MHT CET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,टक्कर से पहले की कुल गतिज ऊर्जा टक्कर के बाद की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद दूसरे ब्लॉक की चाल $v_2$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(0)^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$.
$KE_i = KE_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\frac{1}{2}m$ से भाग देने पर:
$v^2 = v_1^2 + v_2^2$
$v_2^2 = v^2 - v_1^2$
$v_2 = \sqrt{v^2 - v_1^2}$.

(D) कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $v = \omega r = 2 \pi f r$,इसलिए $E_i = \frac{1}{2} m (2 \pi f_1 r_1)^2 = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना $(r_2 = 2 r_1)$ और आवृत्ति को दोगुना $(f_2 = 2 f_1)$ किया जाता है,तो अंतिम गतिज ऊर्जा $E_f$ इस प्रकार होगी:
$E_f = 2 \pi^2 m (r_2)^2 (f_2)^2 = 2 \pi^2 m (2 r_1)^2 (2 f_1)^2$.
$E_f = 2 \pi^2 m (4 r_1^2) (4 f_1^2) = 32 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$.
चूँकि $E_i = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$,हम लिख सकते हैं कि $E_f = 16 E_i$।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_f - E_i = 16 E_i - E_i = 15 E_i$ होगा।

(D) दिया गया है कि पृथ्वी की सतह से छेद के तल की दूरी $d = \frac{R_e}{2}$ है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 300 \ N$ है।
सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - \frac{d}{R_e})$ होता है।
सूत्र में $d = \frac{R_e}{2}$ रखने पर:
$g' = g(1 - \frac{R_e/2}{R_e}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
छेद के तल पर पिंड का भार $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ होगा।
$mg = 300 \ N$ का मान रखने पर:
$W' = \frac{300}{2} = 150 \ N$.

(D) जब किसी पिंड को $\lambda$ अक्षांश पर स्थित बिंदु $P$ पर डोरी से लटकाया जाता है,तो वह पिंड पृथ्वी की कोणीय गति $\omega$ के साथ घूमता है। पिंड पर कार्य करने वाला प्रभावी बल गुरुत्वाकर्षण बल और वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल का अंतर है।
डोरी में तनाव $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = mg - mr\omega^2 \cos \lambda$
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$ और $\lambda$ अक्षांश पर वृत्तीय पथ की त्रिज्या $r = R \cos \lambda$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$T = m \left( \frac{GM}{R^2} \right) - m(R \cos \lambda) \omega^2 \cos \lambda$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 \cos^2 \lambda$
विषुववृत्त पर,अक्षांश $\lambda = 0^{\circ}$ होता है।
$\lambda = 0^{\circ}$ और $\cos 0^{\circ} = 1$ रखने पर:
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 (1)^2$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2$

(B) पृथ्वी की सतह से उपग्रह को प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा,सतह से अंतिम ऊँचाई तक जाने में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में हुए परिवर्तन के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(r_1 = R)$: $U_i = -\frac{G M m}{R}$
$h = 2R$ ऊँचाई पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(r_2 = R + 2R = 3R)$: $U_f = -\frac{G M m}{3R}$
आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{G M m}{3R} - (-\frac{G M m}{R})$
$\Delta U = G M m (\frac{1}{R} - \frac{1}{3R})$
$\Delta U = G M m (\frac{3-1}{3R}) = \frac{2 G M m}{3 R}$

(B) माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है। पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पिंड का प्रारंभिक वेग $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h$ (जहाँ अंतिम वेग $0$ है) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R} = \frac{GM}{2R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r = R + h$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{G M m}{2r}$ है।
यहाँ ऊँचाई $h = 3R$ दी गई है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r = R + 3R = 4R$ होगी।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $K.E. = \frac{G M m}{2(4R)} = \frac{G M m}{8R}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $G M = g R^2$.
अब $G M = g R^2$ को गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर: $K.E. = \frac{(g R^2) m}{8R} = \frac{m g R}{8}$।

(C) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एक संरक्षी बल क्षेत्र है।
एक संरक्षी बल क्षेत्र में,एक कण को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
यह केवल कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
चूंकि तीनों पथ $(1, 2, 3)$ बिंदु $A$ से शुरू होते हैं और बिंदु $B$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए प्रत्येक पथ के अनुदिश किया गया कार्य समान होना चाहिए।
अतः,$W_1 = W_2 = W_3$।

(A) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \left(1 + \frac{f}{2}\right)R$ है और स्थिर आयतन पर $C_v = \frac{f}{2}R$ है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{2}{f} = \gamma - 1$,या $\frac{f}{2} = \frac{1}{\gamma - 1}$।
इस मान को $C_p$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$C_p = \left(1 + \frac{1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \left(\frac{\gamma - 1 + 1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ गैस के मोलों की संख्या है।
$\mu = \frac{\text{दिया गया द्रव्यमान}}{\text{आणविक द्रव्यमान}} = \frac{m}{M}$ है।
यहाँ,$m = 2 \ g$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$M = 32 \ g/mol$ है।
इन मानों को आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$PV = \left( \frac{2}{32} \right) RT$.
$PV = \frac{1}{16} RT$.

(C) ऑक्सीजन के अणु $(O_2)$ की rms चाल $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तापमान है और $M$ $O_2$ का आणविक द्रव्यमान है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T' = 2T)$ और अणु दो परमाणुओं में विघटित हो जाता है,तो ऑक्सीजन परमाणु का आणविक द्रव्यमान $M' = \frac{M}{2}$ हो जाता है।
नई rms चाल $u'$ का मान $u' = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $u' = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,इसलिए $u' = 2u$ होगा।

(A) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई वस्तु अपनी विरामावस्था या सीधी रेखा में एकसमान गति की स्थिति को तब तक बनाए रखती है जब तक कि उस पर कोई बाहरी असंतुलित बल कार्य न करे।
चूंकि विमान पर कार्य करने वाले सभी बल संतुलित हैं,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल $(F_{net})$ $0 \ N$ है।
अतः,विमान अपनी गति या दिशा में बिना किसी परिवर्तन के $150 \ m/s$ के उसी एकसमान वेग से गति करता रहेगा।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्त के शीर्ष पर,पत्थर पर कार्य करने वाले बल तनाव $(T_{top})$ और भार $(mg)$ हैं,जो दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। अभिकेंद्री बल उनके योग द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T_{top} + mg = \frac{mv^2}{R}$
$T_{top} = \frac{mv^2}{R} - mg = \frac{1 \times (40)^2}{2} - (1 \times 10) = 800 - 10 = 790 \ N$
ऊर्ध्वाधर वृत्त के निम्नतम बिंदु पर,तनाव $(T_{bot})$ ऊपर की ओर और भार $(mg)$ नीचे की ओर कार्य करता है। परिणामी बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T_{bot} - mg = \frac{mv^2}{R}$
$T_{bot} = \frac{mv^2}{R} + mg = \frac{1 \times (40)^2}{2} + (1 \times 10) = 800 + 10 = 810 \ N$
शीर्ष और निम्नतम बिंदु पर तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_{top}}{T_{bot}} = \frac{790}{810} = \frac{79}{81}$

(D) प्रश्न के अनुसार,सदिश $P$ और $Q$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$P = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$
$Q = -6 \hat{i}$
अब,सदिश $(Q - P)$ की गणना करें:
$Q - P = (-6 \hat{i}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$Q - P = -6 \hat{i} - 2 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$Q - P = -8 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$-4$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$Q - P = -4(2 \hat{i} + \hat{j})$

(C) माना $\vec{P} = \vec{A} + \vec{B}$ और $\vec{Q} = \vec{A} - \vec{B}$ है।
परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec{R}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2|\vec{P}||\vec{Q}| \cos \phi$ होता है।
दिया गया है कि $|\vec{R}|^2 = A^2 + B^2$ है।
सदिश योग के नियम का उपयोग करते हुए:
$A^2+B^2 = (A+B)^2 + (A-B)^2 + 2(A+B)(A-B) \cos \theta$.
$A^2+B^2 = 2(A^2+B^2) + 2(A^2-B^2) \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = \frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left[\frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}\right]$.

