MathematicsQ51–63 of 110 questions
Page 2 of 2 · Hindi
51
MathematicsDifficultMCQTS EAMCET · 2002
यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$4$
C
$5$
D
$9$
Solution
(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $5x^2 + 9y^2 = 45$ है। $45$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $5x^2 - 4y^2 = 45$ है। $45$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = \frac{45}{4}$ है। उत्केंद्रता $e^{\prime} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$ee^{\prime} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$।
अतिपरवलय का समीकरण $5x^2 - 4y^2 = 45$ है। $45$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = \frac{45}{4}$ है। उत्केंद्रता $e^{\prime} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$ee^{\prime} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$।
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52
MathematicsDifficultMCQTS EAMCET · 2002
समीकरण $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$ क्या दर्शाता है?
A
एक परवलय
B
एक दीर्घवृत्त
C
एक अतिपरवलय
D
एक आयताकार अतिपरवलय
Solution
(C) दिया गया समीकरण $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$ है।
$8r$ से गुणा करने पर:
$8 = r + 3r \cos \theta$
चूंकि $x = r \cos \theta$,इसलिए $r = 8 - 3x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2 = (8 - 3x)^2$
$x^2 + y^2 = 64 + 9x^2 - 48x$
$8x^2 - y^2 - 48x + 64 = 0$।
यहाँ $A = 8$ और $C = -1$ है।
चूंकि $A$ और $C$ के चिह्न विपरीत हैं $(AC < 0)$,इसलिए यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।
$8r$ से गुणा करने पर:
$8 = r + 3r \cos \theta$
चूंकि $x = r \cos \theta$,इसलिए $r = 8 - 3x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2 = (8 - 3x)^2$
$x^2 + y^2 = 64 + 9x^2 - 48x$
$8x^2 - y^2 - 48x + 64 = 0$।
यहाँ $A = 8$ और $C = -1$ है।
चूंकि $A$ और $C$ के चिह्न विपरीत हैं $(AC < 0)$,इसलिए यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।
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53
MathematicsDifficultMCQTS EAMCET · 2002
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-9^x}{x(4^x+9^x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\log \frac{2}{3}$
B
$\log \frac{3}{2}$
C
$\frac{1}{2} \log \frac{2}{3}$
D
$\frac{1}{2} \log \frac{3}{2}$
Solution
(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-9^x}{x(4^x+9^x)}$.
चूंकि सीमा $x \rightarrow 0$ पर $\frac{0}{0}$ रूप में है,इसलिए $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x \log 4 - 9^x \log 9}{(4^x+9^x) + x(4^x \log 4 + 9^x \log 9)}$
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{\log 4 - \log 9}{2} = \frac{\log(4/9)}{2} = \frac{2 \log(2/3)}{2} = \log \frac{2}{3}$.
चूंकि सीमा $x \rightarrow 0$ पर $\frac{0}{0}$ रूप में है,इसलिए $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x \log 4 - 9^x \log 9}{(4^x+9^x) + x(4^x \log 4 + 9^x \log 9)}$
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{\log 4 - \log 9}{2} = \frac{\log(4/9)}{2} = \frac{2 \log(2/3)}{2} = \log \frac{2}{3}$.
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54
MathematicsDifficultMCQTS EAMCET · 2002
यदि $\triangle ABC$ में $A$ पर समकोण है,तो $r_2+r_3$ किसके बराबर है?
A
$r_1-r$
B
$r_1+r$
C
$r-r_1$
D
$R$
Solution
(A) त्रिभुज $ABC$ में,बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,और $r_3 = s \tan(C/2)$ हैं,और अंतःत्रिज्या $r = (s-a) \tan(A/2)$ है।
दिया गया है कि $\angle A = 90^{\circ}$,इसलिए $A/2 = 45^{\circ}$।
अतः,$r_1 = s \tan(45^{\circ}) = s$।
साथ ही,$r = (s-a) \tan(45^{\circ}) = s-a$।
इसलिए,$r_1 - r = s - (s-a) = a$।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण $a = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इस प्रकार,$r_2+r_3 = r_1-r$ होता है।
दिया गया है कि $\angle A = 90^{\circ}$,इसलिए $A/2 = 45^{\circ}$।
अतः,$r_1 = s \tan(45^{\circ}) = s$।
साथ ही,$r = (s-a) \tan(45^{\circ}) = s-a$।
इसलिए,$r_1 - r = s - (s-a) = a$।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण $a = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इस प्रकार,$r_2+r_3 = r_1-r$ होता है।
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55
MathematicsDifficultMCQTS EAMCET · 2002
एक त्रिभुज का परिमाप $16 \text{ cm}$ है,इसकी एक भुजा की लंबाई $6 \text{ cm}$ है। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल $12 \text{ cm}^2$ है,तो त्रिभुज है:
A
समकोण
B
समद्विबाहु
C
समबाहु
D
विषमबाहु
Solution
(B) दिया गया है कि परिमाप $2s = 16 \text{ cm}$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = 8 \text{ cm}$ है।
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। $a = 6 \text{ cm}$ और क्षेत्रफल $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ दिया गया है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
$a+b+c = 16$ और $a=6$ है,इसलिए $b+c = 10$ या $c = 10-b$.
