TS EAMCET 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) निश्चित बिंदु से द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
मानक योग सूत्रों $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$

(B) प्रक्षेपण वेग $v = \frac{3}{4} v_e$ है,जहाँ $v_e = \sqrt{2gR}$ पलायन वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2}m(\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) = 7R + 7h$
$7h = 9R$
$h = \frac{9}{7}R$

(B) क्षेत्रीय वेग $A$ को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर ग्रह के स्थिति सदिश द्वारा क्षेत्रफल तय किया जाता है।
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
दोनों पक्षों को ग्रह के द्रव्यमान $M$ से गुणा करने पर:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
चूंकि $r$ दूरी पर $M$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = M r^2$ होता है,इसलिए:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = I \omega$ होता है।
समीकरण में $L$ का मान रखने पर:
$MA = \frac{1}{2} L$
अतः,कोणीय संवेग $L$ होगा:
$L = 2MA$

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर तरल के बाहर निकलने का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
चूंकि दोनों टैंकों के लिए गहराई $h$ समान है,इसलिए दोनों का वेग समान होगा: $v_A = v_B = v = \sqrt{2gh}$।
द्रव्यमान फ्लक्स (mass flux) का सूत्र $\dot{m} = A \cdot v \cdot \rho$ है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है,$v$ वेग है और $\rho$ घनत्व है।
दिया गया है कि द्रव्यमान फ्लक्स समान है: $\dot{m}_A = \dot{m}_B$।
$A_A \cdot v_A \cdot \rho_A = A_B \cdot v_B \cdot \rho_B$।
चूंकि $v_A = v_B$,इसलिए वे दोनों तरफ से कट जाएंगे:
$A_A \cdot \rho_A = A_B \cdot \rho_B$।
दिया गया है कि $A_B = 2 A_A$।
इसलिए,$A_A \cdot \rho_A = (2 A_A) \cdot \rho_B$।
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$।

(B) पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
दिया गया है $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,इसलिए $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,जिससे $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ प्राप्त होता है।
पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ है।
पॉइसन अनुपात के सूत्र का उपयोग करने पर: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
अतः,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 8 \ kg \ m/s$,बल $F = 0.2 \ N$,समय $t = 10 \ s$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $F \cdot t = \Delta p = p_2 - p_1$.
$0.2 \times 10 = p_2 - 8$.
$2 = p_2 - 8 \Rightarrow p_2 = 10 \ kg \ m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \ J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \ J$.

(C) दिया गया है: घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$। कुल बल $F$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ का अनुपात $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ है।
समतल पर नीचे फिसलने वाले पिंड पर लगने वाला कुल बल $F = mg \sin \theta - f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ घर्षण बल है।
घर्षण बल $f = \mu R$ है और अभिलंब प्रतिक्रिया $R = mg \cos \theta$ है।
इन मानों को $F$ के व्यंजक में रखने पर: $F = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$।
अब,दिए गए अनुपात $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta}{mg \cos \theta} = \frac{1}{2}$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\tan \theta - \mu = \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{1}{2} + \mu = 0.5 + 0.5 = 1.0$।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।

(C) मान लीजिए कि पिंड बिंदु $P$ पर अर्धगोले की सतह को छोड़ देता है।
बिंदु $P$ पर,मान लीजिए कि पिंड का त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
बिंदु $P$ पर पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (बाहर की ओर) हैं।
केंद्र की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \cos \theta$ है।
अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण के त्रिज्यीय घटक और अभिलंब प्रतिक्रिया के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
जब पिंड सतह को छोड़ता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ शून्य हो जाती है।
इसलिए,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
दिए गए मान $v = 5 \text{ m/s}$,$r = 5 \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$ रखने पर:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।

