TS EAMCET 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $1$. गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है। पहले पतन के दौरान तय की गई दूरी $h$ है।
$2$. फर्श के साथ पहली टक्कर के बाद,गेंद $h_1 = e^2h$ ऊँचाई तक उछलती है।
$3$. इसके बाद गेंद $h_1$ ऊँचाई तक ऊपर जाती है और फिर दूसरी टक्कर के लिए वापस नीचे आती है।
$4$. उछाल के दौरान तय की गई दूरी $h_1$ (ऊपर की ओर) + $h_1$ (नीचे की ओर) = $2h_1 = 2e^2h$ है।
$5$. दूसरी टक्कर से ठीक पहले गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी प्रारंभिक पतन और उछाल की दूरी का योग है: $D = h + 2e^2h = h(1 + 2e^2)$।

(A) द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ का वेग $V_{CM} = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $V_{CM, initial} = 0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
इस निकाय में,कण आपसी आकर्षण बल के तहत गति करते हैं,जो कि आंतरिक बल हैं।
इसलिए,निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग शून्य था,इसलिए यह हर समय शून्य ही रहेगा,चाहे कणों की व्यक्तिगत चाल कुछ भी हो।

(D) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कक्षीय त्रिज्या है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$1$. कक्षीय त्रिज्या $r$,$R + h$ के बराबर होती है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई है।
$2$. सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T$ पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,कक्षा की त्रिज्या $(r)$ और ऊँचाई $(h)$ पर निर्भर करता है क्योंकि $r = R + h$ है।
$3$. आवर्तकाल $T$ उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र होता है।
अतः,आवर्तकाल (ii),(iii) और (iv) पर निर्भर करता है।

(B) माना द्रव्यमान $m = 150 \ kg$ है और तार द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{max} = 2940 \ N$ है।
जब भार सबसे निचले बिंदु (संतुलन स्थिति) पर होता है,तो तार में तनाव $T = mg + \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न यह है कि $\theta$ कोण से मुक्त करने पर संतुलन स्थिति में तार न टूटे।
संतुलन स्थिति में,तनाव $T$ का मान $T_{max} = 2940 \ N$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$\theta$ कोण से संतुलन स्थिति तक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
$mgL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow mv^2 = 2mgL(1 - \cos \theta)$.
संतुलन स्थिति में तनाव $T = mg + \frac{mv^2}{L} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$.
$T = T_{max}$ रखने पर:
$2940 = 150 \times 9.8 \times (3 - 2 \cos \theta)$.
$2940 = 1470 \times (3 - 2 \cos \theta)$.
$2 = 3 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1 \Rightarrow \cos \theta = 0.5$.
अतः,$\theta = 60^{\circ}$.

(D) एक चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
एक खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है कि $t_r = n t_s$,जहाँ $n = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$।
इसे सरल करने पर $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \tan \theta \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$।
$\theta = 45^{\circ}$ और $n = 2$ का मान रखने पर: $\mu = \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) = 1 \times (1 - 0.25) = 0.75$।

(C) माना $\overrightarrow{B} = \hat{i} - \hat{j}$.
सदिश $\overrightarrow{A}$ का $\overrightarrow{B}$ की दिशा में घटक ज्ञात करने के लिए,हम $\overrightarrow{A}$ का $\overrightarrow{B}$ की दिशा के एकांक सदिश पर अदिश प्रक्षेप की गणना करते हैं।
$\overrightarrow{B}$ की दिशा में एकांक सदिश $\hat{b} = \frac{\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
$\overrightarrow{A}$ का $\overrightarrow{B}$ की दिशा में घटक $\overrightarrow{A} \cdot \hat{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{A} \cdot \hat{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$.
$= \frac{a_x(1) + a_y(-1) + a_z(0)}{\sqrt{2}} = \frac{a_x - a_y}{\sqrt{2}}$.

