int frac{3^x , dx}{sqrt{9^x-1}} का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{9^x-1}} = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{(3^x)^2-1}}$.$3^x = z$ प्रतिस्थापन लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापे

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$\frac{1}{\log 3} \log \left|3^x+\sqrt{9^x-1}\right|+c$

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(A) माना $I = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{9^x-1}} = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{(3^x)^2-1}}$.$3^x = z$ प्रतिस्थापन लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $3^x \log 3 \, dx = dz$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3^x \, dx = \frac{dz}{\log 3}$.इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dz}{\sqrt{z^2-1}}$.मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-a^2}} = \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{\log 3} \log |z + \sqrt{z^2-1}| + c$.अब $z = 3^x$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{\log 3} \log |3^x + \sqrt{9^x-1}| + c$.

$\int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{9^x-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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