TS EAMCET 2002 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{1-x+6x^2}{x(1-x)(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{1+x}$ है।
दोनों पक्षों को $x(1-x)(1+x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1-x+6x^2 = A(1-x^2) + Bx(1+x) + Cx(1-x)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$1 - 0 + 6(0)^2 = A(1 - 0^2) + B(0)(1+0) + C(0)(1-0)$.
$1 = A(1)$.
अतः,$A = 1$।

(B) सबसे पहले,हम $l$ की गणना करते हैं:
$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} \right) = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( 3 \frac{\sin \theta}{\theta} - 4 \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\theta} \right)$
चूंकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए $l = 3(1) - 4(0)(1) = 3$.
अगला,हम $m$ की गणना करते हैं:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{\theta}$
सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए,हमें $m = 2$ प्राप्त होता है।
मूल $l=3$ और $m=2$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (l+m)x + lm = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (3+2)x + (3 \times 2) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 5x + 6 = 0$ हो जाता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$ है और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -c$ है।
हमें $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^4-8x^3+x^2-x+3=0$ है।
$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots = 0$ के रूप वाले समीकरण के दूसरे पद को हटाने के लिए,हम मूलों को $h = -\frac{a_1}{n \cdot a_0}$ से कम करते हैं।
यहाँ,$a_0 = 1$,$a_1 = -8$,और $n = 4$ है।
अतः,$h = -\frac{-8}{4 \times 1} = \frac{8}{4} = 2$।
इसलिए,मूलों को $2$ से कम करना चाहिए।

(B) माना $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$ है।
डेसकार्टेस के चिह्नों के नियम के अनुसार,धनात्मक वास्तविक मूलों की संख्या $f(x)$ के गुणांकों में होने वाले चिह्न परिवर्तनों की संख्या के बराबर होती है।
गुणांक $(1, 0, 0, -6, -4, 5)$ हैं।
चिह्न परिवर्तन: $(1$ से $-6)$ और $(-4$ से $5)$।
अतः,$2$ चिह्न परिवर्तन हैं,इसलिए अधिकतम $2$ धनात्मक वास्तविक मूल हो सकते हैं।
अब,$f(-x) = -x^5 - 6x^2 + 4x + 5$ लें।
गुणांक $(-1, 0, 0, -6, 4, 5)$ हैं।
चिह्न परिवर्तन: $(-6$ से $4)$।
अतः,$1$ चिह्न परिवर्तन है,इसलिए अधिकतम $1$ ऋणात्मक वास्तविक मूल हो सकता है।
इसलिए,वास्तविक मूलों की अधिकतम संभावित संख्या $2 + 1 = 3$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
हमें $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$.
मान रखने पर:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3 + 0x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2$,$b = 0$,$c = -2$,और $d = -1$ है।
अतः,$\Sigma \alpha \beta = \frac{-2}{2} = -1$.
हमें $(\Sigma \alpha \beta)^2$ का मान ज्ञात करना है।
$(\Sigma \alpha \beta)^2 = (-1)^2 = 1$.

(D) चूंकि द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
यह दिया गया है कि $1-i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $1+i$ भी समीकरण का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल अचर पद $b$ के बराबर होता है।
अतः,$b = (1-i)(1+i)$।
सर्वसमिका $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ का उपयोग करने पर:
$b = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$।
इस प्रकार,$b = 2$।

(A) दिया गया है $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.
गुणनफल $P = x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ इस प्रकार है:
$P = e^{i \frac{\pi}{4^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^3}} \ldots = e^{i \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots \right)}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$ होता है।
अतः,$P = e^{i \pi \left(\frac{1}{3}\right)} = e^{i \frac{\pi}{3}}$.
$P = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$.

(D) दिया गया है $z = 3+5i$,तो इसका संयुग्मी $\bar{z} = 3-5i$ होगा।
सबसे पहले,$z^3$ की गणना करें:
$z^2 = (3+5i)^2 = 9 + 25i^2 + 30i = 9 - 25 + 30i = -16 + 30i$.
$z^3 = z^2 \cdot z = (-16 + 30i)(3 + 5i) = -48 - 80i + 90i + 150i^2$.
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $z^3 = -48 + 10i - 150 = -198 + 10i$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$.
$= (-198 + 198) + (10i - 5i) + 3 = 0 + 5i + 3 = 3 + 5i$.

(A) हमारे पास है,$\left|z+\frac{i}{2}\right|^2=\left|z-\frac{i}{2}\right|^2$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|x+i\left(y+\frac{1}{2}\right)\right|^2 = \left|x+i\left(y-\frac{1}{2}\right)\right|^2$.
गुणधर्म $|a+ib|^2 = a^2+b^2$ का उपयोग करने पर:
$x^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2$.
$x^2 + y^2 + y + \frac{1}{4} = x^2 + y^2 - y + \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों से $x^2 + y^2 + \frac{1}{4}$ घटाने पर:
$y = -y$ $\Rightarrow 2y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
समीकरण $y=0$ $x$-अक्ष को दर्शाता है।

(B) पास्कल की सर्वसमिका ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,${}^nC_5 + {}^nC_6 = {}^{n+1}C_6$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका: ${}^{n+1}C_6 > {}^{n+1}C_5$.
संचयों का विस्तार करने पर: $\frac{(n+1)!}{6!(n-5)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}$.
दोनों पक्षों को $(n+1)!$ से विभाजित करने और सरल करने पर: $\frac{1}{6!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)!}$.
चूंकि $6! = 6 \times 5!$ और $(n-4)! = (n-4) \times (n-5)!$,इसलिए: $\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$.
समान पदों को हटाने पर: $\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$.
इसका अर्थ है $n-4 > 6$,अतः $n > 10$.
इस शर्त को पूरा करने वाली न्यूनतम प्राकृतिक संख्या $n = 11$ है।

(A) माना $T_n$,$n^{th}$ समुच्चय का प्रथम पद है। प्रथम पद $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$ हैं।
यह एक अनुक्रम है जिसमें अंतर $1, 2, 3, 4, \ldots$ है।
$n^{th}$ पद $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$50^{th}$ समुच्चय के लिए,$n=50$,अतः $T_{50} = 1 + \frac{49 \times 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$।
$50^{th}$ समुच्चय में $1226$ से शुरू होने वाले $50$ क्रमागत पूर्णांक हैं।
समांतर श्रेणी में $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
यहाँ $n=50$,$a=1226$,और $d=1$ है,अतः $S_{50} = \frac{50}{2}[2(1226) + 49(1)] = 25[2452 + 49] = 25[2501] = 62525$।

