrow} \dot{C}F_2Cl + \dot{Cl}$
$CFCl_3 \stackrel{h\nu}{\longrightarrow} \dot{C}FCl_2 + \dot{Cl}$
$\dot{Cl} + O_3 \longrightarrow Cl\dot{O} + O_2$
$Cl\dot{O} + O \longrightarrow \dot{Cl} + O_2$
તેથી,મિથેન $(CH_4)$ ઓઝોન સ્તરના ક્ષય માટે જવાબદાર નથી.

(D) આપેલ સંયોજન $C_2H_5-O-CH(CH_3)_2$ બંધારણ ધરાવતો ઈથર છે.
$IUPAC$ નામકરણના નિયમો મુજબ,ઈથરને આલ્કોક્સીઆલ્કેન તરીકે નામ આપવામાં આવે છે.
મોટા આલ્કાઇલ સમૂહને મુખ્ય આલ્કેન તરીકે લેવામાં આવે છે અને નાના આલ્કાઇલ સમૂહને ઓક્સિજન સાથે જોડીને આલ્કોક્સી સમૂહ તરીકે નામ આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇથોક્સી સમૂહ $(-OC_2H_5)$ પ્રોપેન શૃંખલાના બીજા કાર્બન સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,સાચું $IUPAC$ નામ $2-$ઇથોક્સી પ્રોપેન છે.

(A) $Cahn-Ingold-Prelog$ ક્રમ નિયમો અનુસાર,સમૂહોની અગ્રતા તેમના પરમાણુઓના પરમાણુ ક્રમાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. જે પરમાણુનો પરમાણુ ક્રમાંક વધારે હોય તેને ઉચ્ચ અગ્રતા મળે છે. અહીં,$O$ (પરમાણુ ક્રમાંક $8$) ની અગ્રતા $C$ (પરમાણુ ક્રમાંક $6$) કરતા વધારે છે. તેથી,$-OH$ પ્રથમ આવે છે.
$2$. બાકીના કાર્બન ધરાવતા સમૂહો માટે,આપણે પ્રથમ કાર્બન સાથે જોડાયેલા પરમાણુઓને જોઈએ છીએ: $-COOH$ ($C$ એ $O, O, O$ સાથે જોડાયેલ છે),$-CHO$ ($C$ એ $O, O, H$ સાથે જોડાયેલ છે),અને $-CH_2OH$ ($C$ એ $O, H, H$ સાથે જોડાયેલ છે).
$3$. આ સરખામણી કરતા,અગ્રતાનો ક્રમ $-COOH > -CHO > -CH_2OH$ મળે છે.
$4$. તેથી,સાચો ક્રમ $-OH > -COOH > -CHO > -CH_2OH$ છે.

(D) Cahn-Ingold-Prelog $(CIP)$ અગ્રતાના નિયમો અનુસાર,જો ઉચ્ચ અગ્રતા ધરાવતા સમૂહો દ્વિબંધની એક જ બાજુએ હોય,તો વિન્યાસ '$Z$' (zusammen) છે. જો તેઓ વિરુદ્ધ બાજુએ હોય,તો વિન્યાસ '$E$' (entgegen) છે.
$(i)$ માટે: ડાબા કાર્બન પર અગ્રતા: $Cl > H$; જમણા કાર્બન પર અગ્રતા: $Br > F$. $Cl$ અને $Br$ એક જ બાજુ હોવાથી,તે $(Z)$ છે.
$(ii)$ માટે: ડાબા કાર્બન પર અગ્રતા: $Cl > H$; જમણા કાર્બન પર અગ્રતા: $Br > F$. $Cl$ અને $Br$ વિરુદ્ધ બાજુ હોવાથી,તે $(E)$ છે.
$(iii)$ માટે: ડાબા કાર્બન પર અગ્રતા: $Br > Cl$; જમણા કાર્બન પર અગ્રતા: $CH_3 > H$. $Br$ અને $CH_3$ એક જ બાજુ હોવાથી,તે $(Z)$ છે.
તેથી,સંયોજનો $(i)$ અને $(iii)$ $(Z)$ વિન્યાસ ધરાવે છે.

(A) $2$-બ્યુટાઇનનું $Na / NH_3$ (પ્રવાહી) સાથેનું રિડક્શન (બર્ચ રિડક્શન) એન્ટિ-એડિશન દ્વારા થાય છે જે $E$-નીપજ (ટ્રાન્સ$-2-$બ્યુટીન) આપે છે.
$2$-બ્યુટાઇનનું $Pd / BaSO_4 + H_2$ (લિન્ડલર ઉદ્દીપક) સાથેનું રિડક્શન સિં-એડિશન દ્વારા થાય છે જે $Z$-નીપજ (સીસ$-2-$બ્યુટીન) આપે છે.
પ્રક્રિયા યોજના મુજબ:
$2$-બ્યુટાઇન $\xrightarrow{X} E$-નીપજ એટલે કે $X = Na / NH_3$ (પ્રવાહી).
$2$-બ્યુટાઇન $\xrightarrow{Y} Z$-નીપજ એટલે કે $Y = Pd / BaSO_4 + H_2$.
તેથી,$X$ અને $Y$ અનુક્રમે $Na / NH_3$ (પ્રવાહી) અને $Pd / BaSO_4 + H_2$ છે.

