MHT CET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,અથડામણ પહેલાની કુલ ગતિઊર્જા એ અથડામણ પછીની કુલ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બીજા બ્લોકની ઝડપ $v_2$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(0)^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$.
$KE_i = KE_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\frac{1}{2}m$ વડે ભાગતા:
$v^2 = v_1^2 + v_2^2$
$v_2^2 = v^2 - v_1^2$
$v_2 = \sqrt{v^2 - v_1^2}$.

(D) કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_i = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $v = \omega r = 2 \pi f r$ હોવાથી,$E_i = \frac{1}{2} m (2 \pi f_1 r_1)^2 = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$ મળે છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી $(r_2 = 2 r_1)$ અને આવૃત્તિ બમણી $(f_2 = 2 f_1)$ કરવામાં આવે,ત્યારે અંતિમ ગતિઊર્જા $E_f$ નીચે મુજબ થશે:
$E_f = 2 \pi^2 m (r_2)^2 (f_2)^2 = 2 \pi^2 m (2 r_1)^2 (2 f_1)^2$.
$E_f = 2 \pi^2 m (4 r_1^2) (4 f_1^2) = 32 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$.
$E_i = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$ હોવાથી,આપણે $E_f = 16 E_i$ લખી શકીએ.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_f - E_i = 16 E_i - E_i = 15 E_i$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,પૃથ્વીની સપાટીથી કાણાના તળિયાનું અંતર $d = \frac{R_e}{2}$ છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 300 \ N$ છે.
સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{d}{R_e})$ છે.
સૂત્રમાં $d = \frac{R_e}{2}$ મૂકતા:
$g' = g(1 - \frac{R_e/2}{R_e}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
કાણાના તળિયે પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ થશે.
$mg = 300 \ N$ કિંમત મૂકતા:
$W' = \frac{300}{2} = 150 \ N$.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $\lambda$ અક્ષાંશ પરના બિંદુ $P$ પર દોરી વડે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે પદાર્થ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે. પદાર્થ પર લાગતું અસરકારક બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળનો તફાવત છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = mg - mr\omega^2 \cos \lambda$
અહીં $g = \frac{GM}{R^2}$ અને $\lambda$ અક્ષાંશ પર વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = R \cos \lambda$ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = m \left( \frac{GM}{R^2} \right) - m(R \cos \lambda) \omega^2 \cos \lambda$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 \cos^2 \lambda$
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^{\circ}$ હોય છે.
$\lambda = 0^{\circ}$ અને $\cos 0^{\circ} = 1$ મૂકતા:
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 (1)^2$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2$

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી ઉપગ્રહને લોન્ચ કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા એ સપાટીથી અંતિમ ઊંચાઈ સુધી જતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે.
સપાટી પર પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $(r_1 = R)$: $U_i = -\frac{G M m}{R}$
$h = 2R$ ઊંચાઈ પર અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $(r_2 = R + 2R = 3R)$: $U_f = -\frac{G M m}{3R}$
જરૂરી ઉર્જા $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = -\frac{G M m}{3R} - (-\frac{G M m}{R})$
$\Delta U = G M m (\frac{1}{R} - \frac{1}{3R})$
$\Delta U = G M m (\frac{3-1}{3R}) = \frac{2 G M m}{3 R}$

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે. નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ (જ્યાં અંતિમ વેગ $0$ છે) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R} = \frac{GM}{2R}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R + h$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{G M m}{2r}$ છે.
અહીં ઊંચાઈ $h = 3R$ આપેલ છે,તેથી ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + 3R = 4R$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $K.E. = \frac{G M m}{2(4R)} = \frac{G M m}{8R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $G M = g R^2$.
હવે $G M = g R^2$ ને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K.E. = \frac{(g R^2) m}{8R} = \frac{m g R}{8}$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ સંરક્ષી બળ ક્ષેત્ર છે.
સંરક્ષી બળ ક્ષેત્રમાં,કણને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત નથી.
તે માત્ર કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
ત્રણેય માર્ગો $(1, 2, 3)$ બિંદુ $A$ થી શરૂ થાય છે અને બિંદુ $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી દરેક માર્ગ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_1 = W_2 = W_3$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \left(1 + \frac{f}{2}\right)R$ છે અને અચળ કદે $C_v = \frac{f}{2}R$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2}{f} = \gamma - 1$,અથવા $\frac{f}{2} = \frac{1}{\gamma - 1}$.
આ કિંમતને $C_p$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$C_p = \left(1 + \frac{1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \left(\frac{\gamma - 1 + 1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.

(A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા છે.
$\mu = \frac{\text{આપેલ દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{m}{M}$.
અહીં,$m = 2 \ g$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,$M = 32 \ g/mol$ છે.
આ કિંમતોને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PV = \left( \frac{2}{32} \right) RT$.
$PV = \frac{1}{16} RT$.