(B) $\triangle ABC$ में,माना $a, b, c$ भुजाओं की लंबाई हैं और $p_1, p_2, p_3$ संगत शीर्षलंब हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इससे $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $p_1, p_2, p_3$ $AP$ में हैं,इसलिए $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ $AP$ में हैं।
$2\Delta$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं।
हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression) की परिभाषा के अनुसार,यदि पदों के व्युत्क्रम $AP$ में हैं,तो वे पद $HP$ में होते हैं।
अतः,$a, b, c$ $HP$ में हैं।

(C) माना $E = \cos^2 76^{\circ} + \cos^2 16^{\circ} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1 + \cos 32^{\circ}}{2} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$E = 1 + \frac{1}{2} (\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ}) - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cos 60^{\circ} = \cos 92^{\circ}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos 92^{\circ} + \cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}$
मान रखने पर:
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} - (\frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(D) दिया गया है,$x = \tan \theta + \sin \theta$ और $y = \tan \theta - \sin \theta$.
समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर:
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$ और $\sin \theta = \frac{x - y}{2}$.
अब,गुणनफल $xy$ लेने पर:
$xy = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$xy = \sin^2 \theta \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - 1\right) = \sin^2 \theta \cdot \tan^2 \theta$.
साथ ही,$x^2 - y^2 = 4 \tan \theta \sin \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2 - y^2)^2 = 16 \tan^2 \theta \sin^2 \theta$.
अतः,$(x^2 - y^2)^2 = 16xy$.

(D) हम सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A + B) \sin(A - B)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$A = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2}$ और $B = \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}$ है।
तब $A + B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}$ होता है।
और $A - B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} - \left(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}\right) = x$ होता है।
अतः,$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x)$ प्राप्त होता है।
$\sin(x)$ का आवर्तनांक $2\pi$ है।
इसलिए,$f(x)$ का आवर्तनांक $2\pi$ है।

(A) दिया गया है कि $\cos (\alpha+\beta) = \frac{4}{5}$। चूँकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2}$,अतः $\tan (\alpha+\beta) = \frac{3}{4}$।
दिया गया है कि $\sin (\alpha-\beta) = \frac{5}{13}$। चूँकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{4}$,अतः $\tan (\alpha-\beta) = \frac{5}{12}$।
अब,$\tan 2\alpha = \tan [(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)]$।
सूत्र $\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})}$
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{9+5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{48-15}{48}} = \frac{14}{12} \cdot \frac{48}{33} = \frac{14 \cdot 4}{33} = \frac{56}{33}$.

(B) हमें योग $S = \sum_{k=1}^3 \cos^2 \left((2k-1) \frac{\pi}{12}\right)$ का मूल्यांकन करना है।
$k=1, 2, 3$ के लिए योग का विस्तार करने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
कोणों को सरल करने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
चूंकि $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$,इसलिए $\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right)$.
इस मान को योग में रखने पर:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$S = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) माना बिंदु $D(4, 2)$ और $C(-2, 6)$ हैं। रेखा $L=0$,रेखाखंड $CD$ का लंब समद्विभाजक है।
रेखा $CD$ की ढाल $= \frac{6-2}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$ है।
चूंकि रेखा $L$,$CD$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{(-2/3)} = \frac{3}{2}$ होगी।
$CD$ का मध्य-बिंदु $O$,$\left(\frac{4-2}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (1, 4)$ है।
बिंदु $(1, 4)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2y - 8 = 3x - 3$
$3x - 2y + 5 = 0$.

(B) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ है।
यदि निर्देशांक अक्ष समद्विभाजक हैं,तो उनका समीकरण $xy = 0$ होगा।
अतः,$h = 0$ होना चाहिए।

(D) दिया गया समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है,जहाँ $A = \cos \theta - \sin \theta$,$H = \cos \theta$,और $B = \cos \theta + \sin \theta$ है।
रेखाओं के युग्म के बीच का न्यूनकोण $\alpha$ सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$H^2 - AB = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$।
$A + B = 2 \cos \theta$।
अतः,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$।
चूँकि $2 \theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\alpha = \theta$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=r^2$ है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
रेखा का समीकरण $mx-y+c=0$ है।
रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है यदि केंद्र $(0,0)$ से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई त्रिज्या $r$ से कम हो।
लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \left| \frac{m(0) - (0) + c}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
दो भिन्न बिंदुओं के लिए,$d < r$ होना चाहिए:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(B) दिया गया है कि परिमाप $2s = 16 \text{ cm}$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = 8 \text{ cm}$ है।
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। $a = 6 \text{ cm}$ और क्षेत्रफल $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ दिया गया है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
चूंकि $a+b+c = 16$ और $a=6$,इसलिए $b+c = 10$,यानी $c = 10-b$.
समीकरण में $c$ का मान रखने पर: $9 = (8-b)(8-(10-b))$.
$9 = (8-b)(b-2)$.
$b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5$.
चूंकि $b=5$,इसलिए $c = 10-5 = 5$.
दो भुजाएँ समान $(b=c=5)$ होने के कारण,त्रिभुज समद्विबाहु है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ और $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ होता है।
अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
अंश $= \cos^2 x + \sin^4 x = \cos^2 x + \sin^2 x (\sin^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
इसी प्रकार,हर के लिए:
हर $= \sin^2 x + \cos^4 x = \sin^2 x + \cos^2 x (\cos^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
अतः,$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \sin^2 x \cos^2 x} = 1$,सभी $x \in R$ के लिए।
इसलिए,$f(2002) = 1$.

