वक्र y=ax^3+bx^2+cx+5,X-अक्ष को P(-2,0) पर स् | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूँकि यह $X$-अक्ष को $P(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है और इस बिंदु पर प्रवणता $0$ ह

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$a=\frac{-1}{2}, b=\frac{-3}{4}, c=3$

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(D) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूँकि यह $X$-अक्ष को $P(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है और इस बिंदु पर प्रवणता $0$ है। $P(-2,0)$ को समीकरण में रखने पर: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \quad (1)$. अवकलन $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ है। $P(-2,0)$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0$: $3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \quad (2)$. वक्र $Y$-अक्ष को $Q(0,k)$ पर काटता है। $Q$ पर,$x=0$ और प्रवणता $3$ है: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 3(a)(0)^2 + 2(b)(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3$. $c=3$ को $(1)$ और $(2)$ में रखने पर: $(1): 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \quad (3)$. $(2): 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \quad (4)$. $(4)$ में से $(3)$ घटाने पर: $(12a - 8a) = -3 - (-1) \Rightarrow 4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$. $a = -\frac{1}{2}$ को $(3)$ में रखने पर: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$. अतः,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$.

वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$,$X$-अक्ष को $P(-2,0)$ पर स्पर्श करता है और $Y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है,जहाँ इसकी प्रवणता $3$ है,तो:

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