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं जो हवा के संपर्क में रहती हैं। इसलिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $2 \times \Delta A$ होता है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 0.03 \,N/m$
पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$
किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$
मान रखने पर:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$

(D) गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_T$,$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ बूंद की त्रिज्या है।
अतः,$v_T \propto r^2$ है।
दिया गया है कि टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{9}{4}$ है।
चूंकि $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$,इसलिए $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गोलाकार बूंद का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$ है।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ है।

(B) साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव $T = 0.03 \,N/m$ दिया गया है।
साबुन के बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$ है।
साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times A$ होगा।
साबुन का बुलबुला बनाने में किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$.
मान रखने पर:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$.

(C) तन्य बल के कारण विस्तार को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{A \cdot Y}$.
दिया गया है: $F = 33000 \,N$, $A = 10^{-3} \,m^2$, $Y = 3 \times 10^{11} \,N/m^2$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{33000}{10^{-3} \times 3 \times 10^{11}} = \frac{33000}{3 \times 10^8} = 11 \times 10^{-5}$.
तापीय विस्तार के कारण विस्तार इस प्रकार है: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T$.
दिया गया है: $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ}C$.
दोनों विस्तारों की तुलना करने पर: $11 \times 10^{-5} = 1.1 \times 10^{-5} \times \Delta T$.
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{11 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = 10^{\circ}C$.

(A) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
लंबाई में आंशिक परिवर्तन (विकृति) के लिए सूत्र $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY}$ है।
यहाँ $m = 1 \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $A = 3 \,mm^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$, और $Y = 10^{11} \,N/m^2$ दिया गया है।
स्थिर संतुलन स्थिति के लिए $F = mg = 1 \times 10 = 10 \,N$ लेने पर:
$\frac{\Delta l}{l} = \frac{10}{3 \times 10^{-6} \times 10^{11}} = \frac{10}{3 \times 10^5} = 0.33 \times 10^{-4} \approx 0.3 \times 10^{-4}$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम वेग $0$ है। $v = u - gt$ का उपयोग करने पर,$0 = u - gt$,इसलिए $u = gt$।
अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(gt)^2}{2g} = \frac{gt^2}{2}$ है।
पिंड $t$ सेकंड में अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है।
वापस लौटते समय,पिंड $h$ ऊँचाई से $h/2$ ऊँचाई तक गिरता है। तय की गई दूरी $h/2$ है।
अधिकतम ऊँचाई से विरामावस्था से नीचे की गति के लिए $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h}{2} = 0 + \frac{1}{2}g(t')^2$,जहाँ $t'$ अधिकतम ऊँचाई से आधी ऊँचाई तक गिरने में लगा समय है।
$h = \frac{gt^2}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{gt^2}{4} = \frac{1}{2}g(t')^2$ प्राप्त होता है।
$t'$ के लिए हल करने पर,$(t')^2 = \frac{t^2}{2}$,इसलिए $t' = \frac{t}{\sqrt{2}}$।
प्रक्षेपण से कुल समय $T = t + t' = t + \frac{t}{\sqrt{2}} = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)t$ होगा।

(C) प्रक्षेप्य का वेग हमेशा उसके पथ के स्पर्शरेखा होता है। अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है। इसलिए,अधिकतम ऊँचाई पर वेग सदिश पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो क्षैतिज के साथ $0^{\circ}$ का कोण बनाता है।

(D) सरल आवर्त गति एक आवर्ती गति है।
परिभाषा के अनुसार,आवर्तकाल $T$ समय का वह न्यूनतम अंतराल है जिसके बाद कण की गति स्वयं को दोहराती है।
इसका अर्थ है कि किसी भी समय $t = nT$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) पर,कण अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाता है।
चूंकि कण अपनी प्रारंभिक स्थिति से गति शुरू करता है,इसलिए $2T$ समय के बाद,वह दो पूर्ण चक्र पूरे कर लेगा और वापस शुरुआती बिंदु पर आ जाएगा।
अतः,प्रारंभिक स्थिति से विस्थापन $0$ होगा।