(C) दिया गया है कि $3$,$x^2+kx-24=0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x=3$ रखने पर:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$.
अब,$k=5$ और $x=3$ रखकर विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 - kx + 6 = 0$
$x=3$ और $k=5$ रखने पर:
$(3)^2 - (5)(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
अतः,$3$,$x^2-kx+6=0$ का भी मूल है।

(A) माना $\alpha$ दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है। तब:
$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ $(1)$
$\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 - \alpha^2) + (a\alpha - b\alpha) + (b - a) = 0$
$(a - b)\alpha - (a - b) = 0$
$(a - b)(\alpha - 1) = 0$
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $\alpha - 1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।
$\alpha = 1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(1)^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$

(B) सबसे पहले,हम $l$ की गणना करते हैं:
$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( 3 \frac{\sin \theta}{\theta} - 4 \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\theta} \right) = 3(1) - 4(0)(1) = 3$.
इसके बाद,हम $m$ की गणना करते हैं:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{\tan \theta}{\theta} \cdot \frac{2}{1 - \tan^2 \theta} \right) = 1 \cdot \frac{2}{1 - 0} = 2$.
$l=3$ और $m=2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (l+m)x + lm = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 - (3+2)x + (3 \times 2) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 5x + 6 = 0$ हो जाता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^4-x^2+x-1=0$ है।
माना $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ है। चूँकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $\beta = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ भी एक मूल होगा।
मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}i + 1-\sqrt{3}i}{2} = 1$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$ है।
इन मूलों के संगत द्विघात गुणनखंड $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = x^2 - x + 1 = 0$ है।
$x^4-x^2+x-1$ को $x^2-x+1$ से विभाजित करने पर,हमें $x^4-x^2+x-1 = (x^2-x+1)(x^2+x-1) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक मूल $x^2+x-1=0$ से प्राप्त होते हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $z = \frac{3+2i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$। हर के संयुग्मी $(1+2i \sin \theta)$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i \sin \theta + 2i \sin \theta + 4i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \left( \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} \right)$
$z$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है $\sin \theta = 0$।
चूंकि $0 < \theta < 2\pi$,इसलिए $\theta = \pi$।

(D) चूँकि समीकरण $x^2+ax+b=0$ के गुणांक $a$ और $b$ वास्तविक हैं,इसलिए इसके सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि $1-i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $1+i$ भी समीकरण का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल अचर पद $b$ के बराबर होता है।
अतः,$b = (1-i)(1+i)$.
सर्वसमिका $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ का उपयोग करने पर:
$b = 1^2 - i^2$.
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

(A) हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक साइन फलन की परिभाषा $\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ है।
$z = ix$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin x$.
अतः,$\sinh(ix) = i \sin x$.

(C) उपलब्ध विषम अंक $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं।
इन $5$ अलग-अलग अंकों का उपयोग करके बनाई गई $5$ अंकों की कुल संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
यदि संख्या का अंतिम अंक $5$ है,तो वह संख्या $5$ से विभाज्य होगी।
यदि अंतिम अंक $5$ निश्चित है,तो शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों $\{1, 3, 7, 9\}$ द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5$ से विभाज्य $5$ अंकों की संख्याएँ $= 4! = 24$ हैं।
अतः,$5$ से विभाज्य न होने वाली $5$ अंकों की संख्याएँ $= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$ हैं।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं के वृत्तीय क्रमचय की संख्या $(n-1)!$ होती है।
हार के लिए,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ होती है।
यहाँ,$n = 8$ है।
तरीकों की संख्या = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$.

(C) $\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^5$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^5 C_r (x^2)^{5-r} (\frac{k}{x})^r$
$T_{r+1} = { }^5 C_r k^r x^{10-3r}$
$x$ के गुणांक के लिए,$x$ की घात को $1$ के बराबर रखने पर:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9 \Rightarrow r = 3$
$r = 3$ रखने पर,गुणांक:
गुणांक $= { }^5 C_3 k^3 = 10 k^3$
दिया गया है कि गुणांक $270$ है:
$10 k^3 = 270$
$k^3 = 27$
$k = 3$

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $p$ वां पद $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ है,इसलिए इसका गुणांक $p = { }^n C_{p-1}$ है।
$(p+1)$ वां पद $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ है,इसलिए इसका गुणांक $q = { }^n C_p$ है।
द्विपद गुणांकों का अनुपात $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$ होता है।
अतः,$q = n-p+1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$p+q = p + n - p + 1 = n+1$।

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दी गई व्यंजक $(1+x+x^2)^n$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$(1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
अतः,गुणांकों का योग $3^n$ है।

(C) माना $E = \cos ^2 76^{\circ}+\cos ^2 16^{\circ}-\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1+\cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1+\cos 32^{\circ}}{2} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ सूत्र के अनुसार:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = \cos 92^{\circ}$ होता है।
अतः,$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 92^{\circ}) - \frac{1}{2}(\cos 92^{\circ} + \cos 60^{\circ})$
$E = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(C) हमारे पास $\sum_{k=1}^3 \cos ^2\left((2 k-1) \frac{\pi}{12}\right) = \cos ^2 \frac{\pi}{12} + \cos ^2 \frac{3 \pi}{12} + \cos ^2 \frac{5 \pi}{12}$ है।
चूँकि $\frac{3 \pi}{12} = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos ^2 \frac{\pi}{4} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,व्यंजक $\cos ^2 \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} + \cos ^2 \frac{5 \pi}{12}$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos \frac{5 \pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = \sin \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
यह मान रखने पर,हमें $\frac{1}{2} + \cos ^2 \frac{\pi}{12} + \sin ^2 \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1$,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि यह $(0,0)$ से गुजरता है,$c = 0$ प्राप्त होता है।
$(2,0)$ के लिए,$4 + 4g = 0 \Rightarrow g = -1$।
$(0,-2)$ के लिए,$4 - 4f = 0 \Rightarrow f = 1$।
अतः वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ है।
बिंदु $(k,-2)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k(k - 2) = 0$
चूँकि बिंदु भिन्न हैं,इसलिए $k = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना पुराने निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,$x' = \sqrt{2}$,और $y' = 4$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} - 4 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 - 2\sqrt{2}$
$y = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} + 4 \cos 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 + 2\sqrt{2}$
अतः,पुरानी प्रणाली में निर्देशांक $(1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$ हैं।