(C) ઓક્સિજનના અણુ $(O_2)$ ની rms ઝડપ $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ $O_2$ નું આણ્વીય દળ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય $(T' = 2T)$ અને અણુનું બે પરમાણુઓમાં વિઘટન થાય,ત્યારે ઓક્સિજન પરમાણુનું આણ્વીય દળ $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
નવી rms ઝડપ $u'$ એ $u' = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $u' = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ મળે છે.
કારણ કે $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,તેથી $u' = 2u$ થાય છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ તેની સ્થિર સ્થિતિ અથવા સુરેખ પથ પર સમાન વેગની સ્થિતિ જાળવી રાખે છે.
વિમાન પર લાગતા તમામ બળો સંતુલિત હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ $(F_{net})$ $0 \ N$ છે.
તેથી,વિમાન તેના વેગમાં કે દિશામાં કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના $150 \ m/s$ ના સમાન વેગથી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(B) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પથ્થર પર લાગતા બળો તણાવ $(T_{top})$ અને વજનબળ $(mg)$ છે,જે બંને નીચેની તરફ લાગે છે. કેન્દ્રગામી બળ તેમના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$T_{top} + mg = \frac{mv^2}{R}$
$T_{top} = \frac{mv^2}{R} - mg = \frac{1 \times (40)^2}{2} - (1 \times 10) = 800 - 10 = 790 \ N$
શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચેના બિંદુએ,તણાવ $(T_{bot})$ ઉપરની તરફ અને વજનબળ $(mg)$ નીચેની તરફ લાગે છે. પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_{bot} - mg = \frac{mv^2}{R}$
$T_{bot} = \frac{mv^2}{R} + mg = \frac{1 \times (40)^2}{2} + (1 \times 10) = 800 + 10 = 810 \ N$
ઉપરના અને નીચેના બિંદુએ તણાવનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_{top}}{T_{bot}} = \frac{790}{810} = \frac{79}{81}$

(D) પ્રશ્ન મુજબ,સદિશ $P$ અને $Q$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$P = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$
$Q = -6 \hat{i}$
હવે,સદિશ $(Q - P)$ ની ગણતરી કરીએ:
$Q - P = (-6 \hat{i}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$Q - P = -6 \hat{i} - 2 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$Q - P = -8 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$-4$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$Q - P = -4(2 \hat{i} + \hat{j})$

(C) ધારો કે $\vec{P} = \vec{A} + \vec{B}$ અને $\vec{Q} = \vec{A} - \vec{B}$.
પરિણામી સદિશ $|\vec{R}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2|\vec{P}||\vec{Q}| \cos \phi$.
આપેલ છે કે $|\vec{R}|^2 = A^2 + B^2$.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,ગણતરી કરતા:
$A^2+B^2 = (A+B)^2 + (A-B)^2 + 2(A+B)(A-B) \cos \theta$.
$A^2+B^2 = 2(A^2+B^2) + 2(A^2-B^2) \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}$.
આમ,$\theta = \cos ^{-1}\left[\frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}\right]$.

(A) આપેલ છે કે સદિશો $(A + B)$ અને $(A - B)$ એકબીજાને કાટખૂણે છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(A + B) \cdot (A - B) = 0$
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B = 0$
ડોટ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(A \cdot B = B \cdot A)$,તેથી $-A \cdot B$ અને $B \cdot A$ પદો ઉડી જશે.
$|A|^2 - |B|^2 = 0$
$|A|^2 = |B|^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$|A| = |B|$
આમ,શરત એ છે કે બંને સદિશોના માન સમાન હોવા જોઈએ.

(C) ધારો કે બે સદિશો $P$ અને $Q$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
અહીં,$Q_P$ એ સદિશ $P$ ની દિશામાં સદિશ $Q$ નો ઘટક છે.
$Q$ નો $P$ પરના પ્રક્ષેપ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,આપણને મળે છે:
$\cos \theta = \frac{Q_P}{Q}$
$\Rightarrow Q_P = Q \cos \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $P \cdot Q = PQ \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{P \cdot Q}{PQ}$.
આ કિંમતને $Q_P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Q_P = Q \left( \frac{P \cdot Q}{PQ} \right)$
$Q_P = \frac{P \cdot Q}{P}$
આમ,$P$ ની દિશામાં $Q$ નો ઘટક $\frac{P \cdot Q}{P}$ છે.

(B) બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{s}$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ અદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$.
આપેલ છે,$\vec{F} = -5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\vec{s} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$14 = (-5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k})$
$14 = (-5)(3) + (-7)(-2) + (3)(a)$
$14 = -15 + 14 + 3a$
$14 = -1 + 3a$
$15 = 3a$
$a = 5$.

(D) ધારો કે $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ એ $\vec{P}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{R}$ અને $\vec{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
પરિણામી સદિશની દિશા માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ $\vec{R}$ અને $\vec{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\alpha = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 90^{\circ}$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$P + Q \cos \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{P}{Q} \dots (1)$
આપેલ છે કે $|\vec{P}| = |\vec{R}|$,તેથી આપણે માનનું સૂત્ર $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ વાપરીએ.
$R = P$ મૂકતા:
$P^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$0 = Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$Q^2 = -2PQ \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{Q}{2P} \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$-\frac{P}{Q} = -\frac{Q}{2P} \Rightarrow Q^2 = 2P^2 \Rightarrow Q = \sqrt{2}P$.
$Q = \sqrt{2}P$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\cos \theta = -\frac{P}{\sqrt{2}P} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 135^{\circ} = \frac{3 \pi}{4}$ રેડિયન.