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
इससे,हमें $M R^2 = 2 I$ प्राप्त होता है।
डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4} M R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,व्यास के समानांतर और रिम के किनारे को छूने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_d + M R^2$ होगा।
मान रखने पर,$I' = \frac{1}{4} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$।
चूंकि $M R^2 = 2 I$,इसलिए $I' = \frac{5}{4} (2 I) = \frac{5}{2} I$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि स्लैब $B$ की मोटाई $d$ है और इसकी ऊष्मीय चालकता $K$ है। तो,स्लैब $A$ के लिए,मोटाई $2d$ और ऊष्मीय चालकता $2K$ है।
मान लीजिए कि संपर्क सतह पर तापमान $T$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ समान होगी:
$H = \frac{K_A A (T_1 - T)}{d_A} = \frac{K_B A (T - T_2)}{d_B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2K \cdot A (100 - T)}{2d} = \frac{K \cdot A (T - 25)}{d}$
$(100 - T) = (T - 25)$
$2T = 125$
$T = 62.5^{\circ} C$

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए अवस्था का समीकरण $p V^\gamma = \text{constant}$ होता है।
आदर्श गैस नियम $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम $V = \frac{nRT}{p}$ को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$p \left( \frac{nRT}{p} \right)^\gamma = \text{constant}$
$p \cdot p^{-\gamma} \cdot T^\gamma = \text{constant}$
$p^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे संपीड़न के दौरान आयतन $V$ घटता है,गुणनफल को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ को बढ़ना चाहिए।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ के अनुसार,चूंकि $P$ बढ़ता है और $V$ घटता है,इसलिए तापमान $T$ को बढ़ना चाहिए क्योंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस पर किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाता है ($Q = 0$,$\Delta U = -W$)।
इसलिए,रुद्धोष्म संपीड़न में,तापमान और दबाव दोनों बढ़ते हैं।

(C) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
ऑक्सीजन के लिए: $p_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 1 \,L$। मोलों की संख्या $n_{O_2} = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times 1}{RT} = \frac{1}{RT}$ है।
नाइट्रोजन के लिए: $p_2 = 0.5 \,atm$,$V_2 = 2 \,L$। मोलों की संख्या $n_{N_2} = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 2}{RT} = \frac{1}{RT}$ है।
जब इन गैसों को समान तापमान $T$ पर $V_{mix} = 1 \,L$ आयतन वाले पात्र में डाला जाता है,तो कुल मोलों की संख्या $n_{mix} = n_{O_2} + n_{N_2} = \frac{1}{RT} + \frac{1}{RT} = \frac{2}{RT}$ होती है।
अंतिम दबाव $p_{mix}$ का मान $p_{mix} = \frac{n_{mix} RT}{V_{mix}} = \frac{(2/RT) \times RT}{1} = 2 \,atm$ है।

(A) माना कि प्लांक नियतांक $h$ को $h = k G^x L^y E^z$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[L] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [M^1 L^2 T^{-1}]^y [M^1 L^2 T^{-2}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-x+y+z} L^{3x+2y+2z} T^{-2x-y-2z}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$(i)$ $-x + y + z = 1$
(ii) $3x + 2y + 2z = 2$
(iii) $-2x - y - 2z = -1$
समीकरण $(i)$ और (iii) को जोड़ने पर:
$(-x + y + z) + (-2x - y - 2z) = 1 - 1$
$-3x - z = 0 \implies z = -3x$
$z = -3x$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-x + y - 3x = 1 \implies y - 4x = 1 \implies y = 1 + 4x$
$y$ और $z$ के मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$3x + 2(1 + 4x) + 2(-3x) = 2$
$3x + 2 + 8x - 6x = 2$
$5x + 2 = 2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$
अतः,$h$ के सूत्र में $G$ की विमा $0$ है।