(C) दिया गया सूत्र $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ है।
त्रुटि प्रसार के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$X$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \right) + \left( \frac{\Delta B}{B} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \right)$.
अब,प्रतिशत त्रुटि में प्रत्येक पद का योगदान ज्ञात करते हैं:
$A$ का योगदान = $2 \times 2 \% = 4 \%$.
$B$ का योगदान = $1 \times 2 \% = 2 \%$.
$C$ का योगदान = $\frac{1}{3} \times 4 \% = 1.33 \%$.
$D$ का योगदान = $3 \times 5 \% = 15 \%$.
इन मानों की तुलना करने पर,$X$ में प्रतिशत त्रुटि में न्यूनतम योगदान $C$ द्वारा दिया जाता है।

(C) टोरिसेली के नियम के अनुसार छेद से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v = \sqrt{2gd}$ है।
द्रव जिस ऊर्ध्वाधर ऊंचाई से नीचे गिरता है वह $h$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके निकाला जा सकता है,जिससे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास (Range) $R$,क्षैतिज वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $R^2 = 2gd \times \frac{2h}{g} = 4dh$ प्राप्त होता है।
अतः,गहराई $d$ का मान $d = \frac{R^2}{4h}$ है।

(D) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर तरल के बाहर निकलने का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है। चूंकि दोनों टैंकों में छेद समान गहराई $h$ पर हैं,इसलिए दोनों तरल पदार्थों के लिए बाहर निकलने का वेग समान होगा: $v_1 = v_2 = \sqrt{2gh}$।
द्रव्यमान प्रवाह (प्रति इकाई समय में द्रव्यमान) $\dot{m} = \rho A v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$A$ छेद का क्षेत्रफल है,और $v$ बाहर निकलने का वेग है।
टैंक $A$ के लिए: $\dot{m}_A = \rho_A A_A v_A$।
टैंक $B$ के लिए: $\dot{m}_B = \rho_B A_B v_B$।
दिया गया है कि द्रव्यमान प्रवाह समान है,$\dot{m}_A = \dot{m}_B$,और $A_B = 2A_A$:
$\rho_A A_A v = \rho_B (2A_A) v$।
दोनों तरफ से $A_A$ और $v$ को हटाने पर:
$\rho_A = 2 \rho_B$।
अतः,घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$ है। यदि प्रश्न $\frac{\rho_B}{\rho_A}$ का अनुपात पूछता है,तो उत्तर $\frac{1}{2}$ होगा।

(D) केशिका उन्नयन $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दिया जाता है।
केशिका में पानी के स्तर को बर्तन के स्तर के समान लाने के लिए,हमें केशिका दबाव $h \rho g$ के बराबर अतिरिक्त दबाव $P$ लागू करना होगा।
अतः,$P = h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
दिया है: $T = 0.07 \ N/m$,$d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए $r = 0.14 \times 10^{-3} \ m$,और पानी के लिए $\theta = 0^{\circ}$ (इसलिए $\cos \theta = 1$).
$P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
यह आवश्यक अतिरिक्त दबाव है। केशिका नली में पानी की सतह पर लगाया जाने वाला कुल दबाव वायुमंडलीय दबाव और इस अतिरिक्त दबाव का योग है।
कुल दबाव $= P_{atm} + P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.

(D) क्षैतिज विस्थापन $x = 36t$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण $x = u_x t$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = 36 \ m/s$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 48t - 4.9t^2$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ (जहाँ $g \approx 9.8 \ m/s^2$) के साथ तुलना करने पर,हमें प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 48 \ m/s$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक वेग $u$ इसके घटकों के परिणामी सदिश का परिमाण है:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{36^2 + 48^2}$
$u = \sqrt{1296 + 2304}$
$u = \sqrt{3600}$
$u = 60 \ m/s$.