(D) $H_2O_2$ નો ઓક્સિડેશનકર્તા ગુણધર્મ ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે તે ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે,એટલે કે તે પોતે રિડક્શન પામે છે અને બીજા પદાર્થનું ઓક્સિડેશન કરે છે.
વિકલ્પ $A$,$B$ અને $C$ માં,$H_2O_2$ રિડક્શનકર્તા તરીકે વર્તે છે,કારણ કે તેનું $O_2$ માં ઓક્સિડેશન થાય છે.
વિકલ્પ $D$ માં,$2KI + H_2SO_4 + H_2O_2 \longrightarrow K_2SO_4 + I_2 + 2H_2O$,આયોડિનનો ઓક્સિડેશન આંક $KI$ માં $-1$ થી વધીને $I_2$ માં $0$ થાય છે,જ્યારે $H_2O_2$ માં ઓક્સિજનનો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ થી ઘટીને $-2$ થાય છે. આમ,$H_2O_2$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે.

(C) બેરિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ એક પ્રબળ બેઇઝ છે અને તેનું આયનીકરણ નીચે મુજબ થાય છે: $Ba(OH)_2 \rightarrow Ba^{2+} + 2OH^-$.
શરૂઆતમાં,કદ $50 \ mL$ છે અને સાંદ્રતા $1 \times 10^{-3} \ M$ છે.
$50 \ mL$ $H_2O$ ઉમેરતા,કુલ કદ $100 \ mL$ થાય છે.
કદ બમણું થવાથી,$Ba(OH)_2$ ની સાંદ્રતા અડધી થાય છે: $M_2 = \frac{M_1 V_1}{V_2} = \frac{1 \times 10^{-3} \ M \times 50 \ mL}{100 \ mL} = 0.5 \times 10^{-3} \ M$.
દરેક $Ba(OH)_2$ નો અણુ $2$ $OH^-$ આયનો આપે છે,તેથી $[OH^-] = 2 \times 0.5 \times 10^{-3} \ M = 1 \times 10^{-3} \ M$.
$pOH = -\log[OH^-] = -\log(1 \times 10^{-3}) = 3$.
$pH = 14 - pOH = 14 - 3 = 11.0$.

(A) $CH_3COONa$ એ નિર્બળ એસિડ $(CH_3COOH)$ અને પ્રબળ બેઝ $(NaOH)$ નો ક્ષાર છે.
જલીય દ્રાવણમાં તે આ રીતે આયનીકરણ પામે છે: $CH_3COONa \rightleftharpoons CH_3COO^{-} + Na^{+}$.
એસીટેટ આયન $(CH_3COO^{-})$ એનાયોનિક જળવિભાજન પામે છે: $CH_3COO^{-} + H_2O \rightleftharpoons CH_3COOH + OH^{-}$.
$OH^{-}$ આયનોના ઉત્પાદનને કારણે,દ્રાવણ આલ્કલાઇન (બેઝિક) બને છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ક્ષેત્રોનો તફાવત હશે.
આપેલ છે: $N_1 = N_2 = 10$,$r_1 = 0.2 \ m$,$r_2 = 0.4 \ m$,$i_1 = 0.2 \ A$,$i_2 = 0.3 \ A$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 N_1 i_1}{2r_1} - \frac{\mu_0 N_2 i_2}{2r_2} \right|$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 \times 10}{2} \left| \frac{0.2}{0.2} - \frac{0.3}{0.4} \right|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 \left| 1 - 0.75 \right|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 \times 0.25 = 5 \mu_0 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \mu_0$.

(A) પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \cdot l$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈના તારને અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $l$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે.
તેથી,$l = \pi r$,જે આપણને $r = \frac{l}{\pi}$ આપે છે.
ધ્રુવો વચ્ચેનું નવું અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) $l' = 2r = \frac{2l}{\pi}$ છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા અને ધ્રુવો વચ્ચેના નવા અંતરનો ગુણાકાર છે:
$M' = m \cdot l' = m \cdot \left(\frac{2l}{\pi}\right) = \frac{2}{\pi} (m \cdot l)$.
કારણ કે $M = m \cdot l$,તેથી $M' = \frac{2M}{\pi}$.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેની લંબાઈને સમાંતર $4$ સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાનું દળ $m' = \frac{m}{4}$ થાય છે.
દરેક ટુકડાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \frac{M}{4}$ થાય છે.
ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને દરેક ટુકડાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{I}{4}$ થાય છે.
આ કિંમતોને નવા આવર્તકાળ $T'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/4}{(M/4)B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
આમ,$T' = T = 4 ~s$.

