$C(n, 5)+C(n, 6)>C(n+1, 5)$ को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्या $n$ का न्यूनतम मान है

$8$ पेन और $5$ पेंसिल के पैकेट में से $4$ पेन और $3$ पेंसिल चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$15$ लड़कों और $8$ लड़कियों के समूह में से एक लड़की और एक लड़के को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

$5$ अलग-अलग हरे खिलौने,$4$ अलग-अलग नीले खिलौने और $3$ अलग-अलग लाल खिलौने दिए गए हैं,तो कम से कम एक हरा और एक नीला खिलौना लेकर खिलौनों के कितने संयोजन चुने जा सकते हैं?

मान लीजिए $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ एक टीम में खिलाड़ी हैं जिनकी टी-शर्ट पर $1, 2, \dots, 11$ नंबर अंकित हैं। टीम ने फाइनल मैच में $100$ सोने के सिक्के जीते। इन सिक्कों को खिलाड़ियों के बीच इस तरह वितरित किया जाना है कि प्रत्येक खिलाड़ी को अपनी टी-शर्ट नंबर से कम से कम $1$ सिक्का अधिक मिले,लेकिन कप्तान और उप-कप्तान को अपनी टी-शर्ट नंबर से क्रमशः कम से कम $5$ और $3$ सिक्के अधिक मिलें। यदि कप्तान $A_1$ और उप-कप्तान $A_2$ हैं,तो इन सिक्कों को कितने अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

यदि $^{10}C_r = ^{10}C_{r+2}$ है,तो $^5C_r$ का मान ज्ञात कीजिए।