(A) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड $F = -kx$ बल के तहत $SHM$ करता है,तब आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
चूंकि $F = kx$,हमारे पास $k = \frac{F}{x}$ है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{mx}{F}}$।
इसका अर्थ है $T^2 \propto \frac{1}{F}$,या $F \propto \frac{1}{T^2}$।
मान लीजिए $F_1 = \frac{c}{T_1^2}$ और $F_2 = \frac{c}{T_2^2}$,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो कुल बल $F_{net} = F_1 + F_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T$ समीकरण $F_{net} = \frac{c}{T^2}$ को संतुष्ट करता है।
मान रखने पर: $\frac{c}{T^2} = \frac{c}{T_1^2} + \frac{c}{T_2^2}$।
$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} = \frac{(4/5) \times (3/5)}{\sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2}} = \frac{12/25}{\sqrt{16/25 + 9/25}} = \frac{12/25}{\sqrt{25/25}} = \frac{12}{25} \ s$।

(C) दिया गया समीकरण: $4v^2 = 25 - x^2$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ से करने पर,हम इसे $v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$।

(B) दिया गया है: व्यास $D = 1 \,m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \,m$। द्रव्यमान $m = 20 \,kg$। आवृत्ति $n = 120$ चक्कर प्रति मिनट $= 2$ चक्कर प्रति सेकंड।
अपनी धुरी के परितः फ्लाईव्हील (डिस्क) का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ होता है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 2 = 12.56 \,rad/s$।
कोणीय संवेग $L = I\omega = (\frac{1}{2}mr^2) \times (2\pi n)$।
मान रखने पर: $L = \frac{20 \times (0.5)^2}{2} \times 2 \times 3.14 \times 2$।
$L = 5 \times 3.14 \times 2 = 31.4 \,kg-m^2/s$।

(D) ठोस बेलन का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{XY} = M \left( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसके किनारे से गुजरने वाली और अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{AB}$ है:
$I_{AB} = I_{XY} + M \left( \frac{l}{2} \right)^2$
$I_{XY}$ का मान रखने पर:
$I_{AB} = M \left( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right) + M \frac{l^2}{4}$
$I_{AB} = M \left( \frac{l^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right)$
चूंकि लंबाई $l = 6R$ दी गई है,इसलिए:
$I_{AB} = M \left[ \frac{(6R)^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left[ \frac{36R^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left[ 12R^2 + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left( \frac{48R^2 + R^2}{4} \right) = \frac{49 M R^2}{4}$

(C) अनुरणन काल $T$ को सबाइन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{0.161 V}{\sum A}$,जहाँ $V$ आयतन है और $\sum A = \alpha S$ कुल अवशोषण है।
दिया गया है: $V = 10^5 \ m^3$,$S = 2 \times 10^4 \ m^2$,और $\alpha = 0.2$.
कुल अवशोषण $\sum A = \alpha \times S = 0.2 \times 2 \times 10^4 = 4000 \ m^2$.
ऐसे प्रश्नों में उपयोग किए जाने वाले मानक स्थिरांक $0.17$ का उपयोग करते हुए,$T = \frac{0.17 V}{\alpha S}$:
$T = \frac{0.17 \times 10^5}{0.2 \times 2 \times 10^4} = \frac{17000}{4000} = 4.25 \ s$.

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{नियतांक}$.
इसलिए,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,उत्सर्जन क्षमता $E \propto T^4$ होती है।
अतः,उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ होगा।
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,अनुपात $1:16$ है।

(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ (तार समान होने के कारण) स्थिर रहते हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$ होता है।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$।
यहाँ $n_1 = 1 \ kHz$ और $n_2 = 1.001 \ kHz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$।
ऊष्मीय प्रसार के सूत्र $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$।
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$।
$20\alpha = 0.001$।
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$।

(A) एक ठोस गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ और कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50 \%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $\Delta Q = \frac{1}{2} KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
संबंध $\Delta Q = m S \Delta t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t$ तापमान में वृद्धि है,हमें $\Delta t = \frac{\Delta Q}{m S}$ प्राप्त होता है।
$\Delta Q$ का मान रखने पर,$\Delta t = \frac{2/5 m r^2 \pi^2 n^2}{m S} = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$।