(D) આપણી પાસે $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = \frac{(x^2+2x+1) - x}{x^2+2x+1} = 1 - \frac{x}{(x+1)^2}$ છે.
હવે,$\frac{x}{(x+1)^2}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં દર્શાવતા:
$\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{A'}{x+1} + \frac{B'}{(x+1)^2} = \frac{A'(x+1) + B'}{(x+1)^2}$.
અંશની સરખામણી કરતા,$x = A'x + (A'+B')$.
તેથી,$A' = 1$ અને $A'+B' = 0$,જે $B' = -1$ આપે છે.
આમ,$\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = 1 - (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}) = 1 - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$.
આને $A + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1$,$B=-1$,અને $C=1$ મળે છે.
તેથી,$A-B = 1 - (-1) = 2$.
કારણ કે $C=1$,તેથી $2 = 2C$.
આમ,$A-B = 2C$.

(D) આપેલ છે કે,$\alpha+\beta=-2$ અને $\alpha^3+\beta^3=-56$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta)$.
કિંમતો મૂકતા,$(-2)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta = 28$.
વળી,$(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = (-2)^2 = 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta) - (\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = 4 - 28$.
$3\alpha\beta = -24$,તેથી $\alpha\beta = -8$.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha+\beta)x + (\alpha\beta) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-2)x + (-8) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+2x-8=0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય.
પ્રથમ,$\omega$ ના ઘાતનું સાદું રૂપ આપતા:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = 1^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
હવે,આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin \left\{\left(\omega^{10} + \omega^{23}\right) \pi - \frac{\pi}{4}\right\} = \sin \left\{\left(\omega + \omega^2\right) \pi - \frac{\pi}{4}\right\}$
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$= \sin \left\{-\pi - \frac{\pi}{4}\right\} = \sin \left\{-\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)\right\}$
$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= -\sin \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)$
$\sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) આપેલ છે કે,${}^n P_r = 30240$ અને ${}^n C_r = 252$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^n P_r = {}^n C_r \times r!$.
કિંમતો મૂકતા,$30240 = 252 \times r!$.
$r! = \frac{30240}{252} = 120$.
$120 = 5!$ હોવાથી,$r = 5$ મળે.
હવે,${}^n P_5 = 30240$.
$n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 30240$.
કિંમતો ચકાસતા,$n = 10$ માટે: $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$.
આમ,$n = 10$.
તેથી,જરૂરી ક્રમયુક્ત જોડ $(10, 5)$ છે.

(C) ધારો કે $3$ નાના બોક્સ $S_1, S_2, S_3$ છે અને અન્ય $6$ બોક્સ $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ છે.
$5$ દડાઓ જે નાના બોક્સમાં સમાઈ શકતા નથી,તેમને $6$ મોટા બોક્સમાં મૂકવા પડે.
આ $5$ દડાઓને $6$ બોક્સમાં ગોઠવવાની રીતો $^6P_5 = 720$ છે.
આ $5$ દડાઓ મૂક્યા પછી,$4$ દડા અને $4$ બોક્સ બાકી રહે છે.
બાકીના $4$ દડાઓને $4$ બોક્સમાં ગોઠવવાની રીતો $4! = 24$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $^6P_5 \times 4! = 720 \times 24 = 17280$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\Delta l/l$ એ વિકૃતિ છે.
આપેલ છે: $F = 33000 ~N$,$A = 10^{-3} ~m^2$,અને $Y = 3 \times 10^{11} ~N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{11} = \frac{33000 / 10^{-3}}{\Delta l/l}$.
તેથી,વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{33000}{10^{-3} \times 3 \times 10^{11}} = \frac{33 \times 10^3}{3 \times 10^8} = 11 \times 10^{-5}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T$ છે,જ્યાં $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
વિકૃતિ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $11 \times 10^{-5} = 1.1 \times 10^{-5} \times \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{11 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = 10^{\circ} C$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$.
લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta l}{l}$ માટે સૂત્ર: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY}$.
સૌથી નીચી સ્થિતિમાં,તારમાં તણાવ $T$ એ લોડના વજન જેટલું હોય છે,$T = mg$.
આપેલ છે: $m = 1 ~kg$,$g = 10 ~m/s^2$,$A = 3 ~mm^2 = 3 \times 10^{-6} ~m^2$,અને $Y = 10^{11} ~N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{1 \times 10}{3 \times 10^{-6} \times 10^{11}} = \frac{10}{3 \times 10^5} = 0.33 \times 10^{-4}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0.3 \times 10^{-4}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ $0$ થાય છે.
$v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - gt$,તેથી $u = gt$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(gt)^2}{2g} = \frac{gt^2}{2}$ છે.
પદાર્થ $t$ સમયમાં મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
પાછા ફરતી વખતે,પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ થી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $h/2$ ઊંચાઈ સુધી નીચે પડે છે. કાપેલું અંતર $s = h - h/2 = h/2$ છે.
$s = \frac{1}{2}gt'^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t'$ એ મહત્તમ ઊંચાઈથી $h/2$ સુધી નીચે પડવા માટેનો સમય છે:
$\frac{h}{2} = \frac{1}{2}gt'^2 \implies t'^2 = \frac{h}{g} = \frac{gt^2/2}{g} = \frac{t^2}{2}$.
આમ,$t' = \frac{t}{\sqrt{2}}$.
પ્રક્ષેપણથી કુલ સમય $T = t + t' = t + \frac{t}{\sqrt{2}} = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) t$ થાય.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગ સદિશ હંમેશા ગતિપથને સ્પર્શક હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(v_y)$ શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x = u \cos \theta)$ અચળ રહે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ સદિશ માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક ધરાવતો હોવાથી,તે સમક્ષિતિજ સાથે $0^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ન્યુક્લિયર બળ એ પ્રબળ બળ છે જે ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ને એકસાથે જકડી રાખે છે.
પ્રાયોગિક પુરાવા દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે પ્રોટોન,બે ન્યુટ્રોન અથવા એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોન વચ્ચેનું બળ મૂળભૂત રીતે સમાન હોય છે,જો તેમની વચ્ચેનું અંતર અને તેમની સ્પિન અવસ્થાઓ સમાન હોય.
તેથી,સંબંધ $F_{pp} = F_{nn} = F_{np}$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ એ એક આવર્ત ગતિ છે જેમાં કણ દરેક $T$ જેટલા સમયગાળા પછી તેની સ્થિતિ અને વેગનું પુનરાવર્તન કરે છે.
આપેલ છે કે કણ પ્રારંભિક સ્થિતિથી શરૂઆત કરે છે,તેથી એક આવર્તકાળ $T$ પછી,કણ તેની મૂળ સ્થિતિ પર પાછો ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાનાંતર $0$ છે.
$2T$ સમય પછી (જે $T$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે),કણ બે સંપૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરશે.
તેથી,કણ ફરીથી તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર પાછો આવશે અને પ્રારંભિક સ્થિતિથી કુલ સ્થાનાંતર $0$ થશે.