मान रखने पर: $9 = (8-b)(8-(10-b)) = (8-b)(b-2)$.
$9 = 8b - 16 - b^2 + 2b \Rightarrow b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5 \text{ cm}$.
अतः $c = 10 - 5 = 5 \text{ cm}$.
चूँकि दो भुजाएँ समान हैं $(b=c=5 \text{ cm})$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। $a = 6 \text{ cm}$ और क्षेत्रफल $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ दिया गया है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
$a+b+c = 16$ और $a=6$ है,इसलिए $b+c = 10$ या $c = 10-b$.
मान रखने पर: $9 = (8-b)(8-(10-b)) = (8-b)(b-2)$.
$9 = 8b - 16 - b^2 + 2b \Rightarrow b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5 \text{ cm}$.
अतः $c = 10 - 5 = 5 \text{ cm}$.
चूँकि दो भुजाएँ समान हैं $(b=c=5 \text{ cm})$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
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56
MathematicsMediumMCQTS EAMCET · 2002
समतल जमीन पर एक बिंदु से,एक खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। खंभे की ओर $20 \ m$ करीब जाने पर,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ हो जाता है। खंभे की ऊँचाई (मीटर में) है:
A
$10(\sqrt{3}-1)$
B
$10(\sqrt{3}+1)$
C
$15$
D
$20$
Solution
(B) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और दूसरे बिंदु से खंभे के आधार की दूरी $x$ है।
$\triangle BDA$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x$.
$\triangle BCA$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{20+x}$.
समीकरण में $x = h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20+h}$
$20+h = \sqrt{3}h$
$20 = h(\sqrt{3}-1)$
$h = \frac{20}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$h = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \ m$.
$\triangle BDA$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x$.
$\triangle BCA$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{20+x}$.
समीकरण में $x = h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20+h}$
$20+h = \sqrt{3}h$
$20 = h(\sqrt{3}-1)$
$h = \frac{20}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$h = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \ m$.
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57
MathematicsMediumMCQTS EAMCET · 2002
$1+\frac{1+2}{2 !}+\frac{1+2+2^2}{3 !}+\ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$e^2+e$
B
$e^2$
C
$e^2-1$
D
$e^2-e$
Solution
(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}}{n !}$ है,जहाँ $n \geq 1$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{2^n-1}{n !}$ प्राप्त होता है।
इसे $T_n = \frac{2^n}{n !} - \frac{1}{n !}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ है।
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots$ विस्तार का उपयोग करने पर,
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} = e^2 - 1$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} = e - 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{2^n-1}{n !}$ प्राप्त होता है।
इसे $T_n = \frac{2^n}{n !} - \frac{1}{n !}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ है।
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots$ विस्तार का उपयोग करने पर,
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} = e^2 - 1$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} = e - 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।
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58
MathematicsDifficultMCQTS EAMCET · 2002
$a>0, x \in R$ के लिए व्यंजक $\begin{aligned} & 1+x \log _e a+\frac{x^2}{2 !}\left(\log _e a\right)^2+\frac{x^3}{3 !}\left(\log _e a\right)^3+\ldots \end{aligned}$ किसके बराबर है?
A
$a$
B
$a^x$
C
$a^{\log _e x}$
D
$x$
Solution
(B) दी गई श्रेणी $1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots = e^y$ के रूप में है,जहाँ $y = x \log_e a$ है।
$y = \log_e a^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \log_e a^x + \frac{(\log_e a^x)^2}{2!} + \frac{(\log_e a^x)^3}{3!} + \ldots = e^{\log_e a^x}$.
चूँकि $e^{\log_e z} = z$,इसलिए $e^{\log_e a^x} = a^x$ है।
$y = \log_e a^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \log_e a^x + \frac{(\log_e a^x)^2}{2!} + \frac{(\log_e a^x)^3}{3!} + \ldots = e^{\log_e a^x}$.