(D) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીના સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
જ્યારે બે લટકાવેલા દડાઓ વચ્ચેની જગ્યામાંથી હવાના પ્રવાહને ફૂંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્તારમાં હવાનો વેગ વધે છે.
જેમ વેગ વધે છે,તેમ તે વિસ્તારમાં દબાણ દડાઓની બહારની બાજુએ રહેલા વાતાવરણીય દબાણની સરખામણીમાં ઘટે છે.
આ દબાણનો તફાવત દડાઓ પર ચોખ્ખું બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે તેમને એકબીજાની નજીક ધકેલે છે.
તેથી,દડાઓ વચ્ચેનું અંતર ઘટશે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V_T$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
અહીં $R$,$g$ અને $\eta$ બંને ગોળાઓ માટે અચળ હોવાથી,ટર્મિનલ વેગ એ ઘનતાના તફાવતના સમપ્રમાણમાં છે:
$V \propto (\rho - \sigma)$
તેથી,પ્રથમ ગોળા માટે: $V \propto (\rho_1 - \sigma)$
બીજા ગોળા માટે જેનો ટર્મિનલ વેગ $V'$ છે: $V' \propto (\rho_2 - \sigma)$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V'}{V} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$V' = V \left[ \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma} \right]$

(C) ધારો કે તળિયે પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને સપાટી પર $r_2$ છે. આપેલ છે કે $r_2 = 2r_1$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,$V \propto r^3$ થાય.
તેથી,$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3 = (2)^3 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = 8V_1$.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_1V_1 = P_2V_2$,જ્યાં $P_1$ તળિયે દબાણ છે અને $P_2$ સપાટી પરનું વાતાવરણીય દબાણ છે.
આપેલ છે કે $P_2 = P_H$ ($H$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ),તેથી $P_2 = \rho g H$.
$d$ ઊંડાઈએ દબાણ $P_1 = P_2 + \rho g d = \rho g H + \rho g d$ છે.
આ કિંમતોને બોઈલના નિયમમાં મૂકતા: $(\rho g H + \rho g d) V_1 = (\rho g H)(8V_1)$.
બંને બાજુ $\rho g V_1$ વડે ભાગતા,આપણને $H + d = 8H$ મળે છે.
તેથી,$d = 7H$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R'$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R'^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
$R'^3 = 2 R^3 \implies R' = 2^{1/3} R$
ફેરફાર પહેલાંની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E_i)$ = $2 \times (4 \pi R^2 T)$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ફેરફાર પછીની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E_f)$ = $4 \pi R'^2 T$.
પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_i}{E_f} = \frac{2 \times 4 \pi R^2 T}{4 \pi R'^2 T} = \frac{2 R^2}{R'^2}$ છે.
$R' = 2^{1/3} R$ કિંમત મૂકતા:
ગુણોત્તર = $\frac{2 R^2}{(2^{1/3} R)^2} = \frac{2 R^2}{2^{2/3} R^2} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2^{1/3} : 1$ છે.

(C) સપાટી પરનો અણુ નીચેની તરફ પરિણામી બળ (સસંજક બળ) અનુભવે છે કારણ કે તેને ઉપરની સરખામણીમાં નીચેથી ખેંચતા અણુઓની સંખ્યા વધારે હોય છે (આકૃતિમાં દર્શાવેલ અણુ $A$).
તેનાથી વિપરીત,પ્રવાહીની અંદર રહેલો અણુ તેની આસપાસના અણુઓ દ્વારા બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે ખેંચાય છે (આકૃતિમાં દર્શાવેલ અણુ $B$),જેના પરિણામે તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પ્રવાહીના ટીપાં પર પૃષ્ઠતાણ $(T)$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ $(p)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$p = \frac{2T}{R}$
અહીં,$T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વધારાનું દબાણ એ ટીપાંની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$p \propto \frac{1}{R}$ અથવા $p \propto R^{-1}$.

(B) પૃષ્ઠતાણની વ્યાખ્યા પ્રવાહીની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા બળ તરીકે કરવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,પૃષ્ઠતાણને પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા એકમ વધારા દીઠ થયેલા કાર્ય તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જાને સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ વ્યાખ્યાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે પૃષ્ઠતાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ થયેલા કાર્યને સમાન છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2 T \cos \theta}{\rho g r}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આનો અર્થ એ છે કે પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા (અથવા વ્યાસ) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,નાના વ્યાસવાળી નળીમાં પાણીનું સ્તર વધારે ઊંચે જશે.