(C) લુઈસના ખ્યાલ મુજબ,જે પદાર્થ ઇલેક્ટ્રોનની એક જોડી સ્વીકારી શકે તેને લુઈસ એસિડ કહેવામાં આવે છે.
બોરોન હેલાઈડ્સ (દા.ત.,$BX_3$) માં બોરોન પરમાણુની સંયોજકતા કક્ષામાં માત્ર $6$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
આ ઇલેક્ટ્રોનની ઉણપને કારણે,તેઓ તેમનું અષ્ટક પૂર્ણ કરવા માટે દાતા પાસેથી ઇલેક્ટ્રોનની એક જોડી સ્વીકારી શકે છે,તેથી તેઓ લુઈસ એસિડ તરીકે વર્તે છે.

(D) ઓર્થોસિલિકિક એસિડ $(H_4SiO_4)$ ને ઊંચા તાપમાને ગરમ કરતા,તે પાણીના બે અણુઓ ગુમાવીને સિલિકા $(SiO_2)$ બનાવે છે જે $A$ છે.
$H_4SiO_4 \xrightarrow[1000^{\circ}C]{-2H_2O} SiO_2 (A)$
સિલિકા $(SiO_2)$ નું કાર્બન સાથે રિડક્શન કરતા કાર્બોરન્ડમ $(SiC)$ મળે છે જે $B$ છે અને કાર્બન મોનોક્સાઇડ $(CO)$ મુક્ત થાય છે.
$SiO_2 + 3C \xrightarrow{\Delta} SiC (B) + 2CO$
તેથી,$B$ એ કાર્બોરન્ડમ છે.

(B) પેરોક્સિડાયસલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2S_2O_8)$ નું બંધારણ $HO-SO_2-O-O-SO_2-OH$ છે.
આ બંધારણમાં,$4$ $S=O$ બંધો (દરેકમાં $1$ $\sigma$ અને $1$ $\pi$ બંધ),$2$ $S-OH$ બંધો,$2$ $S-O$ બંધો અને $1$ $O-O$ બંધ છે.
કુલ $\sigma$ બંધો = $4$ ($S=O$ માંથી) + $2$ ($S-OH$ માંથી) + $2$ ($S-O$ માંથી) + $1$ ($O-O$ માંથી) + $2$ ($O-H$ માંથી) = $11$ $\sigma$ બંધો.
કુલ $\pi$ બંધો = $4$ ($S=O$ માંથી) = $4$ $\pi$ બંધો.
તેથી,તેમાં $11$ $\sigma$ અને $4$ $\pi$ બંધો હોય છે.