(B) दी गई रेखा $2x - 3y + 7 = 0$ है।
दी गई रेखा के लंबवत रेखा का समीकरण $3x + 2y + k = 0$ के रूप में होता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $3x + k = 0 \Rightarrow x = -\frac{k}{3}$।
$x = 0$ रखें: $2y + k = 0 \Rightarrow y = -\frac{k}{2}$।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{intercept} \cdot y_{intercept}| = 3$ है।
$\frac{1}{2} |(-\frac{k}{3}) \cdot (-\frac{k}{2})| = 3$।
$\frac{1}{2} |\frac{k^2}{6}| = 3$।
$|k^2| = 36 \Rightarrow k = \pm 6$।
$k$ का मान $3x + 2y + k = 0$ में रखने पर,हमें $3x + 2y = \pm 6$ प्राप्त होता है।

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $xy-x-y+1=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x(y-1)-1(y-1)=0$,जो $(x-1)(y-1)=0$ देता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x=1$ और $y=1$।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चूंकि रेखाएं $ax+2y-3a=0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ को रेखा $ax+2y-3a=0$ के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
$x=1$ और $y=1$ को समीकरण में रखने पर: $a(1)+2(1)-3a=0$।
$a+2-3a=0$।
$-2a+2=0$।
$2a=2$।
$a=1$।

(D) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। मूल बिंदु से दूरी $c$ होने के कारण,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$। वृत्त का केंद्र $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) = (x, y)$ है। अतः $a=2x, b=2y$। मान रखने पर,$\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{4y^2} = \frac{1}{c^2}$।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में स्थित है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ होगा।
वृत्त का समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है।
वृत्त रेखा $4x + 3y - 12 = 0$ को स्पर्श करता है। केंद्र $(r, r)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|4r + 3r - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = r$
$\frac{|7r - 12|}{5} = r$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) 7r - 12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$
$2) 7r - 12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$
चूंकि हमें बड़े वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी है,इसलिए त्रिज्या $6$ है।

(B) चूंकि वृत्त तीसरे चतुर्थांश में दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र दोनों अक्षों से ऋणात्मक दिशा में $5$ इकाई की दूरी पर होना चाहिए।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-5, -5)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 5$ दी गई है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$h = -5$,$k = -5$,और $r = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x+5)^2 + (y+5)^2 = 25$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=r^2$ है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
रेखा का समीकरण $mx-y+c=0$ है।
रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है यदि केंद्र $(0,0)$ से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई त्रिज्या $r$ से कम हो।
लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|m(0) - (0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$d < r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
यह असमिका दर्शाती है कि:
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(C) दिया गया है कि नाभि $S(3,0)$ है,माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि $S$ की दूरी,$P$ से नियता की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$SP^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-0)^2 = (x+3)^2$
$y^2 = (x+3)^2 - (x-3)^2$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करने पर:
$y^2 = (x+3+x-3)(x+3-x+3)$
$y^2 = (2x)(6)$
$y^2 = 12x$

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। माना $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ परवलय पर दो बिंदु हैं ताकि $PQ$ नाभि $S(a, 0)$ से गुजरने वाली एक नाभिलंब जीवा हो।
जीवा $PQ$ का समीकरण $y(t_1 + t_2) = 2x + 2at_1t_2$ है।
चूंकि यह $(a, 0)$ से गुजरती है,हमारे पास $0 = 2a + 2at_1t_2$ है,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -1$।
माना $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष जीवा $PQ$ का ध्रुव है।
$(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है,जिसे $yy_1 - 2ax = 2ax_1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना जीवा के समीकरण $y(t_1 + t_2) - 2x = 2at_1t_2$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = \frac{-2a}{-2} = \frac{2ax_1}{2at_1t_2}$
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = a$ से,हमें $y_1 = a(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है।
$a = \frac{x_1}{t_1t_2}$ से,हमें $x_1 = at_1t_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t_1t_2 = -1$,हमें $x_1 = a(-1) = -a$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव $(x_1, y_1)$ का बिंदुपथ $x = -a$ है,जो परवलय की नियता है।

(A) रेखा का समीकरण $x+4y-4=0$ है। इसे $lx+my+n=0$ से तुलना करने पर,$l=1, m=4, n=-4$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+4y^2=4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=4$ और $b^2=1$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष रेखा $lx+my+n=0$ के ध्रुव $(x_1, y_1)$ का सूत्र है:
$x_1 = -\frac{a^2l}{n}$ और $y_1 = -\frac{b^2m}{n}$।
मान रखने पर:
$x_1 = -\frac{4 \times 1}{-4} = 1$
$y_1 = -\frac{1 \times 4}{-4} = 1$
अतः,ध्रुव $(1,1)$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसका सारणिक $|A| \neq 0$ है,जिसका अर्थ है कि प्रतिलोम आव्यूह $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
समीकरण $AB = O$ दिया गया है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}O$
$(A^{-1}A)B = O$
$IB = O$
$B = O$
अतः,$B$ एक शून्य आव्यूह है।

(C) दिए गए फलन $f(x) = 3x - 4$ और $g(x) = 3x + 2$ हैं।
$f^{-1}(y)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $f(x) = y$ है।
$3x - 4 = y \implies 3x = y + 4 \implies x = \frac{y + 4}{3}$।
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3}$।
अब,$f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$।
$g^{-1}(z)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $g(x) = z$ है।
$3x + 2 = z \implies 3x = z - 2 \implies x = \frac{z - 2}{3}$।
अतः,$g^{-1}(z) = \frac{z - 2}{3}$।
अंततः,$g^{-1}(f^{-1}(5)) = g^{-1}(3) = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$।