(D) મોટા પરપોટાનું કદ $27$ નાના પરપોટાના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $R = 3r$.
વીજભારિત સાબુના પરપોટા પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળ (સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$.
કુલ વીજભાર $Q$ અચળ હોવાથી,પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $\sigma \propto \frac{1}{R^2}$.
આમ,દબાણ $P \propto \frac{1}{R^4}$.
મોટા પરપોટા માટે: $P_B = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
નાના પરપોટા માટે: $q = Q/27$,તેથી $P_S = \frac{(Q/27)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{Q^2}{729 \times 32\pi^2 \epsilon_0 (R/3)^4} = \frac{Q^2}{9 \times 32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_B}{P_S} = \frac{1/R^4}{1/(9R^4)} = 9/1$.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $8$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નું સૂત્ર $v_t = \frac{2r^2 g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ છે,જે સૂચવે છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે નાના ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v_1$ છે અને મોટા ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v_2$ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 10 \ cm/s = 40 \ cm/s$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તાર સમાન હોવાથી,તેમની લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે. ખેંચાણ બળ $F$ પણ બંને માટે સમાન છે.
તેથી,$Y \propto \frac{1}{\Delta l}$.
આપેલ છે કે $Q$ નું વિસ્તરણ $P$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $(\Delta l)_Q > (\Delta l)_P$.
જેમ કે $Y$ એ વિસ્તરણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $Y_P > Y_Q$ મળે છે.
વધુ યંગ મોડ્યુલસ સૂચવે છે કે પદાર્થ વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે (વિરૂપણ સામે વધુ પ્રતિકાર).
આમ,$P$ એ $Q$ કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(B) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = M(g + a)$ થાય છે.
પ્રતિબળ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $\sigma = \frac{T}{A}$,જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
મહત્તમ સુરક્ષિત પ્રતિબળ $S$ આપેલ હોવાથી,$S = \frac{M(g + a)}{\frac{\pi d^2}{4}}$ થાય.
વ્યાસ $d$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$d^2 = \frac{4 M(g + a)}{\pi S}$ મળે.
તેથી,લઘુત્તમ વ્યાસ $d = [\frac{4 M(g + a)}{\pi S}]^{\frac{1}{2}}$ થાય.

(D) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{Y A}{L}$ એ તારનો બળ અચળાંક છે.
અહીં,$Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A = \pi R^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $W_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) x^2 = 2 \ J$ (જ્યાં $x = 1 \ mm$).
બીજા તાર માટે: $L' = \frac{L}{2}$ અને $R' = 2R$.
નવો બળ અચળાંક $k' = \frac{Y \pi (2R)^2}{L/2} = \frac{Y \pi (4R^2)}{L/2} = 8 \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) = 8k$ થાય.
બીજા તાર માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_2 = \frac{1}{2} k' x^2 = \frac{1}{2} (8k) x^2 = 8 \left( \frac{1}{2} k x^2 \right) = 8 W_1$ છે.
$W_1 = 2 \ J$ મૂકતા,આપણને $W_2 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$ મળે છે.

(A) જો $L$ લંબાઈના તારને $x$ જેટલો ખેંચવા માટે $F$ બળ લગાડવામાં આવે,તો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{x/L} = \frac{FL}{Ax}$
આના પરથી,તારને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F$:
$F = \frac{YA}{L} x$
તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષે બળનું સંકલન છે:
$W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} \frac{YA}{L} x \, dx$
$W = \frac{YA}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{YAx^2}{2L}$

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર: $Y = \frac{F L}{A l} = \frac{F L}{\pi r^2 l}$ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $Y = \frac{F L}{\pi r^2 l} \quad \dots (i)$.
બીજા તાર માટેના પરિમાણો: $L' = 2L$,$r' = 2r$,$F' = 2F$ છે અને ધારો કે નવો વધારો $l'$ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અચળ રહેશે.
$Y = \frac{F' L'}{\pi (r')^2 l'} = \frac{(2F) (2L)}{\pi (2r)^2 l'} = \frac{4 F L}{\pi (4 r^2) l'} = \frac{F L}{\pi r^2 l'} \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{F L}{\pi r^2 l} = \frac{F L}{\pi r^2 l'}$.
તેથી,$l' = l$ મળે છે.

(D) સમઘર્મી આઈસોટ્રોપિક પદાર્થ માટે પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ સૈદ્ધાંતિક રીતે એ જરૂરિયાત દ્વારા મર્યાદિત છે કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$, શીયર મોડ્યુલસ $(G)$ અને બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ બધા જ ધન મૂલ્યો હોવા જોઈએ।
આના પરિણામે પોઈસન ગુણોત્તર માટેની સૈદ્ધાંતિક શ્રેણી $-1.0 < \sigma < 0.5$ મળે છે।
મોટાભાગના સામાન્ય પદાર્થો માટે પોઈસન ગુણોત્તર $0$ અને $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે।
તેથી, $0.8$ એ આ માન્ય શ્રેણીની બહાર હોવાથી, તે સમઘર્મી આઈસોટ્રોપિક પદાર્થ માટે પોઈસન ગુણોત્તરનું મૂલ્ય હોઈ શકે નહીં।