(A) दिया गया है कि सदिश $(A + B)$ और $(A - B)$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए।
$(A + B) \cdot (A - B) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है $(A \cdot B = B \cdot A)$,इसलिए $-A \cdot B$ और $B \cdot A$ पद कट जाएंगे।
$|A|^2 - |B|^2 = 0$
$|A|^2 = |B|^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|A| = |B|$
अतः,शर्त यह है कि दोनों सदिशों का परिमाण समान होना चाहिए।

(C) मान लीजिए कि दो सदिश $P$ और $Q$ चित्र में दिखाए गए अनुसार हैं।
यहाँ,$Q_P$ सदिश $P$ की दिशा में सदिश $Q$ का घटक है।
$Q$ का $P$ पर प्रक्षेप द्वारा बने समकोण त्रिभुज से,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{Q_P}{Q}$
$\Rightarrow Q_P = Q \cos \theta$
हम जानते हैं कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $P \cdot Q = PQ \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{P \cdot Q}{PQ}$।
इस मान को $Q_P$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$Q_P = Q \left( \frac{P \cdot Q}{PQ} \right)$
$Q_P = \frac{P \cdot Q}{P}$
अतः,$P$ की दिशा में $Q$ का घटक $\frac{P \cdot Q}{P}$ है।

(B) बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{s}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$.
दिया गया है,$\vec{F} = -5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{s} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$14 = (-5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k})$
$14 = (-5)(3) + (-7)(-2) + (3)(a)$
$14 = -15 + 14 + 3a$
$14 = -1 + 3a$
$15 = 3a$
$a = 5$.

(D) मान लीजिए कि $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$,$\vec{P}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{R}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
परिणामी सदिश की दिशा के लिए सूत्र $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ है,जहाँ $\alpha$,$\vec{R}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण है।
चूंकि $\alpha = 90^{\circ}$ है,$\tan 90^{\circ}$ अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$P + Q \cos \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{P}{Q} \dots (1)$
दिया गया है कि $|\vec{P}| = |\vec{R}|$,इसलिए हम परिमाण सूत्र $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ का उपयोग करते हैं।
$R = P$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$0 = Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$Q^2 = -2PQ \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{Q}{2P} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से:
$-\frac{P}{Q} = -\frac{Q}{2P} \Rightarrow Q^2 = 2P^2 \Rightarrow Q = \sqrt{2}P$.
$Q = \sqrt{2}P$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\cos \theta = -\frac{P}{\sqrt{2}P} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = 135^{\circ} = \frac{3 \pi}{4}$ रेडियन।

(D) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,तरल के क्षैतिज प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
जब दो लटकी हुई गेंदों के बीच की जगह से हवा की धारा प्रवाहित की जाती है,तो उस क्षेत्र में हवा का वेग बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे वेग बढ़ता है,उस क्षेत्र में दबाव गेंदों के बाहरी किनारों पर मौजूद वायुमंडलीय दबाव की तुलना में कम हो जाता है।
यह दबाव का अंतर गेंदों पर एक शुद्ध बल पैदा करता है,जो उन्हें एक-दूसरे की ओर धकेलता है।
इसलिए,गेंदों के बीच की दूरी कम हो जाएगी।

(A) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $V_T$ स्टोक्स के नियम के अनुसार है:
$V_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
चूंकि $R$,$g$ और $\eta$ दोनों गोलों के लिए स्थिर हैं,इसलिए टर्मिनल वेग घनत्व के अंतर के सीधे आनुपातिक है:
$V \propto (\rho - \sigma)$
अतः,पहले गोले के लिए: $V \propto (\rho_1 - \sigma)$
दूसरे गोले के लिए जिसका टर्मिनल वेग $V'$ है: $V' \propto (\rho_2 - \sigma)$
अनुपात लेने पर:
$\frac{V'}{V} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$V' = V \left[ \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma} \right]$

(C) माना तल पर बुलबुले की त्रिज्या $r_1$ है और सतह पर $r_2$ है। दिया गया है $r_2 = 2r_1$।
चूंकि गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$।
अतः,$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3 = (2)^3 = 8$,जिसका अर्थ है $V_2 = 8V_1$।
बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर $P_1V_1 = P_2V_2$,जहाँ $P_1$ तल पर दबाव है और $P_2$ सतह पर वायुमंडलीय दबाव है।
दिया गया है $P_2 = P_H$ ($H$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ के कारण दबाव),इसलिए $P_2 = \rho g H$।
$d$ गहराई पर दबाव $P_1 = P_2 + \rho g d = \rho g H + \rho g d$ है।
इन मानों को बॉयल के नियम में रखने पर: $(\rho g H + \rho g d) V_1 = (\rho g H)(8V_1)$।
दोनों पक्षों को $\rho g V_1$ से विभाजित करने पर,हमें $H + d = 8H$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = 7H$।

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R'$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R'^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
$R'^3 = 2 R^3 \implies R' = 2^{1/3} R$
परिवर्तन से पहले कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_i)$ = $2 \times (4 \pi R^2 T)$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
परिवर्तन के बाद कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_f)$ = $4 \pi R'^2 T$.
पृष्ठीय ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_i}{E_f} = \frac{2 \times 4 \pi R^2 T}{4 \pi R'^2 T} = \frac{2 R^2}{R'^2}$ है।
$R' = 2^{1/3} R$ का मान रखने पर:
अनुपात = $\frac{2 R^2}{(2^{1/3} R)^2} = \frac{2 R^2}{2^{2/3} R^2} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
अतः,अनुपात $2^{1/3} : 1$ है।

(C) सतह पर स्थित एक अणु नीचे की दिशा में एक नेट बल (ससंजक बल) का अनुभव करता है क्योंकि ऊपर की तुलना में नीचे से उसे खींचने वाले अणुओं की संख्या अधिक होती है (चित्र में दर्शाया गया अणु $A$)।
इसके विपरीत,द्रव के भीतर स्थित एक अणु अपने चारों ओर के अणुओं द्वारा सभी दिशाओं में समान रूप से खींचा जाता है (चित्र में दर्शाया गया अणु $B$),जिसके परिणामस्वरूप उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।

(A) $R$ त्रिज्या की एक गोलाकार तरल बूंद पर पृष्ठ तनाव $(T)$ के कारण अतिरिक्त दबाव $(p)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$p = \frac{2T}{R}$
यहाँ,$T$ तरल का पृष्ठ तनाव है और $R$ बूंद की त्रिज्या है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अतिरिक्त दबाव बूंद की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$p \propto \frac{1}{R}$ या $p \propto R^{-1}$।