(B) दिए गए वक्र $x=y^2$ $(i)$ और $xy=a^3$ (ii) हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
वक्र (ii) के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x=y^2$ को $xy=a^3$ में रखने पर: $y^2 \cdot y = a^3 \Rightarrow y^3 = a^3 \Rightarrow y = a$.
अतः $x = a^2$. इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(a^2, a)$ है।
माना $(a^2, a)$ पर स्पर्श रेखाओं की प्रवणता $m_1$ और $m_2$ है।
$m_1 = \left(\frac{1}{2y}\right)_{(a^2, a)} = \frac{1}{2a}$.
$m_2 = \left(-\frac{y}{x}\right)_{(a^2, a)} = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$.
चूंकि वक्र लंबवत काटते हैं,इसलिए $m_1 m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2a}\right) \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$.
$-\frac{1}{2a^2} = -1$.
$2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(A) माना $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > -1$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$:
$\frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{4+x^2+4x - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
चूँकि $x^2 \ge 0$ और $x \neq -2$ के लिए $(2+x)^2 > 0$,असमिका तब सत्य होती है जब $1+x > 0$ और $x \neq 0$ हो।
अतः,$x > -1$ और $x \neq 0$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
चूंकि किसी भी $x \in R$ के लिए $e^{-x} \neq 0$,इसलिए $1 - x = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,उच्चिष्ठ की जांच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ निकालते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - [e^{-x} - x e^{-x}] = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0$.
चूंकि $x = 1$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $x = 1$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(C) हमारे पास है,$I = \int \frac{dx}{1-\cos x-\sin x}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ और $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{dx}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} - \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}$
$I = \int \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{1+\tan^2(x/2) - 1 + \tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)}$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{2\tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{\tan(x/2)(\tan(x/2)-1)}$.
माना $z = \tan(x/2)$,तब $dz = \frac{1}{2}\sec^2(x/2) dx$,इसलिए $\sec^2(x/2) dx = 2dz$.
$I = \int \frac{2dz}{2z(z-1)} = \int \frac{dz}{z(z-1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}$.
$I = \int \left(\frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}\right) dz = \log|z-1| - \log|z| + C = \log\left|\frac{z-1}{z}\right| + C$.
$z = \tan(x/2)$ का मान वापस रखने पर:
$I = \log\left|\frac{\tan(x/2)-1}{\tan(x/2)}\right| + C = \log|1 - \cot(x/2)| + C$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{7+5 \cos x}$ है।
सर्वसमिका $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{7(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) + 5(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})}$
$I = \int \frac{dx}{12 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin^2 \frac{x}{2}}$
अंश और हर को $\cos^2 \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{12 + 2 \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{6 + \tan^2 \frac{x}{2}}$
माना $\tan \frac{x}{2} = z$,तब $\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dz$ होगा।
$I = \int \frac{dz}{6 + z^2} = \int \frac{dz}{(\sqrt{6})^2 + z^2}$
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \frac{z}{\sqrt{6}} + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{6}} \tan \frac{x}{2}\right) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{9^x-1}} = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{(3^x)^2-1}}$.
$3^x = z$ प्रतिस्थापन लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $3^x \log 3 \, dx = dz$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3^x \, dx = \frac{dz}{\log 3}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dz}{\sqrt{z^2-1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-a^2}} = \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \log |z + \sqrt{z^2-1}| + c$.
अब $z = 3^x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \log |3^x + \sqrt{9^x-1}| + c$.

(B) चूंकि फलन $f(x) = \sin^4 x \cos^6 x$ एक सम फलन है,इसलिए:
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times \frac{\Gamma(\frac{4+1}{2}) \Gamma(\frac{6+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{4+6+2}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{7}{2})}{\Gamma(6)}$
$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ और $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ का उपयोग करने पर:
$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$
$\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{15}{8} \sqrt{\pi}$
$\Gamma(6) = 5! = 120$
$I = \frac{(\frac{3}{4} \sqrt{\pi}) (\frac{15}{8} \sqrt{\pi})}{120} = \frac{45 \pi}{32 \times 120} = \frac{3 \pi}{256}$

(B) हमारे पास है,
$\int_2^3 \frac{d x}{x^2-x} = \int_2^3 \frac{1}{x(x-1)} d x$
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
अतः,$\int_2^3 \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) d x = [\log |x-1| - \log |x|]_2^3$
$= [\log |\frac{x-1}{x}|]_2^3$
$= \log |\frac{3-1}{3}| - \log |\frac{2-1}{2}|$
$= \log \frac{2}{3} - \log \frac{1}{2}$
$= \log \left( \frac{2/3}{1/2} \right) = \log \frac{4}{3}$

(A) दिए गए समाकलन $\int_{1}^{9} x^2 dx$ के लिए $n = 4$ अंतराल हैं।
प्रत्येक अंतराल की चौड़ाई $h = \frac{9-1}{4} = 2$ है।
$x$ के मान $x_0=1, x_1=3, x_2=5, x_3=7, x_4=9$ हैं।
$y = f(x) = x^2$ के संगत मान इस प्रकार हैं:
$y_0 = f(1) = 1^2 = 1$
$y_1 = f(3) = 3^2 = 9$
$y_2 = f(5) = 5^2 = 25$
$y_3 = f(7) = 7^2 = 49$
$y_4 = f(9) = 9^2 = 81$
ट्रैपेज़ॉइडल नियम के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3) + y_4]$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{1}^{9} x^2 dx \approx \frac{2}{2} [1 + 2(9 + 25 + 49) + 81]$
$\int_{1}^{9} x^2 dx \approx 1 [1 + 2(83) + 81]$
$\int_{1}^{9} x^2 dx \approx 1 + 166 + 81 = 248$.

(A) $(h, k)$ पर केंद्रित सभी संकेंद्रित वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
यहाँ,$(h, k)$ निश्चित स्थिरांक (केंद्र) हैं और $r$ त्रिज्या है,जो एकमात्र स्वेच्छ अचर है।
चूंकि यहाँ केवल एक ही स्वेच्छ अचर $(r)$ है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (\frac{x}{y})^{-1/3}$ है।
दाहिनी ओर को सरल करने पर,$\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^{1/3} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$y^{-1/3} dy = x^{-1/3} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y^{-1/3} dy = \int x^{-1/3} dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन के घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर,$\frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C'$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,$y^{2/3} = x^{2/3} + \frac{2}{3}C'$ प्राप्त होता है।
माना $c = \frac{2}{3}C'$,तो $y^{2/3} - x^{2/3} = c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{3}$ और $Q = 1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
समीकरण के दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर:
$e^{x/3} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{3} e^{x/3} y = e^{x/3}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx} (y \cdot e^{x/3}) = e^{x/3}$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$y \cdot e^{x/3} = \int e^{x/3} dx + c$
$y \cdot e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$
$e^{x/3}$ से भाग देने पर:
$y = 3 + ce^{-x/3}$