(B) તંત્રમાં $M$ દળનો બ્લોક અને $m$ દળનું દોરડું એક એકમ તરીકે સાથે ખેંચાય છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
તંત્રનું કુલ દળ $(M + m)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્ર પર લાગતું બળ $F$ એ કુલ દળ અને પ્રવેગ $a$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$F = (M + m) a$
તેથી,પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{F}{M + m}$

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ $v$ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે.
ધારો કે સમય $t$ પર વેગ $v_1$ છે અને સમય $t + \delta t$ પર વેગ $v_2$ છે. વેગમાં ફેરફાર $\delta v = v_2 - v_1$ છે.
$U$.$C$.$M$. માં ઝડપ અચળ હોવાથી,$|v_1| = |v_2| = v$ થાય છે.
સદિશ $\delta v$ એ $v_1$ અને $v_2$ બાજુઓ ધરાવતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો પાયો બનાવે છે,જેની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
વેગમાં ફેરફાર $\delta v$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi = \frac{180^{\circ} - \theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ સમયનો ગાળો $\delta t \rightarrow 0$ થાય છે,તેમ વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ પણ $0^{\circ}$ ની નજીક પહોંચે છે.
આ સમીકરણમાં $\theta \approx 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\phi = 90^{\circ} - 0^{\circ} = 90^{\circ}$ મળે છે.
આમ,વેગમાં ફેરફાર એ તાત્કાલિક વેગ સદિશને લંબ હોય છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = m \omega^2 r$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ થાય.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2 r = \frac{4 \pi^2 m r}{T^2}$.
બળના મૂલ્યનું વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{F} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m r}{T^2}} = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{m r}$.

(A) વર્તુળાકાર ગતિમાં પદાર્થની રેખીય ઝડપ $V$ એ $V = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
બંને કાર એક પરિભ્રમણ સમાન સમય $t$ માં પૂર્ણ કરતી હોવાથી,તેમની કોણીય ઝડપ સમાન છે,એટલે કે $\omega_{1} = \omega_{2} = \frac{2\pi}{t}$.
તેથી,તેમની રેખીય ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}\omega_{1}}{r_{2}\omega_{2}}$
$\omega_{1} = \omega_{2}$ હોવાથી,ગુણોત્તર નીચે મુજબ સાદું રૂપ પામે છે:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$
આમ,$m_{1}$ ની રેખીય ઝડપ અને $m_{2}$ ની રેખીય ઝડપનો ગુણોત્તર $r_{1}: r_{2}$ છે.

(A) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ ઉર્જા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
જ્યાં:
$m$ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થનું દળ છે,
$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,
$A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઉર્જા $E$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગ $(A^2)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$E \propto A^2$.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ $S.H.M.$ માટે $k$ અને $A$ બંને અચળ હોવાથી,કુલ ઉર્જા $E$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા આવર્ત રીતે બદલાતી નથી,જ્યારે સ્થાનાંતર,વેગ અને પ્રવેગ સમય સાથે બદલાય છે.

(A) રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,$x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કણ મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(x=A)$ ની વચ્ચે છે,તેથી $x = \frac{A}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,વેગ અને પ્રવેગના મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $v = a$.
સમીકરણોમાં કિંમત મૂકતા: $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા: $\omega \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2} = \omega^2 (\frac{A}{2})$.
$\omega \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2} \Rightarrow \omega \sqrt{\frac{3A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
$\omega \frac{\sqrt{3}A}{2} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
બંને બાજુ $\frac{\omega A}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\omega = \sqrt{3}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$T = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \ s$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,એક કણ બે અંતિમ સ્થાનો,$-A$ અને $+A$ વચ્ચે દોલન કરે છે,જે મધ્યમાન સ્થાન $0$ માંથી પસાર થાય છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $(T)$ એક પૂર્ણ દોલન દર્શાવે છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(0)$ થી શરૂ કરીને:
$1$. કણ $0$ થી $+A$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
$2$. કણ $+A$ થી પાછો $0$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
$3$. કણ $0$ થી $-A$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
$4$. કણ $-A$ થી પાછો $0$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
એક આવર્તકાળમાં કપાયેલું કુલ અંતર = $A + A + A + A = 4A$.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = a \sin(2 \pi b t - 2 \pi c x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - k x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi b$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 2 \pi c$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $(V_{max})_p = \omega A = (2 \pi b) a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગનો વેગ $V_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi b}{2 \pi c} = \frac{b}{c}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કણનો મહત્તમ વેગ તરંગના વેગ કરતા બમણો છે:
$(V_{max})_p = 2 V_w$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi b a = 2 \left( \frac{b}{c} \right)$.
બંને બાજુ $2b$ વડે ભાગતા,આપણને $\pi a = \frac{1}{c}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = \frac{1}{\pi a}$.