(B) पृष्ठ तनाव को द्रव की सतह पर प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,पृष्ठ तनाव को द्रव के सतह क्षेत्रफल में प्रति इकाई वृद्धि के लिए किए गए कार्य के रूप में भी परिभाषित किया जाता है।
पृष्ठ ऊर्जा को सतह के प्रति इकाई क्षेत्रफल की स्थितिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इन परिभाषाओं की दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है क्योंकि पृष्ठ तनाव प्रति इकाई क्षेत्रफल किए गए कार्य के बराबर होता है।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 T \cos \theta}{\rho g r}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केश नली की त्रिज्या है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
इसका अर्थ है कि पानी के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई केश नली की त्रिज्या (या व्यास) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,छोटे व्यास वाली नली में पानी का स्तर अधिक ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(D) बड़े बुलबुले का आयतन $27$ छोटे बुलबुलों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
दोनों तरफ घनमूल लेने पर: $R = 3r$.
आवेशित साबुन के बुलबुले पर प्रति इकाई क्षेत्रफल यांत्रिक बल (स्थिर-वैद्युत दबाव) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$.
चूंकि कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है,इसलिए पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma \propto \frac{1}{R^2}$.
अतः,दबाव $P \propto \frac{1}{R^4}$.
बड़े बुलबुले के लिए: $P_B = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
छोटे बुलबुले के लिए: $q = Q/27$,इसलिए $P_S = \frac{(Q/27)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{Q^2}{729 \times 32\pi^2 \epsilon_0 (R/3)^4} = \frac{Q^2}{9 \times 32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
अतः,अनुपात $\frac{P_B}{P_S} = \frac{1/R^4}{1/(9R^4)} = 9/1$.

(D) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$
टर्मिनल वेग $v_t$ का सूत्र $v_t = \frac{2r^2 g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ है,जिसका अर्थ है $v_t \propto r^2$।
माना छोटी बूंद का टर्मिनल वेग $v_1$ है और बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $v_2$ है।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 10 \ cm/s = 40 \ cm/s$.

(B) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि तार समान हैं,उनकी लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है। खिंचाव बल $F$ भी दोनों के लिए समान है।
इसलिए,$Y \propto \frac{1}{\Delta l}$।
यह दिया गया है कि $Q$ का विस्तार $P$ से अधिक है,अर्थात $(\Delta l)_Q > (\Delta l)_P$।
चूंकि $Y$ विस्तार के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए $Y_P > Y_Q$ प्राप्त होता है।
उच्च यंग मापांक यह दर्शाता है कि पदार्थ अधिक प्रत्यास्थ है (विरूपण के प्रति अधिक प्रतिरोध)।
अतः,$P$,$Q$ से अधिक प्रत्यास्थ है।

(B) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो रस्सी में उत्पन्न तनाव $T = M(g + a)$ होता है।
प्रतिबल $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\sigma = \frac{T}{A}$,जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
अधिकतम सुरक्षित प्रतिबल $S$ दिया गया है,इसलिए $S = \frac{M(g + a)}{\frac{\pi d^2}{4}}$ होगा।
व्यास $d$ के लिए हल करने पर,$d^2 = \frac{4 M(g + a)}{\pi S}$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम व्यास $d = [\frac{4 M(g + a)}{\pi S}]^{\frac{1}{2}}$ है।

(D) तार को खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{Y A}{L}$ तार का बल नियतांक है।
यहाँ,$Y$ यंग मापांक है,$A = \pi R^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ मूल लंबाई है।
पहले तार के लिए: $W_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) x^2 = 2 \ J$ (जहाँ $x = 1 \ mm$ है)।
दूसरे तार के लिए: $L' = \frac{L}{2}$ और $R' = 2R$ है।
नया बल नियतांक $k' = \frac{Y \pi (2R)^2}{L/2} = \frac{Y \pi (4R^2)}{L/2} = 8 \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) = 8k$ होगा।
दूसरे तार के लिए किया गया कार्य $W_2 = \frac{1}{2} k' x^2 = \frac{1}{2} (8k) x^2 = 8 \left( \frac{1}{2} k x^2 \right) = 8 W_1$ है।
$W_1 = 2 \ J$ रखने पर,हमें $W_2 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$ प्राप्त होता है।

(A) यदि $L$ लंबाई के तार को $x$ मात्रा तक खींचने के लिए $F$ बल लगाया जाता है,तो यंग मापांक $Y$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{x/L} = \frac{FL}{Ax}$
इससे,तार को खींचने के लिए आवश्यक बल $F$ है:
$F = \frac{YA}{L} x$
तार को खींचने में किया गया कार्य $W$,विस्थापन के सापेक्ष बल का समाकलन है:
$W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} \frac{YA}{L} x \, dx$
$W = \frac{YA}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{YAx^2}{2L}$

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र है: $Y = \frac{F L}{A l} = \frac{F L}{\pi r^2 l}$।
पहले तार के लिए: $Y = \frac{F L}{\pi r^2 l} \quad \dots (i)$।
दूसरे तार के लिए पैरामीटर हैं: $L' = 2L$,$r' = 2r$,$F' = 2F$,और मान लीजिए नई वृद्धि $l'$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए यंग मापांक $Y$ स्थिर रहेगा।
$Y = \frac{F' L'}{\pi (r')^2 l'} = \frac{(2F) (2L)}{\pi (2r)^2 l'} = \frac{4 F L}{\pi (4 r^2) l'} = \frac{F L}{\pi r^2 l'} \quad \dots (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{F L}{\pi r^2 l} = \frac{F L}{\pi r^2 l'}$।
अतः,$l' = l$ प्राप्त होता है।

(D) एक समांगी समदैशिक पदार्थ के लिए पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ सैद्धांतिक रूप से इस आवश्यकता द्वारा सीमित है कि यंग मापांक $(Y)$, कर्तन मापांक $(G)$ और आयतन मापांक $(K)$ सभी धनात्मक मान होने चाहिए।
यह पॉइसन अनुपात के लिए $-1.0 < \sigma < 0.5$ की सैद्धांतिक सीमा निर्धारित करता है।
अधिकांश सामान्य पदार्थों का पॉइसन अनुपात $0$ और $0.5$ के बीच होता है।
चूंकि $0.8$ इस वैध सीमा से बाहर है, इसलिए यह एक समांगी समदैशिक पदार्थ के लिए पॉइसन अनुपात का मान नहीं हो सकता है।

(B) निकाय में $M$ द्रव्यमान का ब्लॉक और $m$ द्रव्यमान की रस्सी एक इकाई के रूप में एक साथ खींचे जा रहे हैं।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए कोई घर्षण नहीं है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m)$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,निकाय पर लगाया गया बल $F$ कुल द्रव्यमान और त्वरण $a$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$F = (M + m) a$
इसलिए,त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{F}{M + m}$

(B) समान वृत्तीय गति में,वेग सदिश $v$ हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
मान लीजिए समय $t$ पर वेग $v_1$ है और समय $t + \delta t$ पर वेग $v_2$ है। वेग में परिवर्तन $\delta v = v_2 - v_1$ है।
चूंकि $U$.$C$.$M$. में चाल स्थिर रहती है,इसलिए $|v_1| = |v_2| = v$ होता है।
सदिश $\delta v$ एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार बनाता है जिसकी भुजाएं $v_1$ और $v_2$ हैं और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
वेग में परिवर्तन $\delta v$ और प्रारंभिक वेग $v_1$ के बीच का कोण $\phi = \frac{180^{\circ} - \theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे समय अंतराल $\delta t \rightarrow 0$ होता है,वेग सदिशों के बीच का कोण $\theta$ भी $0^{\circ}$ के करीब पहुंच जाता है।
इस समीकरण में $\theta \approx 0^{\circ}$ रखने पर,हमें $\phi = 90^{\circ} - 0^{\circ} = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,वेग में परिवर्तन तात्कालिक वेग सदिश के लंबवत होता है।