(C) कार की गति $v_c = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ है।
$t = 10 \,s$ में,कार द्वारा तय की गई दूरी $d_c = v_c \times t = 20 \times 10 = 200 \,m$ है।
प्रारंभ में,कार पहाड़ी से $1800 \,m$ की दूरी पर है। $10 \,s$ बाद,कार पहाड़ी की ओर $200 \,m$ आगे बढ़ जाती है,इसलिए पहाड़ी से उसकी नई दूरी $1800 - 200 = 1600 \,m$ है।
ध्वनि कार से पहाड़ी तक $(1800 \,m)$ जाती है और फिर परावर्तित होकर कार की नई स्थिति $(1600 \,m)$ तक वापस आती है।
ध्वनि द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = 1800 \,m + 1600 \,m = 3400 \,m$ है।
चूंकि लिया गया समय $10 \,s$ है,इसलिए ध्वनि की गति $v_s = \frac{D}{t} = \frac{3400}{10} = 340 \,m/s$ है।

(C) तरंग में कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है कि कण का अधिकतम वेग तरंग वेग $(v)$ के बराबर है,इसलिए $v_{\max} = v$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A \omega = v$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$ और तरंग वेग $v = f \lambda$,हम $\omega = 2 \pi (v / \lambda)$ लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में रखने पर: $A \times (2 \pi v / \lambda) = v$.
दोनों पक्षों को $v$ से विभाजित करने पर,हमें $A \times (2 \pi / \lambda) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $A = \frac{\lambda}{2 \pi}$ है।

(C) दिया गया है, नदी का वेग, $v = 2 \,m/s$.
पानी का घनत्व, $\rho = 1.2 \,g/cc$.
$1 \,m^3$ पानी का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए:
$\rho = 1.2 \,g/cm^3 = 1.2 \times \frac{10^{-3} \,kg}{(10^{-2} \,m)^3} = 1.2 \times 10^3 \,kg/m^3$.
अतः, $1 \,m^3$ पानी का द्रव्यमान $m = 1.2 \times 10^3 \,kg$ है।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^3 \,kg) \times (2 \,m/s)^2$.
$K = 0.5 \times 1.2 \times 10^3 \times 4$.
$K = 2.4 \times 10^3 \,J = 2.4 \,kJ$.

(B) $+q$ और $-q$ आवेशों को जोड़ने वाली रेखा एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) बनाती है।
द्विध्रुव के लंब समद्विभाजक (निरक्षीय रेखा) पर स्थित कोई भी बिंदु दोनों आवेशों से समान दूरी पर होता है।
माना लंब समद्विभाजक पर स्थित बिंदु $P$ की $+q$ से दूरी $r_1$ और $-q$ से दूरी $r_2$ है। चूँकि $P$ लंब समद्विभाजक पर है, इसलिए $r_1 = r_2 = r$ होगा।
बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{r} + \frac{-q}{r}) = 0$ होता है।
हालाँकि, बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E$, $+q$ और $-q$ के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। चूँकि दोनों क्षेत्र शून्य नहीं हैं और उनकी दिशा ऐसी है कि वे एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं (परिणामी क्षेत्र द्विध्रुव अक्ष के समानांतर होता है), इसलिए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य नहीं होती है।
अतः, विद्युत विभव शून्य है, लेकिन विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य नहीं है।

(A) ह्यूजेंस के आई-पीस में,क्रॉस-वायर को फील्ड लेंस और आई लेंस के बीच रखा जाता है।
इस कारण से,वस्तु का प्रतिबिंब दोनों लेंसों (फील्ड लेंस और आई लेंस) द्वारा बनता है,जिसके परिणामस्वरूप दोनों द्वारा आवर्धन होता है।
हालाँकि,क्रॉस-वायर को इस तरह रखा जाता है कि वे केवल आई लेंस द्वारा ही आवर्धित होते हैं।
चूँकि वस्तु और क्रॉस-वायर के लिए आवर्धन समान नहीं है,इसलिए इस आई-पीस का उपयोग करके लिए गए माप सटीक नहीं होते हैं।
अतः,कथन $(S)$ और कारण $(R)$ दोनों सही हैं,और $(R)$,$(S)$ की सही व्याख्या करता है।