(A) हमारे पास $\frac{dy}{dx} - y = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y e^{-x} = \int x^2 e^{-x} dx + c$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + c$।
अतः,$y e^{-x} = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$।
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,$y = -(x^2 + 2x + 2) + ce^x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y + x^2 + 2x + 2 = ce^x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि स्थिति सदिश $A = \hat{i} + x\hat{j} + 3\hat{k}$,$B = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$,और $C = y\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $t$ के लिए $\vec{AB} = t\vec{BC}$ होगा।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\vec{AB} = t\vec{BC}$ को बराबर करने पर:
$2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k} = t(y-3)\hat{i} - 6t\hat{j} - 12t\hat{k}$.
$\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4 = -12t \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$.
$\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4 - x = -6t = -6(-\frac{1}{3}) = 2 \Rightarrow x = 2$.
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$t(y - 3) = 2 \Rightarrow -\frac{1}{3}(y - 3) = 2 \Rightarrow y - 3 = -6 \Rightarrow y = -3$.
अतः,$(x, y) = (2, -3)$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ और $C(3, -4, -4)$ हैं।
भुजाओं के सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = (3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = (2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
भुजाओं की लंबाई:
$c = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$
$a = |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
$b = |\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$
समकोण त्रिभुज की शर्त $(a^2 + b^2 = c^2)$ की जाँच करने पर:
$a^2 + b^2 = 6 + 35 = 41$
$c^2 = 41$
चूँकि $a^2 + b^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

(A) माना सदिश $a = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
$a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j})$ से,हमें $a \cdot \hat{i} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{j} = 0$। अतः,$y = 0$।
$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ से,हमें $a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} + a \cdot \hat{k}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{k} = 0$। अतः,$z = 0$।
चूंकि $a \cdot \hat{i} = x$,और यदि हम $a = \hat{i}$ लेते हैं,तो $a \cdot \hat{i} = 1$,$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,और $a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ होता है।
अतः,$a = \hat{i}$ दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है।

(B) सदिश $\vec{a}$ का एक अशून्य सदिश $\vec{b}$ पर लंब प्रक्षेप,$\vec{b}$ की दिशा में $\vec{a}$ का घटक होता है।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \hat{b}$
चूंकि इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ होता है,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \left( \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$
इस व्यंजक को सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

(B) हमें व्यंजक $(a+b) \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ दिया गया है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद का विस्तार करें: $(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
चूंकि किसी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$) और $c \times b = -(b \times c)$,हमें प्राप्त होता है:
$(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
अब,$(a+b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(a+b) \cdot ((b \times a) + (c \times a)) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ के गुणों का उपयोग करते हुए:
$a \cdot (b \times a) = [a b a] = 0$ (क्योंकि दो सदिश समान हैं)।
$a \cdot (c \times a) = [a c a] = 0$.
$b \cdot (b \times a) = [b b a] = 0$.
$b \cdot (c \times a) = [b c a]$.
चूंकि $[b c a] = [a b c]$,अंतिम परिणाम $[a b c]$ है।

(B) रेखाखंड $PQ$ को दर्शाने वाला सदिश $\vec{PQ} = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$ है।
समतल $x+y+z=3$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
किसी सदिश $\vec{v}$ का समतल पर प्रक्षेप की लंबाई का सूत्र $L = |\vec{v}| \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{v}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण है।
सबसे पहले,$\vec{PQ}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
इसके बाद,$\vec{PQ}$ और $\vec{n}$ के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन ज्ञात करें:
$\cos(\theta) = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{PQ}| |\vec{n}|} = \frac{|(0)(1) + (-1)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|0 - 1 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0$.
चूँकि $\cos(\theta) = 0$,इसलिए $\theta = 90^\circ$ है,जिसका अर्थ है कि $\sin(\theta) = 1$.
अतः,प्रक्षेप की लंबाई $L = |\vec{PQ}| \sin(90^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ है।

(A) माना बिंदु $A(0,0,1)$,$B(0,1,2)$ और $C(1,0,3)$ हैं।
समतल पर स्थित सदिश $\vec{AB} = (0-0, 1-0, 2-1) = (0,1,1)$ और $\vec{AC} = (1-0, 0-0, 3-1) = (1,0,2)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 0) - \hat{j}(0 \times 2 - 1 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$\vec{n} = \hat{i}(2) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-1)$
$\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
अतः अभिलंब के दिक अनुपात $(2,1,-1)$ हैं।

(A) समतल का दिया गया समीकरण $by + cz + d = 0$ है।
चूंकि समीकरण में $x$ चर अनुपस्थित है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
यह अभिलंब सदिश $YOZ$-समतल में स्थित है।
एक समतल दूसरे समतल के लंबवत होता है यदि उनके अभिलंब सदिश लंबवत हों।
$YOZ$-समतल का अभिलंब $x$-अक्ष है,जो $\hat{i}$ है।
चूंकि अभिलंब सदिश $\vec{n} = b\hat{j} + c\hat{k}$ और $x$-अक्ष सदिश $\hat{i}$ का डॉट गुणनफल $0$ है,इसलिए समतल $by + cz + d = 0$ $YOZ$-समतल के लंबवत है।

(C) सबसे पहले,हम $2001$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$2001 = 3 \times 23 \times 29$.
दिया गया है कि $a, b, c$ $2001$ के गुणनखंड हैं जहाँ $a < b < c$,इसलिए $a = 3$,$b = 23$,और $c = 29$ है।
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $b, c, a$ यानी $23, 29, 3$ हैं।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(b, c, a)$ वाले समतल का समीकरण $b(x - x_0) + c(y - y_0) + a(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$23(x - 1) + 29(y - 1) + 3(z - 1) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$23x - 23 + 29y - 29 + 3z - 3 = 0$.
$23x + 29y + 3z - 55 = 0$.
अतः,समतल का समीकरण $23x + 29y + 3z = 55$ है।

(A) समतल का दिया गया समीकरण $7x + 11y + 13z = 3003$ है।
पूरे समीकरण को $3003$ से विभाजित करने पर,हमें समतल का अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{7x}{3003} + \frac{11y}{3003} + \frac{13z}{3003} = 1$
$\frac{x}{429} + \frac{y}{273} + \frac{z}{231} = 1$
यह समतल निर्देशांक अक्षों को $A, B$ और $C$ बिंदुओं पर मिलता है। ये बिंदु क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्ष पर अंतःखंड हैं:
$A = (429, 0, 0)$
$B = (0, 273, 0)$
$C = (0, 0, 231)$
शीर्षों $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ वाले $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्रक $= \left(\frac{429+0+0}{3}, \frac{0+273+0}{3}, \frac{0+0+231}{3}\right)$
केंद्रक $= (143, 91, 77)$.