(B) સ્થિર લિફ્ટમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ દોરીની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3l}{4g}}$ દ્વારા મળે છે.
આને $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ મળે છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ $(UCM)$ માં,પદાર્થ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
પદાર્થનો વેગ હંમેશા કોઈપણ બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા (સ્થાન સદિશ) એ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા પદાર્થના તત્કાલીન વેગ સદિશને લંબ હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $d\vec{s}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે,જે $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ છે.
$UCM$ માં દરેક બિંદુએ $\vec{F} \perp d\vec{s}$ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = \int F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$.
આમ,વર્તુળાકાર માર્ગના કોઈપણ ભાગમાં,જેમાં $\left(\frac{2}{3}\right)$ ભાગનો પણ સમાવેશ થાય છે,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(B) આપેલ છે: કાર્ય $W = 12000 \ J$,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 10 \ Hz$,અંતિમ આવૃત્તિ $f_2 = 20 \ Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 2\pi(10) = 20\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\pi(20) = 40\pi \ rad/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કરેલું કાર્ય એ પરિભ્રમણ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I \omega_2^2 - \frac{1}{2} I \omega_1^2 = \frac{1}{2} I (\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$12000 = \frac{1}{2} I [(40\pi)^2 - (20\pi)^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1600\pi^2 - 400\pi^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1200\pi^2]$.
$\pi^2 = 10$ લેતા:
$12000 = \frac{1}{2} I [1200 \times 10]$.
$12000 = I [6000]$.
$I = \frac{12000}{6000} = 2 \ kg \cdot m^2$.

(D) ધારો કે ત્રણ સળિયા $R_1$,$R_2$,અને $R_3$ છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. આપણે સળિયા $R_1$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી કરવી છે.
$1$. સળિયા $R_1$ માટે: પરિભ્રમણની ધરી સળિયા પર જ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = 0$ થાય.
$2$. સળિયા $R_2$ માટે: આ સળિયો પરિભ્રમણની ધરી $R_1$ ને લંબ છે અને તેના એક છેડે જોડાયેલ છે. તેના છેડામાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{M L^2}{3}$ થાય.
$3$. સળિયા $R_3$ માટે: આ સળિયો પરિભ્રમણની ધરી $R_1$ ને સમાંતર છે અને $L$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_3 = I_{CM} + M d^2$. અહીં અક્ષ $R_3$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે (જે $R_1$ થી $L$ અંતરે છે),તેથી $I_{CM} = 0$ થાય. આમ,$I_3 = 0 + M L^2 = M L^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{M L^2}{3} + M L^2 = \frac{4 M L^2}{3}$.

(A) તારનું કુલ દળ $m = Q \cdot L$ છે.
તારને $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કોઈલમાં વાળવામાં આવતા,પરિઘ $2 \pi R = L$ થાય,તેથી $R = L / (2 \pi)$ મળે.
વર્તુળાકાર રિંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = (1/2) m R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક અક્ષ $XX'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{XX'} = I_{cm} + m R^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm}$ એ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{XX'} = (1/2) m R^2 + m R^2 = (3/2) m R^2$.
$m = Q L$ અને $R = L / (2 \pi)$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{XX'} = (3/2) \cdot (Q L) \cdot (L / (2 \pi))^2$
$I_{XX'} = (3/2) \cdot Q L \cdot (L^2 / (4 \pi^2))$
$I_{XX'} = 3 Q L^3 / (8 \pi^2)$.

(D) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે અને અંતિમ ત્રિજ્યા $R_2 = 2R$ છે. દળ $m$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5} m (2R)^2 = \frac{2}{5} m (4R^2) = 4 \times (\frac{2}{5} m R^2) = 4 I_1$ થાય.
તેથી,પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા અને અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{4 I_1} = \frac{1}{4}$ થાય.

(D) $AC$ સર્કિટમાં કોઈલનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ $AC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે.
$AC$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f > 0$ હોય છે,તેથી રિએક્ટન્સ $X_L$ નું મૂલ્ય શૂન્ય સિવાયનું કોઈ નિશ્ચિત મૂલ્ય હોય છે.
$DC$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે. તેથી,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi (0) L = 0 \ \Omega$ થાય છે.
$AC$ માં રિએક્ટન્સ અને $DC$ માં રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{X_L(AC)}{X_L(DC)} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર અનંત છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
જ્યાં $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
પગલું $1$: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \Omega$.
પગલું $2$: કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો.
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
પગલું $3$: ઈમ્પિડન્સ $Z$ ની ગણતરી કરો.
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000}$
$Z = 500 \Omega$.

(C) આપેલ છે કે,અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $E = 100 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ V}$ છે.
વોલ્ટેજ મહત્તમ હોય ત્યારે,સાઈન પદ $1$ હોવું જોઈએ.
$\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right) = 1$
કારણ કે $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,તેથી:
$\omega t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{6}$
આમ,વોલ્ટેજ પ્રથમ વખત $t = \frac{T}{6}$ સમયે મહત્તમ થશે.