(D) ઓક્સિડેશનકર્તા એ પદાર્થ છે જેનું રિડક્શન થાય છે (ઇલેક્ટ્રોન મેળવે છે અથવા ઓક્સિડેશન આંકમાં ઘટાડો થાય છે) અને તે બીજા પદાર્થનું ઓક્સિડેશન કરે છે (ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે,ઓક્સિજન ઉમેરાય છે અથવા હાઇડ્રોજન દૂર થાય છે).
આપેલ તમામ પ્રક્રિયાઓમાં,ક્લોરિનનો ઓક્સિડેશન આંક $0$ ($Cl_2$ માં) થી ઘટીને $-1$ ($HCl$ માં) થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ક્લોરિનનું રિડક્શન થાય છે.
$(i)$ $CH_3CH_2OH$ માંથી હાઇડ્રોજન દૂર થઈને $CH_3CHO$ બને છે,તેથી $Cl_2$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે.
$(ii)$ $CH_3CHO$ માંથી હાઇડ્રોજન દૂર થઈને $CCl_3CHO$ બને છે,તેથી $Cl_2$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે.
$(iii)$ $CH_4$ માંથી હાઇડ્રોજન દૂર થઈને $CH_3Cl$ બને છે,તેથી $Cl_2$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે.
તેથી,આ તમામ પ્રક્રિયાઓમાં ક્લોરિન ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે.

(B) હેલોજનના રિડક્શન પોટેન્શિયલમાં ઘટાડો થવાને કારણે સમૂહમાં નીચે જતાં તેમની ઓક્સિડેશન ક્ષમતા ઘટે છે. $F_2$ સૌથી પ્રબળ ઓક્સિડેશનકર્તા છે,ત્યારબાદ $Cl_2$,$Br_2$ અને $I_2$ આવે છે.
વધુ રિડક્શન પોટેન્શિયલ ધરાવતો હેલોજન ઓછા રિડક્શન પોટેન્શિયલ ધરાવતા હેલોજનને તેના ક્ષારના દ્રાવણમાંથી વિસ્થાપિત કરી શકે છે.
$F_2$ નો રિડક્શન પોટેન્શિયલ સૌથી વધુ હોવાથી,તે $Cl^-$,$Br^-$ અને $I^-$ નું ઓક્સિડેશન કરી શકે છે.
જો કે,$Cl_2$ એ $F^-$ નું ઓક્સિડેશન કરી શકતું નથી કારણ કે $F_2$ એ $Cl_2$ કરતા વધુ પ્રબળ ઓક્સિડેશનકર્તા છે.
તેથી,પ્રક્રિયા $Cl_2 + 2F^{-} \longrightarrow 2Cl^{-} + F_2$ થતી નથી.

(C) ધારો કે $E = \sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$.
$E = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$E = 2 \left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$E = 2 \left( \frac{\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \left( \frac{\sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right) = 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = 4 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right) = 4 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} \right) = 4$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha+\beta+\gamma=2 \theta$,તેથી $\theta = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$.
ધારો કે $S = \cos \theta + \cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = [\cos \theta + \cos (\theta-\gamma)] + [\cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta)]$
$S = 2 \cos \frac{2\theta-\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + 2 \cos \frac{2\theta-\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2}$
કારણ કે $2\theta = \alpha+\beta+\gamma$,તેથી $2\theta-\gamma = \alpha+\beta$ અને $2\theta-\alpha-\beta = \gamma$.
$S = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2}$
$S = 2 \cos \frac{\gamma}{2} [\cos \frac{\alpha+\beta}{2} + \cos \frac{\beta-\alpha}{2}]$
ફરીથી $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \cos \frac{\gamma}{2} [2 \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2}]$
$S = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$A=35^{\circ}, B=15^{\circ}$ અને $C=40^{\circ}$.
અહીં $A+B+C = 35^{\circ}+15^{\circ}+40^{\circ} = 90^{\circ}$ હોવાથી,આપણે $\tan(A+B+C)$ ના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું:
$\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$.
$A+B+C = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(90^{\circ})$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A) = 0$.
તેથી,$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\cos 2x + 2 \cos^2 x = 2$ છે.
નિત્યસમ $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2 \cos^2 x - 1) + 2 \cos^2 x = 2$
$4 \cos^2 x - 1 = 2$
$4 \cos^2 x = 3$
$\cos^2 x = \frac{3}{4}$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x = 2n\pi \pm \frac{5\pi}{6}$.
આ બંનેને જોડતા,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ મળે,જ્યાં $n \in Z$.

(A) સાચી જોડણી નીચે મુજબ છે:
$A$. $Nylon$ $6,6$ એ $Adipic$ $acid$ અને $Hexamethylenediamine$ $(v)$ માંથી બનેલ પોલિએમાઇડ છે.
$B$. $Terylene$ ($Dacron$ તરીકે પણ ઓળખાય છે) એ $Ethylene$ $glycol$ અને $Terephthalic$ $acid$ $(i)$ માંથી બનેલ પોલિએસ્ટર છે.
$C$. $Buna-S$ એ $1,3-Butadiene$ અને $Styrene$ $(ii)$ નો કોપોલિમર છે.
$D$. $Neoprene$ એ $Chloroprene$ $(iii)$ નો પોલિમર છે.
તેથી,$A, B, C, D$ માટે સાચો ક્રમ $(v, i, ii, iii)$ છે.