(D) दिया गया है कि सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{4}$ है।
अतः,असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
द्विपद वितरण का मानक विचलन $(SD)$ $\sqrt{npq} = 3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $npq = 9$ प्राप्त होता है।
$p$ और $q$ के मान रखने पर:
$n \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 9$
$n \times \frac{3}{16} = 9$
$n = 9 \times \frac{16}{3} = 48$।
द्विपद वितरण का माध्य $np$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= 48 \times \frac{1}{4} = 12$।

(A) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(1 \times 1 - 0 \times 2) - 0 + 1(2 \times 2 - 1 \times 3)$
$|A| = 1(1 - 0) + 1(4 - 3)$
$|A| = 1(1) + 1(1) = 1 + 1 = 2$
अतः,$\det(A)$ का मान $2$ है।

(A) दिए गए समीकरणों की प्रणाली:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
चूंकि $x^2+y^2+z^2 \neq 0$,इसलिए प्रणाली का एक अशून्य हल मौजूद है। अतः,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ca + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$

(B) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x) + (\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
$2 \sin ^{-1} x = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$
$x = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{4} = 1 - \frac{(2 \sin x \cos x)^2}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2x}{4}$.
चूंकि $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,इसलिए:
$0 \leq \frac{\sin^2 2x}{4} \leq \frac{1}{4}$.
$-1$ से गुणा करके $1$ जोड़ने पर:
$1 - 0 \geq 1 - \frac{\sin^2 2x}{4} \geq 1 - \frac{1}{4}$.
$1 \geq f(x) \geq \frac{3}{4}$.
अतः,परिसर $f(R) = \left[\frac{3}{4}, 1\right]$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{|x|}{x}$ के लिए,जहाँ $A = \{x \in R, x \neq 0, -4 \leq x \leq 4\}$ है।
यदि $x > 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{x} = 1$ है।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$ है।
चूँकि $x$ का मान $0$ नहीं हो सकता,फलन $f(x)$ केवल $1$ और $-1$ मान ही ग्रहण करता है।
अतः,$f$ का परिसर $\{1, -1\}$ है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x=0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. $x=0$ पर फलन का मान $f(0) = a^2 \cos^2(0) + b^2 \sin^2(0) = a^2(1) + b^2(0) = a^2$ है।
$2$. $x \rightarrow 0^+$ के लिए दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ $\lim_{x \rightarrow 0^+} e^{ax+b} = e^{a(0)+b} = e^b$ है।
$3$. $x \rightarrow 0^-$ के लिए बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ $\lim_{x \rightarrow 0^-} (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x) = a^2(1) + b^2(0) = a^2$ है।
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL = f(0)$,इसलिए $e^b = a^2$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(e^b) = \ln(a^2)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $b = 2 \log |a|$ हो जाता है।

(C) फलन $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जिसे $\{x\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम किसी भी पूर्णांक $n \in Z$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n-h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - [n-h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - (n-1)) = \lim_{h \rightarrow 0} (1-h) = 1$.
दाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \rightarrow n^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n+h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - [n+h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - n) = \lim_{h \rightarrow 0} h = 0$.
$x=n$ पर फलन का मान:
$f(n) = n - [n] = n - n = 0$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow n^+} f(x)$,फलन $f(x)$ प्रत्येक पूर्णांक $n \in Z$ पर असंतत है।
अतः,असंतत बिंदुओं का समुच्चय $Z$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{ax} + \frac{a^2}{\sqrt{ax}}$ है।
हम फलन को $f(x) = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^2 \cdot \sqrt{a}^{-1} \cdot x^{-1/2} = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^{3/2} \cdot x^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(x) = \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + a^{3/2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-3/2}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}} - \frac{a^{3/2}}{2x\sqrt{x}}$.
अब,अवकलज में $x = a$ रखने पर:
$f^{\prime}(a) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} - \frac{a^{3/2}}{2a\sqrt{a}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{a^{3/2}}{2a^{3/2}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

(B) दिया गया है $z = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$.
सबसे पहले,$\frac{\partial z}{\partial x}$ की गणना करें:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \frac{1}{y} - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) \right] - \frac{y}{x^2} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - z \quad \dots (i)$
इसके बाद,$\frac{\partial z}{\partial y}$ की गणना करें:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] + \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} \right]$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = z - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$।

(B) दिया गया है कि $f(x)=e^x$ और $g(x)=\sin^{-1} x$ है।
अतः $h(x) = f(g(x)) = e^{\sin^{-1} x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(h(x)) = \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{h(x)} \cdot h'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।

(C) दिया गया फलन: $y = ae^x + be^{-x} + c$
$x$ के सापेक्ष पहली बार अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x} + c) = ae^x - be^{-x}$
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x - be^{-x}) = ae^x + be^{-x}$
$x$ के सापेक्ष तीसरी बार अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x}) = ae^x - be^{-x}$
इस परिणाम की तुलना पहले अवकलज से करने पर,हम पाते हैं कि $y^{\prime \prime \prime} = y^{\prime}$.

(B) दिया गया है $y=a \cos (\log x)+b \sin (\log x)$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx} [a \cos (\log x)+b \sin (\log x)] = -a \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)}{x}$।
अतः,$x y^{\prime} = -a \sin (\log x) + b \cos (\log x)$।
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x y^{\prime}) = \frac{d}{dx} [-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)]$।
बाईं ओर गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर: $x y^{\prime \prime} + y^{\prime} = -a \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -[a \cos (\log x) + b \sin (\log x)]$।
चूंकि $y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x)$,इसलिए:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -y$।

(A) दिया गया है $z = \sec(y-ax) + \tan(y+ax)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial z}{\partial x} = -a\sec(y-ax)\tan(y-ax) + a\sec^2(y+ax)$.
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = a^2\sec^3(y-ax) + a^2\sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2a^2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)$.
अब,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \sec(y-ax)\tan(y-ax) + \sec^2(y+ax)$.
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \sec^3(y-ax) + \sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)$.
अब,$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - a^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ की गणना करें:
$= [a^2\sec^3(y-ax) + a^2\sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2a^2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)] - a^2[\sec^3(y-ax) + \sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)]$
$= 0$.