(A) $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = m \omega^2 r$ होता है।
चूँकि आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है,इसलिए $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ होगा।
इस मान को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2 r = \frac{4 \pi^2 m r}{T^2}$ प्राप्त होता है।
बल के परिमाण का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{F} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m r}{T^2}} = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{m r}$।

(A) वृत्तीय गति में किसी वस्तु की रेखीय चाल $V$ को $V = r\omega$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय चाल है।
चूंकि दोनों कारें एक चक्कर समान समय $t$ में पूरा करती हैं,इसलिए उनकी कोणीय चालें समान हैं,अर्थात $\omega_{1} = \omega_{2} = \frac{2\pi}{t}$।
अतः,उनकी रेखीय चालों का अनुपात है:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}\omega_{1}}{r_{2}\omega_{2}}$
चूंकि $\omega_{1} = \omega_{2}$ है,इसलिए अनुपात सरल होकर हो जाता है:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$
इस प्रकार,$m_{1}$ की रेखीय चाल और $m_{2}$ की रेखीय चाल का अनुपात $r_{1}: r_{2}$ है।

(A) एक सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
जहाँ:
$m$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले पिंड का द्रव्यमान है,
$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,
$A$ दोलन का आयाम है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा $E$,आयाम के वर्ग $(A^2)$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,$E \propto A^2$।

(B) $S.H.M.$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूंकि दिए गए $S.H.M.$ के लिए $k$ और $A$ दोनों नियत रहते हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $E$ समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,कुल ऊर्जा आवर्ती रूप से परिवर्तित नहीं होती है,जबकि विस्थापन,वेग और त्वरण समय के साथ दोलन करते हैं।

(A) रैखिक सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,विस्थापन $x$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कण माध्य स्थिति $(x=0)$ और चरम स्थिति $(x=A)$ के बीच में है,इसलिए $x = \frac{A}{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,वेग और त्वरण के परिमाण समान हैं,इसलिए $v = a$ है।
समीकरणों में मान रखने पर: $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर: $\omega \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2} = \omega^2 (\frac{A}{2})$.
$\omega \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2} \Rightarrow \omega \sqrt{\frac{3A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
$\omega \frac{\sqrt{3}A}{2} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
दोनों पक्षों को $\frac{\omega A}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\omega = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है,इसलिए $T = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \ s$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,एक कण दो चरम स्थितियों,$-A$ और $+A$ के बीच दोलन करता है,जो माध्य स्थिति $0$ से होकर गुजरता है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $(T)$ एक पूर्ण दोलन का प्रतिनिधित्व करता है।
माध्य स्थिति $(0)$ से शुरू करते हुए:
$1$. कण $0$ से $+A$ तक जाता है (दूरी = $A$)।
$2$. कण $+A$ से वापस $0$ तक आता है (दूरी = $A$)।
$3$. कण $0$ से $-A$ तक जाता है (दूरी = $A$)।
$4$. कण $-A$ से वापस $0$ तक आता है (दूरी = $A$)।
एक आवर्तकाल में तय की गई कुल दूरी = $A + A + A + A = 4A$।

(C) दिया गया तरंग समीकरण $Y = a \sin(2 \pi b t - 2 \pi c x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin(\omega t - k x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi b$ और तरंग संख्या $k = 2 \pi c$ प्राप्त होती है।
कण का अधिकतम वेग $(V_{max})_p = \omega A = (2 \pi b) a$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग का वेग $V_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi b}{2 \pi c} = \frac{b}{c}$ है।
प्रश्न के अनुसार,कण का अधिकतम वेग तरंग के वेग का दोगुना है:
$(V_{max})_p = 2 V_w$.
मान रखने पर: $2 \pi b a = 2 \left( \frac{b}{c} \right)$.
दोनों पक्षों को $2b$ से विभाजित करने पर,हमें $\pi a = \frac{1}{c}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $c = \frac{1}{\pi a}$।

(B) स्थिर लिफ्ट में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ धागे की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3l}{4g}}$।
इसे $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ प्राप्त होता है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति $(UCM)$ में,पिंड पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
पिंड का वेग हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
चूंकि त्रिज्या (स्थिति सदिश) स्पर्शरेखा के लंबवत होती है,इसलिए अभिकेंद्र बल हमेशा पिंड के तात्कालिक वेग सदिश के लंबवत होता है।
किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $d\vec{s}$ का अदिश गुणनफल है,जो $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ होता है।
चूंकि $UCM$ में प्रत्येक बिंदु पर $\vec{F} \perp d\vec{s}$ होता है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = \int F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$.
इस प्रकार,वृत्तीय पथ के किसी भी भाग में,जिसमें $\left(\frac{2}{3}\right)$ भाग भी शामिल है,अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।

(B) दिया गया है: कार्य $W = 12000 \ J$,प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 10 \ Hz$,अंतिम आवृत्ति $f_2 = 20 \ Hz$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 2\pi(10) = 20\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 2\pi(20) = 40\pi \ rad/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I \omega_2^2 - \frac{1}{2} I \omega_1^2 = \frac{1}{2} I (\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
मान रखने पर:
$12000 = \frac{1}{2} I [(40\pi)^2 - (20\pi)^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1600\pi^2 - 400\pi^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1200\pi^2]$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$12000 = \frac{1}{2} I [1200 \times 10]$.
$12000 = I [6000]$.
$I = \frac{12000}{6000} = 2 \ kg \cdot m^2$.

(D) माना कि तीन छड़ें $R_1$,$R_2$,और $R_3$ हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। हमें छड़ $R_1$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
$1$. छड़ $R_1$ के लिए: चूंकि घूर्णन अक्ष छड़ के अनुदिश है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I_1 = 0$ होगा।
$2$. छड़ $R_2$ के लिए: यह छड़ घूर्णन अक्ष $R_1$ के लंबवत है और इसके एक सिरे पर जुड़ी हुई है। एक सिरे से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{M L^2}{3}$ होता है।
$3$. छड़ $R_3$ के लिए: यह छड़ घूर्णन अक्ष $R_1$ के समानांतर $L$ दूरी पर है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_3 = I_{CM} + M d^2$। चूंकि अक्ष $R_3$ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरती है (जो $R_1$ से $L$ दूरी पर है),इसलिए $I_{CM} = 0$ होगा। अतः,$I_3 = 0 + M L^2 = M L^2$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{M L^2}{3} + M L^2 = \frac{4 M L^2}{3}$।

(A) तार का कुल द्रव्यमान $m = Q \cdot L$ है।
चूंकि तार को $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा गया है,इसलिए परिधि $2 \pi R = L$ है,जिससे $R = L / (2 \pi)$ प्राप्त होता है।
एक वृत्ताकार वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = (1/2) m R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा अक्ष $XX'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{XX'} = I_{cm} + m R^2$ है,जहाँ $I_{cm}$ केंद्र से गुजरने वाले व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{XX'} = (1/2) m R^2 + m R^2 = (3/2) m R^2$.
$m = Q L$ और $R = L / (2 \pi)$ का मान सूत्र में रखने पर:
$I_{XX'} = (3/2) \cdot (Q L) \cdot (L / (2 \pi))^2$
$I_{XX'} = (3/2) \cdot Q L \cdot (L^2 / (4 \pi^2))$
$I_{XX'} = 3 Q L^3 / (8 \pi^2)$.