(A) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, प्राथमिक $(P)$ और द्वितीयक $(S)$ कुंडलियों में फेरों की संख्या $(N)$ और धारा $(I)$ के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\frac{N_P}{N_S} = \frac{I_S}{I_P}$
दिया गया है:
$N_P = 50$
$N_S = 200$
$I_P = 4 \,A$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{50}{200} = \frac{I_S}{4}$
$\frac{1}{4} = \frac{I_S}{4}$
$I_S = 1 \,A$
अतः, द्वितीयक कुंडली में धारा $1 \,A$ है।

(B) माना कि $E$ बैटरी का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है।
प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ को $V = I R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I = \frac{E}{R+r}$ है।
अतः,$V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$,जिसे $E = V + I r = V + \left( \frac{V}{R} \right) r$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम स्थिति के लिए: $R_1 = 16 \ \Omega$,$V_1 = 12 \ V$।
$E = 12 + \left( \frac{12}{16} \right) r = 12 + 0.75 r$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $R_2 = 10 \ \Omega$,$V_2 = 11 \ V$।
$E = 11 + \left( \frac{11}{10} \right) r = 11 + 1.1 r$ --- (ii)
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$12 + 0.75 r = 11 + 1.1 r$
$12 - 11 = 1.1 r - 0.75 r$
$1 = 0.35 r$
$r = \frac{1}{0.35} = \frac{100}{35} = \frac{20}{7} \ \Omega$।

(C) परिपथ में बिंदु $P$ और $Q$ के बीच दो समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
शाखा $PRQ$ का कुल प्रतिरोध $R_1 = 3 \, \Omega + 7 \, \Omega = 10 \, \Omega$ है।
शाखा $PSQ$ का कुल प्रतिरोध $R_2 = 7 \, \Omega + 3 \, \Omega = 10 \, \Omega$ है।
चूंकि दोनों शाखाओं के प्रतिरोध समान हैं, इसलिए कुल $2 \, A$ की धारा प्रत्येक शाखा में $1 \, A$ के रूप में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
शाखा $PRQ$ के लिए, धारा $I_1 = 1 \, A$ है। $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभव पतन $V_P - V_R = I_1 \times 3 \, \Omega = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ है।
शाखा $PSQ$ के लिए, धारा $I_2 = 1 \, A$ है। $7 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभव पतन $V_P - V_S = I_2 \times 7 \, \Omega = 1 \, A \times 7 \, \Omega = 7 \, V$ है।
हमें $V_R - V_S$ ज्ञात करना है। उपरोक्त समीकरणों से:
$V_R = V_P - 3$
$V_S = V_P - 7$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$V_R - V_S = (V_P - 3) - (V_P - 7) = -3 + 7 = +4 \, V$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिया गया है, $\lambda = 45 \times 10^{-2} \text{ Å} = 45 \times 10^{-12} \text{ m}$.
मान रखने पर: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{45 \times 10^{-12}} \text{ J}$.
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{45 \times 10^{-12}} \text{ J} = 0.4413 \times 10^{-14} \text{ J}$.
ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए, इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ से विभाजित करें:
$E_{eV} = \frac{0.4413 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 0.2758 \times 10^5 \text{ eV} = 27,580 \text{ eV}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $27,500 \text{ eV}$ है।

(B)
कॉम्पटन शिफ्ट का सूत्र:
$\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \phi)$
यहाँ $\lambda = 0.140 \,nm = 0.140 \times 10^{-9} \,m$ और $\phi = 90^\circ$ दिया गया है।
चूँकि $\cos 90^\circ = 0$, इसलिए शिफ्ट:
$\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c}$
कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य:
$\frac{h}{m_e c} \approx 2.426 \times 10^{-12} \,m = 0.002426 \,nm$
अतः,
$\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.140 \,nm + 0.002426 \,nm = 0.142426 \,nm$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर:
$\lambda' \approx 0.142 \,nm$

(B) कुल आवेश $Q = 1 \mu C = 10^{-6} \ C$ दिया गया है।
आवेश को $2:3$ के अनुपात में विभाजित किया गया है।
माना कि दो आवेश $q_1 = 2x$ और $q_2 = 3x$ हैं।
चूंकि $q_1 + q_2 = 1 \mu C$,इसलिए $5x = 1 \mu C$,जिससे $x = 0.2 \mu C$ प्राप्त होता है।
अतः,$q_1 = 2 \times 0.2 \mu C = 0.4 \times 10^{-6} \ C$ और $q_2 = 3 \times 0.2 \mu C = 0.6 \times 10^{-6} \ C$.
उनके बीच की दूरी $r = 1 \ m$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार स्थिर विद्युत बल $F$:
$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.4 \times 10^{-6}) \times (0.6 \times 10^{-6})}{1^2}$
$F = 9 \times 10^9 \times 0.24 \times 10^{-12} = 2.16 \times 10^{-3} \ N = 0.00216 \ N$.