(D) किसी दिए गए तरल के लिए वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_{\text{real}})$ स्थिर होता है। वास्तविक प्रसार, आभासी प्रसार $(\gamma_{\text{app}})$ और पात्र के आयतन प्रसार $(\gamma_{\text{vessel}})$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
पात्र $A$ के लिए, आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_A = 3\alpha$ है। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
पात्र $B$ के लिए, मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_B$ है। तब $\gamma_B = 3\alpha_B$ होगा। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
चूंकि $\gamma_{\text{real}}$ दोनों स्थितियों में समान है, हम उन्हें बराबर करते हैं: $\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ के लिए हल करने पर: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
इसलिए, $\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(B) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ का सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
दिया गया है: $n = 5 \ mol$,$\gamma = \frac{7}{5}$,$R = 8.30 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 400^{\circ} C = 673 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$.
मान रखने पर:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{\frac{7}{5} - 1} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{2/5} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30 \times 5}{2} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 = 41500 \ J$.
किलो-जूल में बदलने पर: $\Delta U = 41.50 \ kJ$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $41.55 \ kJ$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
दिया गया है: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ litres}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol} = 0.032 \text{ kg/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$।
$m = \frac{PVM}{RT} = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300} \text{ ग्राम}$।
$m \approx 14.56 \text{ ग्राम} = 0.01456 \text{ kg}$।

(A) वान डर वाल्स गैस समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=n R T$ है।
समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. $\frac{a}{V^2}$ की विमा $P$ (दाब) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$ और $[V] = [L^3]$.
अतः,$[a] = [P] \times [V^2] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5 T^{-2}]$.
$2$. $b$ की विमा $V$ (आयतन) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V] = [L^3]$.
$3$. अब,अनुपात $\frac{b}{a}$ की विमाएँ:
$\frac{[b]}{[a]} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$.

(D) नत समतल पर ऊपर की ओर गति कर रहे पिंड पर कार्य करने वाला कुल मंदक बल $F_{net} = mg \sin \theta + f_k$ है,जहाँ $f_k = \mu R = \mu mg \cos \theta$ है।
अतः,$F_{net} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$।
मंदक त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{total} = \Delta KE = 0 - E = -E$।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = -mg \sin \theta \cdot s$ है और घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = f_k \cdot s = \mu mg \cos \theta \cdot s$ है।
$v^2 - u^2 = 2as$ से,हमें $0 - u^2 = -2as$ प्राप्त होता है,इसलिए $s = \frac{u^2}{2a} = \frac{2E/m}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = (\mu mg \cos \theta) \cdot s = (\mu mg \cos \theta) \cdot \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \,kg$,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 8 \,kg \,m/s$,बल $F = 0.2 \,N$,समय $t = 10 \,s$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = F \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta p = 0.2 \,N \times 10 \,s = 2 \,kg \,m/s$.
अंतिम संवेग $p_2 = p_1 + \Delta p = 8 + 2 = 10 \,kg \,m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \,J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \,J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \,J$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 0$, $t = 4 \,s$ पर अंतिम वेग $v = 20 \,ms^{-1}$।
सबसे पहले, $v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करें:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 \,ms^{-2}$।
पिंड पर कार्य करने वाला नियत बल $F = ma = 2 \,kg \times 5 \,ms^{-2} = 10 \,N$ है।
अब, $v' = u + at'$ का उपयोग करके $t' = 2 \,s$ पर पिंड का वेग $v'$ ज्ञात करें:
$v' = 0 + (5 \,ms^{-2} \times 2 \,s) = 10 \,ms^{-1}$।
$t' = 2 \,s$ पर पिंड पर आरोपित तात्क्षणिक शक्ति $P = F \times v'$ द्वारा दी जाती है:
$P = 10 \,N \times 10 \,ms^{-1} = 100 \,W$।

(B) दिया गया है: वेग $v = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$,चुंबकीय क्षेत्र $B = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \ C/kg$.
प्रोटॉन पर लगने वाला बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल $v \times B$ की गणना करने पर:
$v \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{F}{m} = \frac{q}{m}(v \times B)$.
मान रखने पर:
$a = (0.96 \times 10^8) \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$a = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$a = 288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \ m/s^2$.