(C) माना $y = f(x) = x^{3000}$ है।
हम अवकलज के अनुमानित मान के सूत्र का उपयोग करते हैं: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
यहाँ,$x = 1$ और $\Delta x = 0.0002$ लें।
तब $f(x) = 1^{3000} = 1$ होगा।
अवकलज $f'(x) = 3000 x^{2999}$ है।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 3000(1)^{2999} = 3000$ होगा।
अब,परिवर्तन $\Delta y \approx f'(x) \Delta x = 3000 \times 0.0002 = 0.6$ की गणना करें।
अतः,$f(1.0002) \approx f(1) + \Delta y = 1 + 0.6 = 1.6$ होगा।

(A) दिया गया समाकलन $\int_2^{10} x^2 dx$ है,जिसमें $n = 4$ अंतराल हैं।
यहाँ,$a = 2$,$b = 10$,और स्टेप साइज़ $h = \frac{b - a}{n} = \frac{10 - 2}{4} = 2$ है।
बिंदु $x_0 = 2, x_1 = 4, x_2 = 6, x_3 = 8, x_4 = 10$ हैं।
$f(x) = x^2$ के लिए संगत मान इस प्रकार हैं:
$y_0 = f(2) = 4$
$y_1 = f(4) = 16$
$y_2 = f(6) = 36$
$y_3 = f(8) = 64$
$y_4 = f(10) = 100$
ट्रेपेज़ॉइडल नियम का उपयोग करते हुए:
$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3) + y_4]$
$\int_2^{10} x^2 dx \approx \frac{2}{2} [4 + 2(16 + 36 + 64) + 100]$
$= 1 \cdot [4 + 2(116) + 100] = 4 + 232 + 100 = 336$.

(A) $(h, k)$ पर केंद्रित सभी संकेंद्रीय वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
चूंकि $(h, k)$ निश्चित स्थिरांक हैं,इसलिए इस समीकरण में केवल एक ही स्वेच्छ अचर (parameter) $r$ है।
अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के परिवार के व्यापक हल में मौजूद स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ केवल $1$ स्वेच्छ अचर $(r)$ है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(B) सदिश $a$ का सदिश $b$ पर लंबवत प्रक्षेप,$b$ की दिशा में $a$ का घटक होता है।
$a$ का $b$ पर प्रक्षेप का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{Proj}_{b} a = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$
यह एक ऐसा सदिश है जो $b$ के समानांतर है और जिसका परिमाण $a$ के $b$ पर अदिश प्रक्षेप के बराबर है।

(D) दिया गया है कि,$[a, b, c] = 3$ है।
$2a+b$,$2b+c$ और $2c+a$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[2a+b, 2b+c, 2c+a]$ द्वारा प्राप्त होता है।
$[2a+b, 2b+c, 2c+a] = 2a \cdot ((2b+c) \times (2c+a)) + b \cdot ((2b+c) \times (2c+a))$.
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर:
$(2b+c) \times (2c+a) = 4(b \times c) + 2(b \times a) + 2(c \times c) + (c \times a) = 4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a)$ (क्योंकि $c \times c = 0$)।
अब,$[2a+b, 2b+c, 2c+a] = 2a \cdot (4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a)) + b \cdot (4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a))$।
डॉट गुणनफल का वितरण करने पर:
$= 8[a, b, c] + 4[a, b, a] + 2[a, c, a] + 4[b, b, c] + 2[b, b, a] + [b, c, a]$।
चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणनफल में दो समान सदिश होने पर उसका मान $0$ होता है:
$[a, b, a] = 0, [a, c, a] = 0, [b, b, c] = 0, [b, b, a] = 0$।
इस प्रकार,व्यंजक का सरलीकरण:
$8[a, b, c] + [b, c, a]$।
चूंकि $[b, c, a] = [a, b, c]$,इसलिए:
$8[a, b, c] + [a, b, c] = 9[a, b, c]$।
$[a, b, c] = 3$ दिया गया है,अतः आयतन $9 \times 3 = 27$ घन इकाइयाँ है।

(D) दिक अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m-n=0$ $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ (ii)
समीकरण $(i)$ से,$l = n-m$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$(n-m)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$n^2 + m^2 - 2nm + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 - 2nm = 0$
$2m(m-n) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $m=0$ या $m=n$।
स्थिति $1$: यदि $m=0$ है,तो $l=n$। दिक अनुपात $(1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=n$ है,तो $l=0$। दिक अनुपात $(0, 1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 0, 1)$ और $\vec{b} = (0, 1, 1)$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{0^2+1^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए न्यून कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग हमेशा $1$ होता है।
दिया गया है $P(X=0) = 0.4$।
चूँकि $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$,इसलिए $0.4 + P(X=1) + P(X=2) = 1$।
$P(X=1) + P(X=2) = 0.6$।
दिया गया है $P(X=1) = P(X=2)$,मान लीजिए $P(X=1) = P(X=2) = p$।
तब $p + p = 0.6 \Rightarrow 2p = 0.6 \Rightarrow p = 0.3$।
अतः,$P(X=1) = 0.3$ और $P(X=2) = 0.3$।
माध्य $E(X)$ को $\sum x_i P(x_i)$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$E(X) = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2))$।
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.3)$।
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9$।

(C) दिया गया है कि पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda = \frac{1}{2}$ है।
पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें अनुपात $\frac{P(X=3)}{P(X=2)}$ ज्ञात करना है।
$P(X=3) = \frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}$ और $P(X=2) = \frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}$ है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}}{\frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}}$
$= \frac{(\frac{1}{2})^3}{3!} \times \frac{2!}{(\frac{1}{2})^2}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2!}{3!}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$।
अतः,अनुपात $1:6$ है।