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = \frac{2}{5} m R^2$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है और अंतिम त्रिज्या $R_2 = 2R$ है। द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} m R^2$ है।
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5} m (2R)^2 = \frac{2}{5} m (4R^2) = 4 \times (\frac{2}{5} m R^2) = 4 I_1$ होगा।
अतः,प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण और अंतिम जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{4 I_1} = \frac{1}{4}$ है।

(D) $AC$ परिपथ में कुंडली का प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ $AC$ स्रोत की आवृत्ति है।
$AC$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f > 0$ होती है,इसलिए प्रतिघात $X_L$ का मान शून्य के अतिरिक्त एक निश्चित मान होता है।
$DC$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f = 0$ होती है। इसलिए,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi (0) L = 0 \ \Omega$ होता है।
$AC$ में प्रतिघात और $DC$ में प्रतिघात का अनुपात $\frac{X_L(AC)}{X_L(DC)} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ होता है।
अतः,अनुपात अनंत है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
जहाँ $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
चरण $1$: प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें।
$X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \Omega$.
चरण $2$: धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें।
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
चरण $3$: प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें।
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000}$
$Z = 500 \Omega$.

(C) दिया गया है,प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = 100 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ V}$ है।
वोल्टेज के अधिकतम होने के लिए,साइन पद का मान $1$ होना चाहिए।
$\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right) = 1$
चूंकि $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,इसलिए:
$\omega t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ का उपयोग करते हुए:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{6}$
अतः,वोल्टेज पहली बार $t = \frac{T}{6}$ पर अधिकतम होगा।

(B) हाइड्रोजन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
किसी भी श्रेणी के लिए अधिकतम तरंगदैर्ध्य तब प्राप्त होती है जब ऊर्जा का अंतर न्यूनतम हो। यह $n_2 = n+1$ से $n_1 = n$ के संक्रमण के लिए होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= \frac{R(2n+1)}{n^2(n+1)^2}$
अतः,अधिकतम तरंगदैर्ध्य है:
$\lambda_{\max} = \frac{n^2(n+1)^2}{R(2n+1)}$

(A) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5\lambda}$।
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$।
पहले समीकरण से $R$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{3}{16} \times \left( \frac{36}{5\lambda} \right) = \frac{3 \times 9}{4 \times 5 \lambda} = \frac{27}{20\lambda}$।
अतः,$\lambda' = \frac{20}{27} \lambda$।

(C) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण के लिए जो चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहा है,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
बोहर के क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
क्वांटाइजेशन शर्त में $r = \frac{mv}{qB}$ रखने पर: $mv \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{nh}{2\pi}$।
इसे सरल करने पर $\frac{m^2 v^2}{qB} = \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है,जिससे $mv^2 = \frac{nhqB}{2\pi m}$ मिलता है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$mv^2$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{nhqB}{2\pi m} \right) = \frac{nhqB}{4\pi m}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की चाल $v_n = \frac{v_1}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_1$ मूल अवस्था $(n=1)$ में चाल है।
दिया गया है,$v_1 = 2.2 \times 10^6 \ m/s$.
तीसरी उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n = 4$ (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,प्रथम उत्तेजित अवस्था $n=2$ है,दूसरी $n=3$ है,और तीसरी $n=4$ है)।
संबंध $v_n = \frac{v_1}{n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_4 = \frac{v_1}{4} = \frac{2.2 \times 10^6 \ m/s}{4}$.
$v_4 = 0.55 \times 10^6 \ m/s = 5.5 \times 10^5 \ m/s$.

(A) बामर श्रेणी के लिए तरंगदैर्घ्य का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
पहली रेखा के लिए,$n = 3$ लेने पर:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \Rightarrow \lambda_1 = \frac{36}{5R}$
ब्रैकेट श्रेणी के लिए तरंगदैर्घ्य का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 5, 6, 7, \dots$
पहली रेखा के लिए,$n = 5$ लेने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{9}{400} \right) \Rightarrow \lambda_2 = \frac{400}{9R}$
अब,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36}{5R} \times \frac{9R}{400} = \frac{324}{2000} = 0.162$

(A) बामर श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ और $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी के लिए,$n = 2$ कक्षा में संक्रमण श्रेणी को परिभाषित करता है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा $n = 3$ से $n = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा $n = 4$ से $n = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
इसलिए,चौथी बोहर कक्षा से दूसरी बोहर कक्षा में संक्रमण बामर श्रेणी की दूसरी रेखा को दर्शाता है।

(A) समांतर प्लेट वायु संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है, $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को घटाकर $d_1 = \frac{d}{4}$ कर दिया जाता है और उनके बीच $K = 2$ परावैद्युतांक वाला माध्यम भर दिया जाता है, तो नई धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d_1}$ हो जाती है।
समीकरण में $d_1 = \frac{d}{4}$ और $K = 2$ रखने पर:
$C = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d/4} = 8 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 8 C_0$.
दिया गया है कि $C_0 = 4 \mu F$, अतः नई धारिता $C = 8 \times 4 \mu F = 32 \mu F$ होगी।

(D) माना समांतर क्रम में $n$ संधारित्र हैं,प्रत्येक की धारिता $C = 2 \mu F$ है। इस समांतर शाखा की तुल्य धारिता $C_p = nC = 2n \mu F$ है।
माना ऐसी $m$ शाखाएं श्रेणी क्रम में जुड़ी हैं। कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_p}{m} = \frac{2n}{m}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $C_{eq} = \frac{10}{11} \mu F$ दिया गया है और संधारित्रों की कुल संख्या $n \times m = 7$ है।
समीकरण $\frac{2n}{m} = \frac{10}{11}$ से,हमें $\frac{n}{m} = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$5$ संधारित्रों को समांतर में और $2$ को श्रेणी में जोड़ने पर परिणामी धारिता $\frac{10}{11} \mu F$ प्राप्त होती है।

(A) एक आवृत्ति मॉडुलित तरंग में,केवल वाहक तरंग (carrier wave) की आवृत्ति मॉडुलन संकेत (modulating signal) के तात्कालिक आयाम के अनुसार समय के साथ बदलती है,जबकि वाहक तरंग का आयाम स्थिर रहता है।
इस तरंग को दी गई छवि द्वारा दर्शाया गया है।
आवृत्ति मॉडुलन का उपयोग $FM$ प्रसारण,टेलीमेट्री और $RADAR$ प्रणालियों में व्यापक रूप से किया जाता है।

(B) आयनमंडल में विभिन्न परतें $(D, E, F_1, F_2)$ होती हैं।
आयनमंडल की $E$ परत मध्यम-आवृत्ति वाली रेडियो तरंगों को परावर्तित करने के लिए जिम्मेदार है।
यह परत दिन के समय सौर विकिरण के कारण होने वाले आयनीकरण के कारण बनती है।
रात में,आयनीकरण का स्रोत (सौर विकिरण) अनुपस्थित होता है,जिससे $E$ परत गायब हो जाती है या अप्रभावी हो जाती है।
इसलिए,$E$ परत सही उत्तर है।