(B) હાઇડ્રોજન ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં,તરંગલંબાઇ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
કોઈપણ શ્રેણી માટે મહત્તમ તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે જ્યારે ઉર્જાનો તફાવત ન્યૂનતમ હોય. આ સ્થિતિ $n_2 = n+1$ થી $n_1 = n$ ના સંક્રમણ માટે થાય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= \frac{R(2n+1)}{n^2(n+1)^2}$
તેથી,મહત્તમ તરંગલંબાઇ:
$\lambda_{\max} = \frac{n^2(n+1)^2}{R(2n+1)}$

(A) બામર શ્રેણી માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5\lambda}$.
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $R$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{3}{16} \times \left( \frac{36}{5\lambda} \right) = \frac{3 \times 9}{4 \times 5 \lambda} = \frac{27}{20\lambda}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{27} \lambda$.

(C) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતો કણ જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં $r = \frac{mv}{qB}$ મૂકતા: $mv \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{nh}{2\pi}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{m^2 v^2}{qB} = \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે,જેમાંથી $mv^2 = \frac{nhqB}{2\pi m}$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$mv^2$ નું પદ મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{nhqB}{2\pi m} \right) = \frac{nhqB}{4\pi m}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_n = \frac{v_1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં ઝડપ છે.
આપેલ છે કે,$v_1 = 2.2 \times 10^6 \ m/s$.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n = 4$ (કારણ કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n=1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ છે,બીજી $n=3$ છે,અને ત્રીજી $n=4$ છે).
સંબંધ $v_n = \frac{v_1}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v_4 = \frac{v_1}{4} = \frac{2.2 \times 10^6 \ m/s}{4}$.
$v_4 = 0.55 \times 10^6 \ m/s = 5.5 \times 10^5 \ m/s$.

(A) બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
પ્રથમ રેખા માટે,$n = 3$ લેતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \Rightarrow \lambda_1 = \frac{36}{5R}$
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 5, 6, 7, \dots$
પ્રથમ રેખા માટે,$n = 5$ લેતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{9}{400} \right) \Rightarrow \lambda_2 = \frac{400}{9R}$
હવે,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36}{5R} \times \frac{9R}{400} = \frac{324}{2000} = 0.162$

(A) બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ અને $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n = 2$ કક્ષામાં થતું સંક્રમણ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n = 3$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા $n = 4$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
તેથી,ચોથી બોહર કક્ષામાંથી બીજી બોહર કક્ષામાં થતું સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીની બીજી રેખા દર્શાવે છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ એર કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે, $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર ઘટાડીને $d_1 = \frac{d}{4}$ કરવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચે $K = 2$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d_1}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $d_1 = \frac{d}{4}$ અને $K = 2$ મૂકતા:
$C = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d/4} = 8 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 8 C_0$.
આપેલ છે કે $C_0 = 4 \mu F$, તેથી નવી કેપેસિટન્સ $C = 8 \times 4 \mu F = 32 \mu F$ થશે.

(D) ધારો કે સમાંતરમાં $n$ કેપેસિટર છે,દરેકનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે. આ સમાંતર શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = nC = 2n \mu F$ છે.
ધારો કે આવી $m$ શાખાઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_p}{m} = \frac{2n}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને $C_{eq} = \frac{10}{11} \mu F$ આપેલ છે અને કુલ કેપેસિટરની સંખ્યા $n \times m = 7$ છે.
સમીકરણ $\frac{2n}{m} = \frac{10}{11}$ પરથી,$\frac{n}{m} = \frac{5}{11}$ મળે છે.
આમ,$5$ કેપેસિટર સમાંતરમાં અને $2$ શ્રેણીમાં લેતા પરિણામી કેપેસિટન્સ $\frac{10}{11} \mu F$ મળે છે.

(A) ફ્રીક્વન્સી મોડ્યુલેટેડ તરંગમાં,માત્ર કેરિયર તરંગની આવૃત્તિ જ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના તત્કાલિન કંપવિસ્તાર અનુસાર સમય સાથે બદલાય છે,જ્યારે કેરિયર તરંગનો કંપવિસ્તાર અચળ રહે છે.
આ તરંગને આપેલી આકૃતિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
ફ્રીક્વન્સી મોડ્યુલેશનનો ઉપયોગ $FM$ બ્રોડકાસ્ટિંગ,ટેલિમેટ્રી અને $RADAR$ સિસ્ટમમાં વ્યાપકપણે થાય છે.

(B) આયનોસ્ફિયર વિવિધ સ્તરો $(D, E, F_1, F_2)$ ધરાવે છે.
આયનોસ્ફિયરનું $E$ સ્તર મધ્યમ-આવૃત્તિના રેડિયો તરંગોને પરાવર્તિત કરવા માટે જવાબદાર છે.
આ સ્તર દિવસ દરમિયાન સૌર વિકિરણને કારણે થતા આયનીકરણને લીધે બને છે.
રાત્રિના સમયે,આયનીકરણનો સ્ત્રોત (સૂર્યનું વિકિરણ) ગેરહાજર હોય છે,જેના કારણે $E$ સ્તર અદૃશ્ય થઈ જાય છે અથવા બિનઅસરકારક બની જાય છે.
તેથી,$E$ સ્તર સાચો જવાબ છે.