(B) दो समान और विपरीत आवेशों ($+q$ और $-q$) को जोड़ने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक को विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा (equatorial line) कहा जाता है।
निरक्षीय रेखा पर द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर, विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का योग होता है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{r_1} + \frac{-q}{r_2} \right)$
चूंकि लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु दोनों आवेशों से समान दूरी पर होता है, इसलिए $r_1 = r_2$, जिसका अर्थ है कि $V = 0$ है।
हालाँकि, इस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ शून्य नहीं होती है। यह द्विध्रुव अक्ष के समानांतर ($+q$ से $-q$ की ओर) निर्देशित होती है और इसका मान $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^3}$ ($r \gg a$ के लिए) द्वारा दिया जाता है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियों में धारा विपरीत दिशाओं में बह रही है,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों क्षेत्रों का अंतर होगा।
दिया गया है: $N = 10$,$i_1 = 0.2 \ A$,$r_1 = 0.2 \ m$,$i_2 = 0.3 \ A$,$r_2 = 0.4 \ m$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0 N}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}|$
$B_{\text{net}} = \frac{10 \mu_0}{2} |\frac{0.2}{0.2} - \frac{0.3}{0.4}|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 |1 - 0.75|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 \times 0.25 = \frac{5}{4} \mu_0$.

(A) तार का प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M = m \cdot l$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
जब $l$ लंबाई के तार को अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो लंबाई $l$ अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है।
अतः,$l = \pi r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{l}{\pi}$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M^{\prime}$ ध्रुव प्राबल्य $m$ और ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) का गुणनफल है।
$M^{\prime} = m \cdot (2r) = m \cdot \left( \frac{2l}{\pi} \right)$।
चूंकि $M = m \cdot l$,हम समीकरण में $m \cdot l = M$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$M^{\prime} = \frac{2}{\pi} (m \cdot l) = \frac{2 M}{\pi}$।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
जब छड़ चुंबक को उसकी लंबाई के समानांतर चार बराबर टुकड़ों में काटा जाता है, तो प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{4}$ हो जाता है।
घूर्णन अक्ष के परितः एक टुकड़े का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{I}{4}$ होता है।
एक टुकड़े का नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = \frac{M}{4}$ होता है।
इन मानों को नए आवर्तकाल $T'$ के सूत्र में रखने पर:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/4}{(M/4) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = T$.
अतः, नया आवर्तकाल $T' = 4 \,s$ होगा।

(C) नाभिकीय बल वह प्रबल बल है जो नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।
प्रायोगिक साक्ष्य दर्शाते हैं कि नाभिकीय बल आवेश से स्वतंत्र होता है।
इसका अर्थ यह है कि दो प्रोटॉन,दो न्यूट्रॉन या एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन के बीच का बल मूल रूप से समान होता है,बशर्ते उनके बीच की दूरी और उनकी स्पिन अवस्थाएं समान हों।
इसलिए,$F_{pp} = F_{nn} = F_{np}$।