(A) एम्प्लिट्यूड मॉड्यूलेशन में,मॉड्यूलेशन इंडेक्स को $\mu = \frac{A_m}{A_c}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $\mu > 1$ होता है,तो मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का आयाम कैरियर तरंग के आयाम से अधिक हो जाता है,जिससे ओवर-मॉड्यूलेशन की स्थिति उत्पन्न होती है।
ओवर-मॉड्यूलेशन के कारण कैरियर तरंग का लिफाफा (envelope) विकृत (distorted) हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप सूचना का नुकसान होता है।
इसलिए,डिस्टॉर्शन से बचने के लिए,$\frac{A_m}{A_c}$ (मॉड्यूलेशन इंडेक्स) के अनुपात को $1$ से कम या उसके बराबर रखा जाता है।

(A) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k = \frac{V}{L_{total}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L_{total}$ तार की कुल लंबाई है।
$E$ emf वाले सेल के लिए,संतुलन लंबाई $l$ का मान $E = k \cdot l = \frac{V}{L} \cdot l$ होता है।
प्रारंभ में,$l_1 = \frac{L}{3}$,इसलिए $E = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{3} = \frac{V}{3}$.
जब तार की लंबाई $50 \%$ बढ़ाई जाती है,तो नई लंबाई $L' = L + 0.5L = 1.5L = \frac{3L}{2}$ हो जाती है।
तार के सिरों पर विभवांतर $V$ समान रहता है क्योंकि स्रोत वोल्टेज स्थिर है।
नई विभव प्रवणता $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{1.5L} = \frac{V}{1.5L}$ है।
उसी सेल $E$ के लिए,नई संतुलन लंबाई $l_2$ का मान $E = k' \cdot l_2$ है।
मान रखने पर: $\frac{V}{3} = \frac{V}{1.5L} \cdot l_2$.
$l_2$ के लिए हल करने पर: $l_2 = \frac{1.5L}{3} = 0.5L = \frac{L}{2}$।

(B) एमीटर की रेंज बढ़ाने के लिए,गैल्वेनोमीटर (प्रतिरोध $G$) के साथ समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाना चाहिए।
मान लीजिए $I_g$ गैल्वेनोमीटर के पूर्ण पैमाने के विक्षेप के लिए धारा है।
रेंज को $I_g$ से $I$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध का सूत्र $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ है।
यहाँ रेंज को $I_g = I$ से $I' = nI$ तक बढ़ाया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$S = \frac{I G}{nI - I} = \frac{I G}{I(n - 1)} = \frac{G}{n - 1} \Omega$.
अतः,$\frac{G}{n-1} \Omega$ का शंट समानांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(D) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 100 \Omega$,पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $i_g = 10 \text{ mA} = 10 \times 10^{-3} \text{ A}$,और वांछित वोल्टेज रेंज $V = 50 \text{ V}$ है।
गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
वोल्टमीटर की रेंज का सूत्र $V = i_g(G + R)$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $50 = 10 \times 10^{-3} \times (100 + R)$.
$50 / (10 \times 10^{-3}) = 100 + R$.
$5000 = 100 + R$.
$R = 5000 - 100 = 4900 \Omega$.

(C) चल कुंडली गैल्वेनोमीटर में,कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका परिमाण $\tau = MB \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि टॉर्क हमेशा धारा के समानुपाती रहे,हमें $\sin \theta = 1$ की आवश्यकता होती है,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$।
अवतल आकार के ध्रुव टुकड़ों वाले शक्तिशाली नाल चुंबक का उपयोग करके,चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को त्रिज्यीय (radial) बनाया जाता है।
त्रिज्यीय चुंबकीय क्षेत्र में,कुंडली का तल किसी भी स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के समानांतर रहता है,जिससे हर समय $\theta = 90^{\circ}$ सुनिश्चित होता है।

(B) दिया गया है,ट्रांसफार्मर को आपूर्ति किया गया इनपुट वोल्टेज,$V_1 = 220 V$.
आउटपुट वोल्टेज,$V_2 = 440 V$.
आउटपुट धारा,$i_2 = 2.0 A$.
दक्षता (आउटपुट शक्ति और इनपुट शक्ति का अनुपात) $\eta = \frac{P_2}{P_1} = 0.8$ है।
हम जानते हैं कि $P_2 = V_2 \times i_2$ और $P_1 = V_1 \times i_1$.
मान रखने पर: $\frac{V_2 \times i_2}{V_1 \times i_1} = 0.8$.
$\frac{440 \times 2.0}{220 \times i_1} = 0.8$.
$2 \times 2.0 = 0.8 \times i_1$.
$4.0 = 0.8 \times i_1$.
$i_1 = \frac{4.0}{0.8} = 5.0 A$.
अतः,प्राथमिक वाइंडिंग द्वारा खींची गई धारा $5.0 A$ है।

(C) दिए गए परिपथ का विश्लेषण विभिन्न लूपों में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करके किया जा सकता है।
मान लीजिए कि नोड्स को आरेख में दिखाए अनुसार लेबल किया गया है।
ऊपरी लूप (जिसमें $E_1$,$r_1$ और $R$ हैं) में $KVL$ लागू करने पर:
नोड $E$ से शुरू करके $F, B, A$ के माध्यम से वापस $E$ तक जाने पर:
शाखा $EF$ (जिसमें $E_1$ और $r_1$ हैं) से गुजरते समय: विभव में परिवर्तन $+E_1 - i_1 r_1$ होता है।
शाखा $AB$ (जिसमें $R$ है) से गुजरते समय: विभव में परिवर्तन $-(i_1+i_2)R$ होता है।
इन विभव परिवर्तनों का योग शून्य करने पर: $E_1 - i_1 r_1 - (i_1+i_2)R = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $E_1 - (i_1+i_2)R - i_1 r_1 = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यह विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,वोल्टेज $(V)$ और धारा $(i)$ का अनुपात प्रतिरोध $(R)$ के बराबर होता है: $\frac{V}{i} = R$।
एक धात्विक तार के लिए,प्रतिरोध तापमान पर इस संबंध के अनुसार निर्भर करता है: $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$,जहाँ $\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है।
धातुओं के लिए,$\alpha$ धनात्मक होता है।
इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,धात्विक तार का प्रतिरोध $(R)$ बढ़ता है।
चूंकि $\frac{V}{i} = R$,इसलिए वोल्टेज और धारा का अनुपात भी तापमान बढ़ने के साथ बढ़ता है।

(B) दिए गए परिपथ आरेख में,गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि बिंदु $A$ और $B$ पर विभव समान हैं,अर्थात $V_A = V_B$ है।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच विभवांतर शून्य है,इसलिए गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
जब सेल को $2E$ emf और $3r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले एक नए सेल से बदल दिया जाता है,तो मुख्य परिपथ में कुल धारा बदल जाती है,लेकिन $A$ और $B$ पर विभव का अनुपात समान रहता है क्योंकि ब्रिज संतुलन की शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ केवल प्रतिरोधों $R_1, R_2, R_3$ और $R_4$ पर निर्भर करती है,न कि स्रोत के emf या आंतरिक प्रतिरोध पर।
इसलिए,$V_A = V_B$ की स्थिति अभी भी बनी रहती है,और गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दिखाना जारी रखेगा।

(A) यह परिपथ दो शाखाओं का समानांतर संयोजन है। ऊपरी शाखा में $5\Omega$ और $1\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,और निचली शाखा में $50\Omega$ और $10\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। गैल्वेनोमीटर $G$ को मध्य बिंदुओं के बीच जोड़ा गया है। प्रतिरोधों का अनुपात जाँचने पर: $\frac{5}{50} = \frac{1}{10}$। चूँकि अनुपात समान है,व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित है और गैल्वेनोमीटर $G$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक का कुल प्रतिरोध $R_1 = 5\Omega + 1\Omega = 6\Omega$ और दूसरी का कुल प्रतिरोध $R_2 = 50\Omega + 10\Omega = 60\Omega$ है।
कुल धारा $I = 1.1A$ इन दो शाखाओं में विभाजित हो जाती है। करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए,ऊपरी शाखा ($1\Omega$ प्रतिरोधक वाली) में धारा $I_1$ है:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{6 + 60}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{66}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{10}{11} = 0.1 \times 10 = 1A$.