(C) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$ है।
प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin \frac{A+\delta_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{\sin \frac{A+A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sqrt{3} = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$.
अतः,$A = 60^{\circ}$.

(B) संधारित्र पर आवेश $Q$ का मान सूत्र $Q = C \times V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
दिया गया है $C = 1000 \ \mu F = 1000 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 20 \ V$।
कुल आवेश $Q = 1000 \times 10^{-6} \ F \times 20 \ V = 20,000 \ \mu C$।
आवेशन की दर $I = 200 \ \mu C/s$ दी गई है।
चूंकि दर स्थिर है,इसलिए आवश्यक समय $t = Q / I$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = 20,000 \ \mu C / 200 \ \mu C/s = 100 \ s$।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \text{ F}$ और विभव $V = 50 \text{ V}$ है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 50 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.125 \text{ J} = 125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
जब दूरी $d$ दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2} = 50 \mu F$ हो जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,विभव $V$ का मान $50 \text{ V}$ ही रहता है।
अंतिम संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 25 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.0625 \text{ J} = 62.5 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV = 100 \times 10^{-6} \times 50 = 5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_2 = C'V = 50 \times 10^{-6} \times 50 = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
आवेश में परिवर्तन $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = -2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta Q \times V = (-2.5 \times 10^{-3}) \times 50 = -125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊर्जा बैटरी को वापस दी जाती है। ऊर्जा परिवर्तन का परिमाण $125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।

(C) प्रत्येक टुकड़े का प्रतिरोध $r = \frac{R}{20}$ है।
कुल $20$ टुकड़े हैं,इसलिए $10$ टुकड़ों का उपयोग श्रेणीक्रम संयोजन के लिए और $10$ टुकड़ों का उपयोग समांतर क्रम संयोजन के लिए किया जाता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_1$ है:
$R_1 = 10 \times r = 10 \times \frac{R}{20} = \frac{R}{2}$.
समांतर क्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_2$ है:
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots (10 \text{ बार}) = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/20} = \frac{200}{R}$.
अतः,$R_2 = \frac{R}{200}$.
चूंकि दोनों संयोजनों को श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है,इसलिए कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{R}{2} + \frac{R}{200} = \frac{100R + R}{200} = \frac{101R}{200}$.

(B) जब किसी तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। चूँकि $R = \rho \frac{l}{A}$ और $V = A \times l$,हमारे पास $R = \rho \frac{l^2}{V}$ है। अतः,$R \propto l^2$।
प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 3 \Omega$ और लंबाई $l_1 = l$ दी गई है। खींचने के बाद,$l_2 = 2l$ हो जाती है।
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2 = \left(\frac{2l}{l}\right)^2 = 4$।
अतः,$R_2 = 4 \times R_1 = 4 \times 3 = 12 \Omega$।
$12 \Omega$ प्रतिरोध वाले तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{side} = \frac{12}{3} = 4 \Omega$ है।
मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{AB} = 4 \Omega$,$R_{BC} = 4 \Omega$,और $R_{CA} = 4 \Omega$ है।
किसी भी भुजा के सिरों के बीच (उदाहरण के लिए,$B$ और $C$ के बीच) प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $R_{AB}$ और $R_{AC}$ श्रेणीक्रम में हैं,और उनका संयोजन $R_{BC}$ के साथ समानांतर क्रम में है।
श्रेणीक्रम शाखा का प्रतिरोध $R_{series} = R_{AB} + R_{AC} = 4 + 4 = 8 \Omega$।
अब,$R_{series}$ और $R_{BC} = 4 \Omega$ समानांतर क्रम में हैं।
$R_{eff} = \frac{R_{series} \times R_{BC}}{R_{series} + R_{BC}} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \Omega$।

(C) दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 100 \ \Omega$.
गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा,$I_g = 100 \ \mu A = 100 \times 10^{-6} \ A = 0.1 \times 10^{-3} \ A$.
मापी जाने वाली कुल धारा,$I = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
शंट प्रतिरोध का सूत्र:
$S = \frac{I_g G}{I - I_g}$
मान रखने पर:
$S = \frac{0.1 \times 10^{-3} \times 100}{1 \times 10^{-3} - 0.1 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{0.1 \times 10^{-1}}{0.9 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{10^{-2}}{0.9 \times 10^{-3}} = \frac{10}{0.9} = \frac{100}{9} \ \Omega$.