(A) આપેલા સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1. [Co(NH_3)_5SO_4]Br \rightleftharpoons [Co(NH_3)_5SO_4]^+ + Br^-$
$2. [Co(NH_3)_5Br]SO_4 \rightleftharpoons [Co(NH_3)_5Br]^{2+} + SO_4^{2-}$
બંને સંયોજનોનું આણ્વીય સૂત્ર સમાન છે પરંતુ જલીય દ્રાવણમાં તેઓ અલગ-અલગ આયનો આપે છે,તેથી તેઓ આયનીકરણ સમઘટકો છે.

(A) $V$ સમૂહના તત્વોના હાઇડ્રાઇડ્સનો રિડક્શન ગુણધર્મ તેમની સ્થિરતા પર આધાર રાખે છે.
જેમ આપણે સમૂહમાં નીચે જઈએ છીએ,તેમ કેન્દ્રીય તત્વનું કદ વધે છે,જેનાથી $E-H$ બંધની વિયોજન એન્થાલ્પી ઘટે છે અને હાઇડ્રાઇડ્સની સ્થિરતા ઘટે છે.
પરિણામે,હાઇડ્રોજન પરમાણુ મુક્ત કરવાની ક્ષમતા વધે છે,જેથી રિડક્શન ગુણધર્મ વધે છે.
તેથી,રિડક્શન ક્ષમતાનો સાચો ક્રમ $NH_3 < PH_3 < AsH_3 < SbH_3 < BiH_3$ છે.

(B) આપેલ છે,દળ ક્ષતિ $\Delta m = 0.081 \ u$.
ન્યુક્લિયોન્સની કુલ સંખ્યા $A = 11$.
બંધન ઉર્જા $BE = \Delta m \times 931 \ MeV/u = 0.081 \times 931 = 75.411 \ MeV$.
ન્યુક્લિયોન દીઠ સરેરાશ બંધન ઉર્જા $= \frac{BE}{A} = \frac{75.411}{11} = 6.855 \ MeV \approx 6.85 \ MeV$.

(C) એસેટિક એસિડનું લિથિયમ એલ્યુમિનિયમ હાઇડ્રાઇડ $(LiAlH_4)$ વડે રિડક્શન કરવાથી ઇથાઇલ આલ્કોહોલ મળે છે.
$CH_3COOH \xrightarrow{LiAlH_4} CH_3CH_2OH$
એસેટિક એસિડનું $HI$ અને લાલ $P$ વડે રિડક્શન કરવાથી ઇથેન મળે છે.
$CH_3COOH \xrightarrow{\text{Red } P + HI} CH_3-CH_3$
તેથી,પ્રક્રિયક $A$ એ $LiAlH_4$ છે અને પ્રક્રિયક $B$ એ $HI + \text{red } P$ છે.

(D) ઇથાઇલ આલ્કોહોલ $(C_2H_5OH)$ સાથે હાઇડ્રોજન હેલાઇડ $(HX)$ ની પ્રતિક્રિયામાં $C-O$ બંધનું વિભાજન થાય છે.
પ્રતિક્રિયાશીલતા $H-X$ બંધની મજબૂતી પર આધાર રાખે છે.
જેમ હેલોજન પરમાણુનું કદ $F$ થી $I$ તરફ વધે છે,તેમ $H-X$ બંધની બંધ વિયોજન ઉર્જા ઘટે છે,જેનાથી બંધ તોડવો સરળ બને છે.
તેથી,પ્રતિક્રિયાશીલતાનો ક્રમ $HI > HBr > HCl > HF$ છે.

(B) એસીટોન $(CH_3COCH_3)$ મિથાઈલ મેગ્નેશિયમ બ્રોમાઈડ $(CH_3MgBr)$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને એક સંકીર્ણ બનાવે છે.
આ સંકીર્ણ $(CH_3)_3COMgBr$ છે.
એસિડિક જળવિભાજન (એસિડ સાથે વિઘટન) પર,આ સંકીર્ણ પ્રોટોનેશન પામીને તૃતીયક આલ્કોહોલ,$2$-મિથાઈલપ્રોપેન-$2$-ઓલ,જે $(CH_3)_3COH$ છે,અને $Mg(OH)Br$ આપે છે.
આમ,$X$ એ $(CH_3)_3COH$ છે.

(C) નાઈટ્રોબેન્ઝીનનું લિથિયમ એલ્યુમિનિયમ હાઈડ્રાઈડ $(LiAlH_4)$ સાથે આલ્કલાઇન માધ્યમમાં રિડક્શન કરવાથી મુખ્ય નીપજ તરીકે એઝોબેન્ઝીન મળે છે.
આ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$2 C_6H_5NO_2 \xrightarrow{LiAlH_4} C_6H_5-N=N-C_6H_5$ (એઝોબેન્ઝીન).