चूँकि $e^{\log_e z} = z$,इसलिए $e^{\log_e a^x} = a^x$ है।
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59
MathematicsEasyMCQTS EAMCET · 2002
यदि $\log 2=a, \log 3=b, \log 7=c$ और $6^x=7^{x+4}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$\frac{4b}{c+a-b}$
B
$\frac{4c}{a+b-c}$
C
$\frac{4c}{c-a-b}$
D
$\frac{4a}{a+b-c}$
Solution
(B) दिया गया समीकरण: $6^x = 7^{x+4}$
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $x \log 6 = (x+4) \log 7$
$\log(mn) = \log m + \log n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $x(\log 2 + \log 3) = x \log 7 + 4 \log 7$
दिए गए मान $a, b, c$ रखने पर: $x(a+b) = xc + 4c$
$x$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $x(a+b-c) = 4c$
अतः: $x = \frac{4c}{a+b-c}$
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $x \log 6 = (x+4) \log 7$
$\log(mn) = \log m + \log n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $x(\log 2 + \log 3) = x \log 7 + 4 \log 7$
दिए गए मान $a, b, c$ रखने पर: $x(a+b) = xc + 4c$
$x$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $x(a+b-c) = 4c$
अतः: $x = \frac{4c}{a+b-c}$
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60
MathematicsMediumMCQTS EAMCET · 2002
$\sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{7}$ और $\sqrt[3]{8}$ में सबसे छोटी संख्या कौन सी है?
A
$\sqrt[3]{8}$
B
$\sqrt[4]{7}$
C
$\sqrt[3]{4}$
D
$\sqrt[4]{5}$
Solution
(D) संख्याओं की तुलना करने के लिए,हम उनके घातांकों के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ का उपयोग करते हैं। $3$ और $4$ का $LCM$ $12$ है।
संख्याएँ इस प्रकार हैं:
$4^{1/3} = (4^4)^{1/12} = 256^{1/12}$
$5^{1/4} = (5^3)^{1/12} = 125^{1/12}$
$7^{1/4} = (7^3)^{1/12} = 343^{1/12}$
$8^{1/3} = (8^4)^{1/12} = 4096^{1/12}$
आधार $256, 125, 343, 4096$ की तुलना करने पर,सबसे छोटा मान $125$ है।
अतः,$125^{1/12} = \sqrt[4]{5}$ सबसे छोटी संख्या है.
संख्याएँ इस प्रकार हैं:
$4^{1/3} = (4^4)^{1/12} = 256^{1/12}$
$5^{1/4} = (5^3)^{1/12} = 125^{1/12}$
$7^{1/4} = (7^3)^{1/12} = 343^{1/12}$
$8^{1/3} = (8^4)^{1/12} = 4096^{1/12}$
आधार $256, 125, 343, 4096$ की तुलना करने पर,सबसे छोटा मान $125$ है।
अतः,$125^{1/12} = \sqrt[4]{5}$ सबसे छोटी संख्या है.
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61
MathematicsMediumMCQTS EAMCET · 2002
एक थैले में $5$ काली गेंदें,$4$ सफेद गेंदें और $3$ लाल गेंदें हैं। यदि यादृच्छिक रूप से एक गेंद चुनी जाती है,तो इसके काली या लाल गेंद होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{5}{12}$
D
$\frac{2}{3}$
Solution
(D) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 4 + 3 = 12$.
काली गेंदों की संख्या = $5$.
लाल गेंदों की संख्या = $3$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (काली या लाल) = $5 + 3 = 8$.
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
काली गेंदों की संख्या = $5$.
लाल गेंदों की संख्या = $3$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (काली या लाल) = $5 + 3 = 8$.
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
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62
MathematicsMediumMCQTS EAMCET · 2002
एक छात्र के $IITJEE$ और $EAMCET$ में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्रमशः $\frac{1}{5}$ और $\frac{3}{5}$ है। छात्र के कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{3}{25}$
B
$\frac{8}{25}$
C
$\frac{17}{25}$
D
$\frac{22}{25}$
Solution
(C) माना $A$ $IITJEE$ में उत्तीर्ण होने की घटना है और $B$ $EAMCET$ में उत्तीर्ण होने की घटना है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{5}$।
यह मानते हुए कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{25}$।
अतः,$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{25}$।
$P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{15}{25} - \frac{3}{25} = \frac{17}{25}$।
दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{5}$।
यह मानते हुए कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{25}$।
अतः,$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{25}$।
$P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{15}{25} - \frac{3}{25} = \frac{17}{25}$।
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63
MathematicsEasyMCQTS EAMCET · 2002
एक पासा और एक सिक्का (दोनों निष्पक्ष) एक साथ उछाले जाते हैं। पासे के ऊपर $5$ और सिक्के पर टेल (tail) आने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{12}$
C
$\frac{1}{6}$
D
$\frac{1}{8}$
Solution
(B) पासे पर $5$ आने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{6}$ है।
सिक्के पर टेल आने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ है।
सिक्के पर टेल आने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ है।
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