(C) पोटेंशियोमीटर प्रयोग में, संतुलन लंबाई $l_1$ सेल के विद्युत वाहक बल $(E)$ के समानुपाती होती है: $E = k l_1$, जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
जब बाहरी प्रतिरोध $R$ को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो टर्मिनल वोल्टेज $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ होता है।
यहाँ $l_1 = 560 \, cm$ और $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ दिया गया है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $r = 10 \, \Omega \times \left( \frac{560 - 500}{500} \right)$.
$r = 10 \times \left( \frac{60}{500} \right) = 10 \times 0.12 = 1.2 \, \Omega$.

(C) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_0 = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है।
इन मानों को $\alpha$-कण के सूत्र में रखने पर:
$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2q_p)V}} = \frac{h}{\sqrt{8(2m_p q_p V)}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \left( \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}} \right)$.
चूंकि $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,इसलिए $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि धातु का कार्य फलन $W$ है।
पहले फोटॉन की ऊर्जा $E_1 = 2W$ है।
दूसरे फोटॉन की ऊर्जा $E_2 = 3W$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max} = E - W$ द्वारा दी जाती है।
पहले फोटॉन के लिए: $(KE_1)_{\max} = 2W - W = W$।
दूसरे फोटॉन के लिए: $(KE_2)_{\max} = 3W - W = 2W$।
अधिकतम गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{W}{2W} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $(KE)_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{2}$।
इसे सरल करने पर $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ मिलता है।
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(B) घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का वेग $v = r\omega$ है।
इस छोटे अवयव पर प्रेरित emf $de = B v dr = B (r\omega) dr$ द्वारा दिया जाता है।
यदि छड़ एक सिरे के परितः घूम रही है,तो कुल प्रेरित emf $e$ ज्ञात करने के लिए हम $r = 0$ से $r = L$ तक समाकलन करते हैं:
$e = \int_{0}^{L} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
अतः,छड़ के दोनों सिरों के बीच उत्पन्न प्रेरित emf $\frac{1}{2} B \omega L^2$ है।

(D) कॉम्पटन प्रभाव के लिए,तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{h}{m_0 c}(1 - \cos \theta)$
यहाँ,$\lambda_1$ आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य है,$\lambda_2$ प्रकीर्णित विकिरण की तरंगदैर्ध्य है,और $\frac{h}{m_0 c} \approx 0.024 \ \text{Å}$ कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $\lambda_2 = 0.22 \ \text{Å}$ और $\theta = 60^{\circ}$।
मान रखने पर:
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - \cos 60^{\circ})$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - 0.5)$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024 \times 0.5$
$0.22 - \lambda_1 = 0.012$
$\lambda_1 = 0.22 - 0.012 = 0.208 \ \text{Å}$

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$
आवेश $q = 10^{-8} \,C$
$Q$ पर वेग $v_Q = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$
$P$ पर विभव $V_P = 600 \,V$
$Q$ पर विभव $V_Q = 0 \,V$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$W_{PQ} = \Delta KE = KE_Q - KE_P$
$q(V_P - V_Q) = \frac{1}{2} m v_Q^2 - \frac{1}{2} m v_P^2$
मान रखने पर:
$10^{-8} (600 - 0) = \frac{1}{2} (10^{-3}) (0.2)^2 - \frac{1}{2} (10^{-3}) v_P^2$
$600 \times 10^{-8} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 0.04 - \frac{1}{2} \times 10^{-3} v_P^2$
$6 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-5} - 0.5 \times 10^{-3} v_P^2$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 20 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6}$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 14 \times 10^{-6}$
$v_P^2 = \frac{14 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 28 \times 10^{-3} = 0.028$
$v_P = \sqrt{0.028} \,m/s$