(A) મંદ જલીય સલ્ફ્યુરિક એસિડની હાજરીમાં સુક્રોઝનું જળવિભાજન થતા $D-(+)$-ગ્લુકોઝ અને $D-(-)$-ફ્રુક્ટોઝનું સમાન મોલર મિશ્રણ મળે છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા:
$C_{12}H_{22}O_{11} + H_2O \xrightarrow{H_2SO_4} C_6H_{12}O_6 + C_6H_{12}O_6$
($D-(+)$-ગ્લુકોઝ) ($D-(-)$-ફ્રુક્ટોઝ)
નીપજોનું મોલર પ્રમાણ $1:1$ છે.

(C) આપેલ ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિ પરથી:
$E_a$ = પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા
$E_a^{\prime}$ = પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા
$E_t$ = થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા
$1$. નીપજ $B$ ની ઉર્જા પ્રક્રિયક $A$ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે.
$2$. પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એ થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_t)$ અને પ્રક્રિયકની ઉર્જા $(E_R)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$3$. પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a^{\prime})$ એ થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_t)$ અને નીપજની ઉર્જા $(E_p)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$4$. આકૃતિ પરથી,$E_a > E_a^{\prime}$.
$5$. સંબંધ $E_a = E_a^{\prime} + \Delta E$ છે,જ્યાં $\Delta E$ એ પ્રક્રિયાની ઉષ્મા છે.
$6$. થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_t)$ હંમેશા સક્રિયકરણ ઉર્જા ($E_a$ અથવા $E_a^{\prime}$) કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે,કારણ કે તે પ્રક્રિયા થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા દર્શાવે છે. તેથી,'થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા એ સક્રિયકરણ ઉર્જા કરતા ઓછી છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(A) એમાઈન્સના વર્ગીકરણના આધારે:
$(A)$ $CH_3CH_2CH_2CH_2NH_2$ માં $-NH_2$ સમૂહ એક આલ્કાઈલ સમૂહ સાથે જોડાયેલ છે,જે તેને પ્રાથમિક એમાઈન $(1^\circ)$ બનાવે છે. તેથી,$(A) \rightarrow (v)$.
$(B)$ $(CH_3CH_2)_2NH$ માં $-NH-$ સમૂહ બે આલ્કાઈલ સમૂહ સાથે જોડાયેલ છે,જે તેને દ્વિતીયક એમાઈન $(2^\circ)$ બનાવે છે. તેથી,$(B) \rightarrow (i)$.
$(C)$ $(CH_3)_3N$ માં નાઈટ્રોજન પરમાણુ ત્રણ આલ્કાઈલ સમૂહ સાથે જોડાયેલ છે,જે તેને તૃતીયક એમાઈન $(3^\circ)$ બનાવે છે. તેથી,$(C) \rightarrow (ii)$.
$(D)$ $C_6H_5NH_2$ (એનિલીન) એ એવો એમાઈન છે જેમાં નાઈટ્રોજન સીધો બેન્ઝીન રિંગ સાથે જોડાયેલ છે,જે તેને એરોમેટિક એમાઈન બનાવે છે. તેથી,$(D) \rightarrow (iii)$.
તેથી,સાચો ક્રમ $A-(v), B-(i), C-(ii), D-(iii)$ છે.

(A) આપેલા સંયોજનો:
$1. [Co(NH_3)_5SO_4]Br \rightleftharpoons [Co(NH_3)_5SO_4]^+ + Br^-$
$2. [Co(NH_3)_5Br]SO_4 \rightleftharpoons [Co(NH_3)_5Br]^{2+} + SO_4^{2-}$
બંને સંયોજનોનું આણ્વીય સૂત્ર સમાન છે પરંતુ જલીય દ્રાવણમાં તેઓ અલગ-અલગ આયનો આપે છે,તેથી તેમને આયનીકરણ આઈસોમર્સ કહેવામાં આવે છે.

(C) કેથોડ પર રિડક્શન પ્રક્રિયા: $2H^+ + 2e^- \rightarrow H_2$.
એકત્રિત થયેલ $H_2$ વાયુના મોલની સંખ્યા = $\frac{1120 \,mL}{22400 \,mL/mol} = 0.05 \,mol$.
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ મુજબ, $1 \,mol$ $H_2$ માટે $2 \,mol$ ઇલેક્ટ્રોનની જરૂર પડે છે।
તેથી, $0.05 \,mol$ $H_2$ માટે $0.05 \times 2 = 0.1 \,mol$ ઇલેક્ટ્રોનની જરૂર પડશે।
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = n \times F = 0.1 \,mol \times 96500 \,C/mol = 9650 \,C$.
સંબંધ $Q = I \times t$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $t = 1930 \,s$:
$I = \frac{Q}{t} = \frac{9650 \,C}{1930 \,s} = 5.0 \,A$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના બીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે શ્રેણીમાં જોડાયેલા વિવિધ વિદ્યુતવિભાજ્યોમાંથી સમાન જથ્થામાં વિદ્યુત પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમા થયેલ પદાર્થોનું દળ તેમના તુલ્યભારના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{\text{Ag નું દળ}}{\text{H}_2 \text{ નું દળ}} = \frac{\text{Ag નો તુલ્યભાર}}{\text{H}_2 \text{ નો તુલ્યભાર}}$
આપેલ છે:
$H_2$ નું દળ $= 5.04 \times 10^{-2} \ g$
$H_2$ નો તુલ્યભાર $= 1.008$
$Ag$ નો તુલ્યભાર $= 108$
ધારો કે જમા થયેલ સિલ્વરનું દળ $w$ છે.
$\frac{w}{5.04 \times 10^{-2}} = \frac{108}{1.008}$
$w = \frac{108 \times 5.04 \times 10^{-2}}{1.008}$
$w = 5.4 \ g$
તેથી,જમા થયેલ સિલ્વરનું દળ $5.4 \ g$ છે.

