यदि int_2^{e}left[frac{1}{log x}-frac{1}{(log | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx$ है। माना $\log x = t$,तो $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ होगा। जब

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$a=e, b=-2$

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(B) दिया गया समाकलन $I = \int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx$ है। माना $\log x = t$,तो $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ होगा। जब $x = 2$,तब $t = \log 2$ और जब $x = e$,तब $t = 1$ होगा। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_{\log 2}^{1} \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}\right) e^t dt$। हम जानते हैं कि $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ होता है। यहाँ,$f(t) = \frac{1}{t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ है। अतः,$I = \left[ e^t \cdot \frac{1}{t} \right]_{\log 2}^{1}$ होगा। $I = \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) - \left( e^{\log 2} \cdot \frac{1}{\log 2} \right)$। $I = e - \frac{2}{\log 2}$। इसकी तुलना $a + \frac{b}{\log 2}$ से करने पर,हमें $a = e$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx = a+\frac{b}{\log 2}$ है,तो:

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यदि $\int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx = f(x) + \text{constant}$ है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x=$

$\int e^{x}\left(\frac{1-x}{1+x^{2}}\right)^{2} \,d x=$

$\int e^{-x}(x^3-2x^2+3x-4) dx=$

$\int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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