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.4 \text{ Å} = 0.4 \times 10^{-10} \text{ m}$,गति $v = 10^6 \text{ m/s}$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$।
गतिमान इलेक्ट्रॉन एक विद्युत धारा $i$ बनाता है,जो $i = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$,इसलिए $i = \frac{qv}{2\pi r}$।
मान रखने पर:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}} \times \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{8\pi \times 10^{-10}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = 10 \text{ T}$।

(B) दिया गया है: वेग $\vec{v} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ T}$.
विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \text{ C kg}^{-1}$.
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
अब,त्वरण $\vec{a} = \frac{q}{m}(6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$ की गणना करें:
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{a} = 288 \times 10^8 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-2}$.

(D) कथन $(A)$ गलत है क्योंकि डोमेन सिद्धांत का उपयोग लौहचुंबकत्व (Ferromagnetism) को समझाने के लिए किया जाता है,न कि अनुचुंबकत्व को.
कथन $(B)$ सही है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति तापमान से स्वतंत्र होती है,क्योंकि यह इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति से उत्पन्न होती है जो तापीय हलचल से महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं होती है.

(A) दिए गए द्रव्यमान: $m_n = 1.00893 \text{ amu}$,$m_p = 1.00813 \text{ amu}$,$m_d = 2.01473 \text{ amu}$.
ड्यूटेरॉन $({}_1H^2)$ नाभिक एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन से बना होता है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$.
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473 = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \text{ amu}$.
पैकिंग फ्रैक्शन,द्रव्यमान क्षति और द्रव्यमान संख्या $(A)$ का अनुपात होता है।
ड्यूटेरॉन के लिए,$A = 2$.
पैकिंग फ्रैक्शन $= \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$.

(C) प्रोटॉन-न्यूट्रॉन $(p-n)$,प्रोटॉन-प्रोटॉन $(p-p)$ और न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन $(n-n)$ के बीच कार्य करने वाला परमाणु बल लगभग समान और आवेश से स्वतंत्र होता है। इसलिए,कथन $A$ गलत है।
परमाणु रिएक्टर में,न्यूट्रॉन पुनरुत्पादन कारक (जिसे $k$ के रूप में दर्शाया जाता है) एक पीढ़ी में उत्पन्न न्यूट्रॉन की संख्या और पिछली पीढ़ी के न्यूट्रॉन की संख्या का अनुपात दर्शाता है। यदि $k > 1$ है,तो श्रृंखला अभिक्रिया सुपरक्रिटिकल होती है और विखंडन की दर तेजी से बढ़ती है (त्वरित अवस्था)। इसलिए,कथन $B$ सही है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M$ चुंबकीय आघूर्ण $(M = m \times l)$ है और $I$ जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{m l^2}{12})$ है,जहाँ $m$ ध्रुव शक्ति है और $l$ लंबाई है।
जब छड़ को तीन बराबर भागों में तोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $l' = \frac{l}{3}$ हो जाती है और ध्रुव शक्ति $m$ समान रहती है।
अतः,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times \frac{l}{3} = \frac{M}{3}$ है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m(l/3)^2}{12} = \frac{m l^2}{9 \times 12} = \frac{I}{9}$ है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3)H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{3MH}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $T = 4 \ s$,अतः नया आवर्तकाल $T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$ है।

(B) दिया गया है: हवा में फोकस दूरी $f_a = 0.15 \,m$, कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$, और फोकस दूरी में वृद्धि $0.225 \,m$ है।
अतः, द्रव में नई फोकस दूरी $f_l = f_a + 0.225 = 0.15 + 0.225 = 0.375 \,m$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
हवा के लिए $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\frac{\mu_g}{1} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)K = 0.5K$, जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ है।
द्रव के लिए $(\mu_l)$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)K$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
मान रखने पर: $\frac{0.375}{0.15} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)} \Rightarrow 2.5 = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
$(\frac{1.5}{\mu_l} - 1) = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$.
$\frac{1.5}{\mu_l} = 1.2 \Rightarrow \mu_l = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

