$Z=5x+4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જે નીચેની શરતોને આધીન છે: $y \leq 2x$,$x \leq 2y$,$x+y \leq 3$,$x \geq 0$,$y \geq 0$.

એક માણસ તેની મોટરસાઇકલ $50 \, km/h$ ની ઝડપે ચલાવે છે. તેણે પેટ્રોલ પર પ્રતિ $km \, Rs. \, 2$ ખર્ચવા પડે છે. જો તે $80 \, km/h$ ની ઝડપે ચલાવે,તો પેટ્રોલનો ખર્ચ વધીને પ્રતિ $km \, Rs. \, 3$ થાય છે. તેની પાસે પેટ્રોલ માટે વધુમાં વધુ $Rs. \, 120$ અને એક કલાકનો સમય છે. તે મુસાફરી કરી શકે તેવું મહત્તમ અંતર શોધવા માંગે છે. આ સમસ્યાને સુરેખ આયોજન (Linear Programming) સમસ્યા તરીકે દર્શાવો.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા $Z = 3x_{1} + 5x_{2}$ ને મહત્તમ બનાવવાની સમસ્યા,જેની શરતો $3x_{1} + 2x_{2} \leq 18$,$x_{1} \leq 4$,$x_{2} \leq 6$,$x_{1} \geq 0$,$x_{2} \geq 0$ છે,તેનો ઉકેલ શોધો:

બે ફેક્ટરીઓ $P$ અને $Q$ સ્થાને આવેલી છે. આ સ્થાનો પરથી,એક ચોક્કસ વસ્તુ $A, B$ અને $C$ પર આવેલા ત્રણ ડેપોમાં પહોંચાડવાની છે. ડેપોની સાપ્તાહિક જરૂરિયાત અનુક્રમે $5, 5$ અને $4$ એકમો છે,જ્યારે $P$ અને $Q$ ફેક્ટરીઓની ઉત્પાદન ક્ષમતા અનુક્રમે $8$ અને $6$ એકમો છે. પ્રતિ એકમ પરિવહન ખર્ચ નીચે મુજબ છે:

થી/સુધી	$A$	$B$	$C$
$P$	$160$	$100$	$150$
$Q$	$100$	$120$	$100$

પરિવહન ખર્ચ ન્યૂનતમ રહે તે માટે દરેક ફેક્ટરીમાંથી દરેક ડેપોમાં કેટલા એકમો મોકલવા જોઈએ? ન્યૂનતમ પરિવહન ખર્ચ કેટલો થશે?

એક ફેક્ટરી બે પ્રકારના સ્ક્રૂ, $A$ અને $B$ બનાવે છે. દરેક પ્રકારના સ્ક્રૂ માટે બે મશીનોનો ઉપયોગ જરૂરી છે, એક ઓટોમેટિક અને એક હાથથી ચાલતું. સ્ક્રૂ $A$ નું એક પેકેજ બનાવવા માટે ઓટોમેટિક મશીન પર $4 \, \text{મિનિટ}$ અને હાથથી ચાલતા મશીન પર $6 \, \text{મિનિટ}$ લાગે છે, જ્યારે સ્ક્રૂ $B$ નું એક પેકેજ બનાવવા માટે ઓટોમેટિક મશીન પર $6 \, \text{મિનિટ}$ અને હાથથી ચાલતા મશીન પર $3 \, \text{મિનિટ}$ લાગે છે. દરેક મશીન કોઈપણ દિવસે વધુમાં વધુ $4 \, \text{કલાક}$ માટે ઉપલબ્ધ છે. ઉત્પાદક સ્ક્રૂ $A$ ના પેકેજ પર $Rs. \, 7$ અને સ્ક્રૂ $B$ ના પેકેજ પર $Rs. \, 10$ નો નફો મેળવી શકે છે. તે જે પણ સ્ક્રૂ બનાવે છે તે બધા વેચી શકે છે તેમ માનીને, ફેક્ટરીના માલિકે તેનો નફો મહત્તમ કરવા માટે દિવસમાં દરેક પ્રકારના કેટલા પેકેજ બનાવવા જોઈએ? મહત્તમ નફો નક્કી કરો.

નીચે આપેલી આકૃતિમાં છાયાંકિત વિસ્તાર એ અસમતાઓનો ઉકેલ ગણ છે. આ અસમતાઓ દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખીય પ્રતિબંધોને આધીન હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 5y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.