r त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अ | vedclass

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Question

(A) माना आयत $ABCD$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(r \cos 	heta, r \sin 	heta)$ हैं।अतः,

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$2 r^2$ वर्ग इकाई

Vedclass · Answer

(A) माना आयत $ABCD$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(r \cos 	heta, r \sin 	heta)$ हैं।अतः,लंबाई $AB = 2r \cos 	heta$ और चौड़ाई $BC = 2r \sin 	heta$ है।आयत का क्षेत्रफल $A(	heta) = AB 	imes BC = (2r \cos 	heta)(2r \sin 	heta) = 2r^2 \sin 2	heta$ है।अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(	heta)$ का $	heta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$A'(	heta) = 4r^2 \cos 2	heta$.$A'(	heta) = 0$ रखने पर,हमें $\cos 2	heta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2	heta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $	heta = \frac{\pi}{4}$.द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $A''(	heta) = -8r^2 \sin 2	heta$.$	heta = \frac{\pi}{4}$ पर,$A''(\frac{\pi}{4}) = -8r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -8r^2 चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $	heta = \frac{\pi}{4}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।$	heta = \frac{\pi}{4}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:अधिकतम क्षेत्रफल $= 2r^2 \sin(2 	imes \frac{\pi}{4}) = 2r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2r^2(1) = 2r^2$ वर्ग इकाई।

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

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