(C) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$ है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = 2 \cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$

(B) द्वि-अपवर्तन (birefringence) में,एक क्रिस्टल अध्रुवित प्रकाश पुंज को दो किरणों में विभाजित करता है: साधारण किरण ($O$-ray) और असाधारण किरण ($E$-ray)।
कथन $A$ सही है: $E$-किरण का अपवर्तनांक ऑप्टिक अक्ष के सापेक्ष प्रसार की दिशा पर निर्भर करता है,जिसका अर्थ है कि यह आपतन कोण के साथ बदलता है।
कथन $B$ सही है: साधारण और असाधारण दोनों किरणें समतल-ध्रुवित होती हैं। ध्रुवण वह घटना है जिसमें प्रकाश तरंगें 'एकतरफा' हो जाती हैं (कंपन एक ही तल तक सीमित हो जाते हैं)।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(D) दिया गया है:
$\text{करंट } \ \text{गेन } (\beta) = 50$
$\text{लोड } \ \text{प्रतिरोध } (R_L) = 4 \ k\Omega = 4000 \ \Omega$
$\text{इनपुट } \ \text{प्रतिरोध } (R_i) = 500 \ \Omega$
कॉमन एमिटर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
मान रखने पर:
$A_v = 50 \times \frac{4000}{500}$
$A_v = 50 \times 8$
$A_v = 400$
अतः, एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $400$ है।

(A) दिया गया है:
बेस करंट में वृद्धि,$\Delta I_b = 50 \mu A = 50 \times 10^{-6} \ A$.
कलेक्टर करंट में वृद्धि,$\Delta I_c = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
कलेक्टर वोल्टेज को स्थिर रखा गया है,जो कॉमन-एमिटर करंट गेन $\beta$ की गणना करने की शर्त है।
करंट गेन $\beta$ को कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b}$
मान रखने पर:
$\beta = \frac{1 \times 10^{-3} \ A}{50 \times 10^{-6} \ A}$
$\beta = \frac{1000}{50} = 20$.
अतः,ट्रांजिस्टर का करंट गेन $20$ है।

(B) थर्मो e.m.f. समीकरण $E = 16T - 0.04T^2$ द्वारा दिया गया है।
व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ पर,थर्मो e.m.f. शून्य हो जाता है $(E = 0)$।
समीकरण को शून्य के बराबर रखने पर: $0 = 16T_i - 0.04T_i^2$.
$16T_i = 0.04T_i^2$.
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
उदासीन तापमान $(T_n)$ वह तापमान है जिस पर थर्मो e.m.f. अधिकतम होता है,या यह ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ और व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ का औसत होता है।
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2}$.
यहाँ $T_c = 0^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T_n = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
अतः,व्युत्क्रमण तापमान $400^{\circ} C$ है और उदासीन तापमान $200^{\circ} C$ है।

(C) दिया गया है: $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$,$\Delta x = 1.5 \text{ } \mu\text{m} = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\Delta x / \lambda = (1.5 \times 10^{-6}) / (6 \times 10^{-7}) = 15 / 6 = 2.5$.
चूँकि $n$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह दीप्त फ्रिंज नहीं है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times (6 \times 10^{-7} / 2)$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times 3 \times 10^{-7}$.
$2n + 1 = (1.5 \times 10^{-6}) / (3 \times 10^{-7}) = 15 / 3 = 5$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.
$n = 0$ के लिए पहली अदीप्त फ्रिंज,$n = 1$ के लिए दूसरी और $n = 2$ के लिए तीसरी अदीप्त फ्रिंज प्राप्त होती है। अतः,बिंदु $P$ पर तीसरी अदीप्त फ्रिंज बनती है।