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} mv^{2}$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $V_{s}$ पर,मंदक विभव द्वारा किया गया कार्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है,इसलिए $eV_{s} = \frac{1}{2} mv^{2}$।
$V_{s}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_{s} = \frac{1}{2} \frac{m}{e} v^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{m}{e} = \frac{1}{(e/m)}$,हम लिख सकते हैं $V_{s} = \frac{v^{2}}{2(e/m)}$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(\frac{V}{3}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{eV}{eV/3} = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3(\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) निरोधी विभव $(V_0)$ वह न्यूनतम ऋणात्मक विभव है जो एनोड पर कैथोड के सापेक्ष लगाया जाता है, जो सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटोइलेक्ट्रॉन को भी कलेक्टर तक पहुँचने से रोकता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, जहाँ $K_{max} = eV_0$ है।
अतः, $eV_0 = h\nu - \Phi_0$, जिसका अर्थ है $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि निरोधी विभव $(V_0)$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति ($\nu$) का एक रैखिक फलन है।
इसलिए, निरोधी विभव आपतित प्रकाश की आवृत्ति के सीधे समानुपाती होता है (देहली आवृत्ति से अधिक होने पर)।

(D) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $KE_{\text{max}} = h(v - v_0)$ ... $(i)$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
समीकरण $(i)$ से यह स्पष्ट है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\text{max}})$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करती है।
यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र है।
इसलिए,यदि तीव्रता को उसके मूल मान का एक-चौथाई कर दिया जाता है,तो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार है:
$K = hv - W_0$ --- $(1)$
जब विकिरण की आवृत्ति दोगुनी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति $2v$ हो जाती है। नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'$ है:
$K' = h(2v) - W_0$
$K' = 2hv - W_0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $hv = K + W_0$ है। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$K' = 2(K + W_0) - W_0$
$K' = 2K + 2W_0 - W_0$
$K' = 2K + W_0$
वैकल्पिक रूप से,अंतर विधि का उपयोग करते हुए:
$K' - K = (2hv - W_0) - (hv - W_0) = hv$
$K' = K + hv$

(A) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 0.01 \ H$,धारा $I = 5 \sin(200 \pi t)$.
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f.: $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$.
धारा का समीकरण रखने पर:
$\varepsilon = -0.01 \cdot \frac{d}{dt} [5 \sin(200 \pi t)]$
$\varepsilon = -0.01 \cdot 5 \cdot 200 \pi \cdot \cos(200 \pi t)$
$\varepsilon = -10 \pi \cos(200 \pi t)$.
प्रेरित e.m.f. का अधिकतम मान कोसाइन पद के गुणांक का परिमाण है:
$\varepsilon_{max} = | -10 \pi | = 10 \pi \ V$.

(D) एक ध्रुवीय अणु वह अणु है जिसमें ध्रुवीय बंध होते हैं,जहाँ सभी बंधों के द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moments) का सदिश योग शून्य नहीं होता है।
$H_2O$ के मामले में,बंध एक कोण पर झुके होते हैं (बेंट ज्यामिति),इसलिए शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण शून्य नहीं होता है।
अतः,$H_2O$ एक ध्रुवीय अणु है।
इसके विपरीत,$H_2$ और $O_2$ के लिए,अणु समनाभिकीय (homonuclear) और अध्रुवीय होते हैं।
$CO_2$ के लिए,अणु रैखिक होता है,और दो $C=O$ बंध द्विध्रुव परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण शून्य हो जाता है।

(C) निर्वात में एक आवेशित चालक की सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E_0 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है।
जब चालक को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 K} = \frac{E_0}{K}$ हो जाता है।
यहाँ $E_0 = 10^3 \ V/m$ और $K = 4$ दिया गया है।
अतः,$E = \frac{10^3}{4} \ V/m = 250 \ V/m$।

(C) जब एक धारावाही कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$
जहाँ $\vec{M}$ कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चुंबकीय आघूर्ण को $\vec{M} = n i \vec{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
इस मान को टॉर्क के समीकरण में रखने पर:
$\vec{\tau} = (n i \vec{A}) \times \vec{B}$
$\vec{\tau} = n i (\vec{A} \times \vec{B})$
अतः,टॉर्क का परिमाण और दिशा क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं।

(D) मान लीजिए धातु के तार की लंबाई $l$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिधि $2\pi r = l$ होती है,इसलिए $r = \frac{l}{2\pi}$।
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \frac{l^2}{4\pi}$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_c = i A_c = \frac{i l^2}{4\pi}$ है।
जब तार को वर्गाकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिमाप $4a = l$ होता है,इसलिए भुजा की लंबाई $a = \frac{l}{4}$ है।
वर्गाकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_s = a^2 = \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{l^2}{16}$ है।
वर्गाकार कुंडली के लिए चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_s = i A_s = \frac{i l^2}{16}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का अनुपात $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4\pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4\pi} = \frac{4}{\pi}$ है।

(C) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ को ध्रुव की प्रबलता $(m)$ और द्विध्रुव की चुंबकीय लंबाई $(2l)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $M = m \times 2l$।
यह गुण चुंबक की अपनी आंतरिक विशेषता है।
यह उस बिंदु की स्थिति या दूरी पर निर्भर नहीं करता है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र मापा जा रहा है।
इसलिए,बिंदु और चुंबक के बीच की दूरी बदलने से चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण $X$ ही रहेगा।

(A) वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र $O$ पर चुंबकीय प्रेरण $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2 r}$ (कागज के तल के अंदर की दिशा में) द्वारा दिया जाता है।
सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर स्थित केंद्र $O$ पर चुंबकीय प्रेरण $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{i}{r}$ (कागज के तल के बाहर की दिशा में) द्वारा दिया जाता है।
$O$ पर कुल चुंबकीय प्रेरण इन दो परिमाणों का अंतर है:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 r} - \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left[1 - \frac{1}{\pi}\right]$

(A) केबल से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I_{\text{net}}$ व्यक्तिगत तारों में धाराओं का बीजगणितीय योग है:
$I_{\text{net}} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6$
$I_{\text{net}} = 10 - 13 + 10 + 7 - 12 + 18 = 20 \text{ A}$
एक लंबे सीधे तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I_{\text{net}}}{2\pi r}$
यहाँ $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ है:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 20}{2\pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20}{0.1}$
$B = 400 \times 10^{-7} \text{ T} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$
$B = 40 \mu\text{T}$

(C) दिया गया है: फेरों की संख्या,$n = 100$,कुंडली की त्रिज्या,$r = 9 \ cm = 9 \times 10^{-2} \ m$,और कुंडली में प्रवाहित धारा,$I = 0.4 \ A$।
$n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.4}{2 \times 9 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times 40}{18 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{502.4 \times 10^{-7}}{18 \times 10^{-2}}$
$B \approx 27.91 \times 10^{-5} \ T = 2.79 \times 10^{-4} \ T$।

(B) एक वृत्ताकार धारा लूप की अक्ष पर बड़ी दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र,एक चुंबकीय द्विध्रुव के क्षेत्र के समान होता है।
$n$ फेरों,$A$ क्षेत्रफल और $I$ धारा वाली कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = n I A$ होता है।
$r$ दूरी पर द्विध्रुव की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 M}{r^3}$ है।
इस सूत्र में $M = n I A$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 n I A}{r^3}$.