(C) सफेद प्रकाश में एक एकल लेंस द्वारा निर्मित वस्तु का प्रतिबिंब आमतौर पर रंगीन और धुंधला होता है क्योंकि लेंस की फोकस दूरी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के साथ बदलती रहती है। इस दोष को वर्ण विपथन (chromatic aberration) कहा जाता है।
लेंसों का एक्रोमैटिक संयोजन इस वर्ण विपथन को कम करने या समाप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
विभिन्न सामग्रियों के दो लेंसों (आमतौर पर क्राउन ग्लास का उत्तल लेंस और फ्लिंट ग्लास का अवतल लेंस) को जोड़कर,एक लेंस द्वारा उत्पन्न विक्षेपण को दूसरे लेंस द्वारा रद्द कर दिया जाता है।
इसलिए,परिणामी प्रतिबिंब वर्ण विपथन से मुक्त होता है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब की गुणवत्ता प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के साथ अपवर्तनांक के परिवर्तन से प्रभावित नहीं होती है।

(A) ह्यूजेंस के आई-पीस में दो समतल-उत्तल लेंस होते हैं जो एक निश्चित दूरी पर स्थित होते हैं।
जब इसका उपयोग माप लेने के लिए किया जाता है,तो क्रॉस-वायर को दो लेंसों के बीच रखा जाता है।
वस्तु का अंतिम प्रतिबिंब दोनों लेंसों के संयुक्त प्रभाव से बनता है,जिसके परिणामस्वरूप एक विशिष्ट आवर्धन प्राप्त होता है।
हालाँकि,क्रॉस-वायर केवल आई-लेंस द्वारा ही आवर्धित होता है।
चूंकि वस्तु और क्रॉस-वायर अलग-अलग संख्या में लेंसों द्वारा आवर्धित होते हैं,इसलिए उनका आवर्धन आनुपातिक नहीं होता है।
यह माप में त्रुटियों का कारण बनता है,इसलिए कथन $(S)$ सही है और कारण $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।

(A) समतल-अवतल लेंस के लिए, एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ होती है और दूसरी सतह अवतल $(R_2 = 0.3 \,m)$ होती है। चिह्न परिपाटी के अनुसार, अवतल सतह के लिए $R_2 = -0.3 \,m$ लिया जाता है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ $\mu = 5/3$, $R_1 = \infty$, और $R_2 = -0.3 \,m$ है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{3} \right) \left( 0 + \frac{1}{0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}$
$f = \frac{9}{20} = 0.45 \,m$
चूंकि यह एक अवतल लेंस है, चिह्न परिपाटी के अनुसार फोकस दूरी ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए $f = -0.45 \,m$।

(D) फॉरवर्ड बायसिंग में,बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-साइड से और ऋणात्मक टर्मिनल $n$-साइड से जुड़ा होता है।
यह विन्यास बहुसंख्यक आवेश वाहकों ($p$-क्षेत्र में होल और $n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन) को जंक्शन की ओर धकेलता है।
परिणामस्वरूप,अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है और विभव प्राचीर (potential barrier) कम हो जाता है।
इसलिए,यह कथन कि इलेक्ट्रॉन और होल जंक्शन से दूर जाते हैं,गलत है।

(A) थर्मोइलेक्ट्रिक पावर $S$ को तापमान के सापेक्ष थर्मो-इलेक्ट्रोमोटिव बल के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $S = \frac{dE}{dT}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया व्यंजक $E = k(T-T_r)[T_0 - \frac{1}{2}(T+T_r)]$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $E = k[T_0(T-T_r) - \frac{1}{2}(T^2 - T_r^2)]$.
$T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dE}{dT} = k[T_0 - \frac{1}{2}(2T)] = k(T_0 - T)$.
$S$ के व्यंजक में $T = \frac{1}{2} T_0$ रखने पर:
$S = k(T_0 - \frac{1}{2} T_0) = k(\frac{1}{2} T_0) = \frac{1}{2} k T_0$.

(C) फ्रॉनहोफर विवर्तन तब होता है जब प्रकाश का स्रोत और स्क्रीन अवरोध या द्वारक से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर होते हैं।
व्यावहारिक रूप से,यह तब प्राप्त होता है जब फ्रेनेल दूरी $z_F = \frac{b^2}{\lambda}$ अवरोध और स्क्रीन के बीच की दूरी $L$ से बहुत कम होती है।
इसलिए,स्थिति $L \gg \frac{b^2}{\lambda}$ है,जिसे $\frac{b^2}{L \lambda} \ll 1$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।