(A) સમૂહ $15$ ના તત્વોના હાઇડ્રાઇડ્સનો રિડક્શન ગુણધર્મ $E-H$ બંધની ઉષ્મીય સ્થિરતા પર આધાર રાખે છે.
જેમ આપણે સમૂહમાં નીચે જઈએ છીએ,તેમ મધ્યસ્થ પરમાણુનું કદ વધવાને કારણે બંધ વિયોજન એન્થાલ્પી ઘટે છે.
પરિણામે,હાઇડ્રાઇડ્સની સ્થિરતા ઘટે છે અને હાઇડ્રોજન પરમાણુ મુક્ત કરવાની સરળતા વધે છે.
તેથી,રિડક્શન ગુણધર્મ સમૂહમાં નીચે તરફ વધે છે.
સાચો ક્રમ: $NH_3 < PH_3 < AsH_3 < SbH_3 < BiH_3$ છે.

(A) આપેલ છે: વિવર્તન કોણ $(2 \theta) = 90^{\circ}$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.
બે સમતલો વચ્ચેનું અંતર,$d = 2.28 \ \text{Å}$.
વિવર્તનનો ક્રમ,$n = 2$.
બ્રેગનું સમીકરણ $n \lambda = 2 d \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times \lambda = 2 \times 2.28 \times \sin 45^{\circ}$.
$\sin 45^{\circ} = 0.7071$ હોવાથી,$2 \lambda = 2 \times 2.28 \times 0.7071$.
$\lambda = 2.28 \times 0.7071 = 1.612 \ \text{Å}$.

(C) આપેલ છે:
અબાષ્પશીલ દ્રાવ્યનું વજન,$w = 25 \ g$
દ્રાવકનું વજન,$W = 100 \ g$
બાષ્પદબાણમાં ઘટાડો,$p^{\circ} - p_s = 0.225 \ mm$
શુદ્ધ દ્રાવકનું બાષ્પદબાણ,$p^{\circ} = 17.5 \ mm$
દ્રાવક $(H_2O)$ નું આણ્વીય દળ,$M = 18 \ g/mol$
દ્રાવ્યનું આણ્વીય દળ,$m = ?$
રાઉલ્ટના નિયમ મુજબ:
$\frac{p^{\circ} - p_s}{p^{\circ}} = \frac{w \times M}{m \times W}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.225}{17.5} = \frac{25 \times 18}{m \times 100}$
$m = \frac{25 \times 18 \times 17.5}{22.5}$
$m = 350 \ g/mol$

(B) વજન સરેરાશ આણ્વીય દળ અને સંખ્યા સરેરાશ આણ્વીય દળના ગુણોત્તરને પોલી ડિસ્પર્સિટી ઇન્ડેક્સ $(PDI)$ કહેવામાં આવે છે.
$PDI = \frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}$
જ્યાં,
$\bar{M}_w = \text{વજન સરેરાશ આણ્વીય દળ}$
$\bar{M}_n = \text{સંખ્યા સરેરાશ આણ્વીય દળ}$
કુદરતી મોનોડિસ્પર્સ પોલીમર માટે $PDI = 1$ હોય છે,પરંતુ કૃત્રિમ પોલીમર માટે તે હંમેશા $1$ કરતા વધારે હોય છે.

(B) આપેલ છે,દળ ક્ષતિ $\Delta m = 0.081 \ u$.
ન્યુક્લિયોન્સની સંખ્યા $A = 11$.
બંધન ઉર્જા $= 931 \times \Delta m \ MeV = 931 \times 0.081 \ MeV = 75.411 \ MeV$.
સરેરાશ બંધન ઉર્જા $= \frac{\text{બંધન ઉર્જા}}{A} = \frac{75.411}{11} \ MeV = 6.85 \ MeV$.

(C) ફ્રુન્ડલિચ અધિશોષણ સમતાપીનું સમીકરણ: $\frac{x}{m} = k p^{1/n}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log \left( \frac{x}{m} \right) = \log k + \frac{1}{n} \log p$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log (x / m)$,$x = \log p$,ઢાળ $m = 1/n$ અને આંતરછેદ $c = \log k$ છે.
તેથી,$y$-અક્ષ પર $\log (x / m)$ અને $x$-અક્ષ પર $\log p$ લેતા,$1/n$ જેટલો ધન ઢાળ અને $y$-અક્ષ પર $\log k$ જેટલો આંતરછેદ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.