(C) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $\vec{L}$,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है। एक वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,$\vec{L}$ कक्षा के तल के लंबवत (दाएं हाथ के नियम का पालन करते हुए,ऊपर की ओर) निर्देशित होता है।
कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ का कक्षीय कोणीय संवेग $\vec{L}$ के साथ संबंध $\vec{M} = -\frac{e}{2m} \vec{L}$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$,कक्षीय कोणीय संवेग $\vec{L}$ की विपरीत दिशा में है।
चूंकि $\vec{M}$ और $\vec{L}$ विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ है।

(C) जब दो समानांतर चालक एक ही दिशा में $i_1$ और $i_2$ धारा प्रवाहित करते हैं,तो पहले चालक द्वारा दूसरे चालक के स्थान पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
लोरेंत्ज़ बल के नियम के अनुसार,दूसरे चालक पर प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $F = i_2 l B_1 \sin(90^\circ) = i_2 l \left( \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d} \right)$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरे चालक पर बल की दिशा पहले चालक की ओर होती है।
इसी प्रकार,पहले चालक पर लगने वाला बल दूसरे चालक की ओर होता है।
अतः,दोनों चालक एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ सूत्र $\mu = IA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ '$I$' धारा है और '$A$' लूप का क्षेत्रफल है।
'$r$' त्रिज्या की कक्षा में '$v$' चाल से घूम रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,आवर्तकाल '$T$' का मान $T = \frac{2\pi r}{v}$ होता है।
तुल्य धारा '$I$' का मान $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$\mu = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.

(D) साइक्लोट्रॉन में आवेशित कण द्वारा प्राप्त अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_K$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E_K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$
जहाँ,
$q$ कण का आवेश है,
$B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,
$R$ कक्षा की अधिकतम त्रिज्या (डीज की त्रिज्या) है,
और $m$ कण का द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $E_K$,$q$,$B$,$R$ और $m$ पर निर्भर करता है।
हालाँकि,$E_K$ परिक्रमण की आवृत्ति $(f = \frac{qB}{2\pi m})$ पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि आवृत्ति साइक्लोट्रॉन अनुनाद की स्थिति द्वारा निर्धारित होती है और यह कण की ऊर्जा या पथ की त्रिज्या से स्वतंत्र होती है।

(C) दिया गया है: चुम्बकीय क्षेत्र,$H = 5000 \ A/m$.
चुम्बकीय फ्लक्स,$\phi = 4 \times 10^{-5} \ Wb$.
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 0.4 \ cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \ m^2 = 4 \times 10^{-5} \ m^2$.
चुम्बकीय फ्लक्स घनत्व $B = \frac{\phi}{A}$ द्वारा प्राप्त होता है।
पारगम्यता $\mu$ को $\mu = \frac{B}{H} = \frac{\phi}{A \cdot H}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर:
$\mu = \frac{4 \times 10^{-5}}{4 \times 10^{-5} \times 5000} = \frac{1}{5000} = 0.0002 = 2 \times 10^{-4} \ Wb/(A \cdot m)$.

(B) मुख्य विचार: अनुचुंबकीय पदार्थ के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति छोटी और धनात्मक होती है,क्योंकि जब उन्हें बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है तो वे दुर्बल रूप से चुंबकित हो जाते हैं।
किसी पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति,जिसे $\chi_m$ द्वारा दर्शाया जाता है,यह दर्शाती है कि कोई पदार्थ कितनी आसानी से चुंबकित हो सकता है। इसे चुंबकन की तीव्रता $(I)$ और लागू क्षेत्र की चुंबकीय तीव्रता $(H)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\chi_m = \frac{I}{H}$
अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए,$I$ का मान छोटा होता है और यह $H$ की दिशा में ही होता है,जिसके परिणामस्वरूप $\chi_m$ का मान छोटा और धनात्मक प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $a = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$,
चुंबकीय आघूर्ण $M = 1 \ A \cdot m^2$.
चुंबकन $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$I = \frac{M}{V}$
जहाँ $V$ छड़ चुंबक का आयतन है,$V = a \times l$.
मान रखने पर:
$V = (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times (5 \times 10^{-2} \ m) = 10 \times 10^{-6} \ m^3 = 10^{-5} \ m^3$.
अब,चुंबकन $I$ की गणना करने पर:
$I = \frac{1 \ A \cdot m^2}{10^{-5} \ m^3} = 10^5 \ A/m$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(B) दिया गया है कि उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = f$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -f$ है।
जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \left( -\frac{1}{f} \right)$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0$
चूंकि $\frac{1}{F} = 0$ है,इसका अर्थ है कि $F = \infty$ है।
अतः,संयोजन की तुल्य फोकस दूरी अनंत है।

(B) हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu$ दिया गया है।
कांच से हवा में जाने वाली प्रकाश की किरण के लिए क्रांतिक कोण $\theta$ है।
क्रांतिक कोण की परिभाषा के अनुसार,$\mu = \frac{1}{\sin \theta}$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$।
अब,मान लीजिए कि प्रकाश की एक किरण हवा से कांच की सतह पर $i = \theta$ आपतन कोण पर आपतित होती है।
माना $r$ कांच में संबंधित अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम को लागू करने पर: $n_1 \sin i = n_2 \sin r$।
यहाँ,$n_1 = 1$ (हवा) और $n_2 = \mu$ (कांच) है।
$1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$।
समीकरण में $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ रखने पर:
$\frac{1}{\mu} = \mu \cdot \sin r$।
$\sin r = \frac{1}{\mu^2}$।
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}(\frac{1}{\mu^2})$ होगा।

(B) अपवर्तनांक '$n$' और वक्रता त्रिज्या '$R$' वाले एक सम-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत और प्रकाशिक केंद्र से काटा जाता है,तो प्रत्येक आधा भाग एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है,जिसमें एक सतह की त्रिज्या '$R$' होती है और दूसरी सतह समतल (त्रिज्या = $\infty$) होती है।
नई फोकस दूरी '$f^{\prime}$' वाले लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f^{\prime}} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} \right)$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{f^{\prime}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$
अतः,$f^{\prime} = 2f$.

(B) समानांतर किरणों के लिए समायोजित दूरबीन (अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर) के लिए,आवर्धन क्षमता $m$ इस प्रकार दी जाती है:
$m = \frac{f_o}{f_e} = 9$
जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
इससे हमें प्राप्त होता है $f_o = 9f_e$ ... $(i)$
समानांतर किरणों के लिए अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी:
$L = f_o + f_e = 20 \ cm$
समीकरण $(i)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$9f_e + f_e = 20 \ cm$
$10f_e = 20 \ cm$
$f_e = 2 \ cm$
अब,$f_o$ की गणना करने पर:
$f_o = 9 \times 2 \ cm = 18 \ cm$
अतः,फोकस दूरियाँ $18 \ cm$ और $2 \ cm$ हैं।

(D) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता का सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता अभिदृश्यक लेंस के व्यास के सीधे आनुपातिक होती है $(RP \propto D)$।
इसलिए,यदि दूरदर्शी के अभिदृश्यक का व्यास बड़ा है,तो इसकी विभेदन क्षमता अधिक होगी।