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = \frac{A_m}{A_c}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો $\mu > 1$ હોય,તો મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો કંપવિસ્તાર કેરિયર વેવના કંપવિસ્તાર કરતા વધી જાય છે,જે ઓવર-મોડ્યુલેશન તરફ દોરી જાય છે.
ઓવર-મોડ્યુલેશનને કારણે કેરિયર વેવનું એન્વલપ વિકૃત (distorted) થઈ જાય છે,જેના પરિણામે માહિતી ગુમાવવી પડે છે.
તેથી,ડિસ્ટોર્શન ટાળવા માટે,$\frac{A_m}{A_c}$ (મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ) નો ગુણોત્તર $1$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો રાખવામાં આવે છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L_{total}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વાયર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે અને $L_{total}$ એ વાયરની કુલ લંબાઈ છે.
$E$ emf ધરાવતા કોષ માટે,બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ એ $E = k \cdot l = \frac{V}{L} \cdot l$ દ્વારા મળે છે.
શરૂઆતમાં,$l_1 = \frac{L}{3}$,તેથી $E = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{3} = \frac{V}{3}$.
જ્યારે વાયરની લંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L + 0.5L = 1.5L = \frac{3L}{2}$ થાય છે.
વાયર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ સમાન રહે છે કારણ કે સ્ત્રોત વોલ્ટેજ અચળ છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{1.5L} = \frac{V}{1.5L}$ છે.
તે જ કોષ $E$ માટે,નવી બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2$ એ $E = k' \cdot l_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{3} = \frac{V}{1.5L} \cdot l_2$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{1.5L}{3} = 0.5L = \frac{L}{2}$.

(B) એમીટરની રેન્જ વધારવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર (અવરોધ $G$) સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવો પડે છે.
ગેલ્વેનોમીટરના પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન માટેનો પ્રવાહ $I_g$ છે.
રેન્જ $I_g$ થી $I$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધનું સૂત્ર $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ છે.
અહીં રેન્જ $I_g = I$ થી $I' = nI$ કરવામાં આવે છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$S = \frac{I G}{nI - I} = \frac{I G}{I(n - 1)} = \frac{G}{n - 1} \Omega$.
આમ,$\frac{G}{n-1} \Omega$ નો શંટ સમાંતરમાં જોડવો જોઈએ.

(D) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 100 \Omega$,પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ $i_g = 10 \text{ mA} = 10 \times 10^{-3} \text{ A}$,અને વોલ્ટમીટરની ઇચ્છિત રેન્જ $V = 50 \text{ V}$.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
વોલ્ટમીટરની રેન્જ માટેનું સૂત્ર $V = i_g(G + R)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $50 = 10 \times 10^{-3} \times (100 + R)$.
$50 / (10 \times 10^{-3}) = 100 + R$.
$5000 = 100 + R$.
$R = 5000 - 100 = 4900 \Omega$.

(C) મુવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરમાં,કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક હંમેશા પ્રવાહના પ્રમાણમાં રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $\sin \theta = 1$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
અંતર્ગોળ આકારના ધ્રુવ ટુકડાઓવાળા શક્તિશાળી ઘોડાની નાળ જેવા ચુંબકનો ઉપયોગ કરીને,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને ત્રિજ્યાવર્તી (radial) બનાવવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,કોઈલનું સમતલ કોઈપણ સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર રહે છે,જે દરેક સમયે $\theta = 90^{\circ}$ હોવાનું સુનિશ્ચિત કરે છે.

(B) આપેલ છે,ટ્રાન્સફોર્મરને આપવામાં આવતો ઇનપુટ વોલ્ટેજ,$V_1 = 220 V$.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ,$V_2 = 440 V$.
આઉટપુટ પ્રવાહ,$i_2 = 2.0 A$.
કાર્યક્ષમતા (આઉટપુટ પાવર અને ઇનપુટ પાવરનો ગુણોત્તર) $\eta = \frac{P_2}{P_1} = 0.8$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P_2 = V_2 \times i_2$ અને $P_1 = V_1 \times i_1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_2 \times i_2}{V_1 \times i_1} = 0.8$.
$\frac{440 \times 2.0}{220 \times i_1} = 0.8$.
$2 \times 2.0 = 0.8 \times i_1$.
$4.0 = 0.8 \times i_1$.
$i_1 = \frac{4.0}{0.8} = 5.0 A$.
તેથી,પ્રાઇમરી વાઇન્ડિંગ દ્વારા ખેંચાતો પ્રવાહ $5.0 A$ છે.

(C) આપેલ પરિપથનું વિશ્લેષણ કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ ને વિવિધ લૂપમાં લાગુ કરીને કરી શકાય છે.
ધારો કે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે.
ઉપરના લૂપમાં (જેમાં $E_1$,$r_1$ અને $R$ છે) $KVL$ લાગુ કરતા:
નોડ $E$ થી શરૂ કરીને $F, B, A$ થઈને પાછા $E$ પર જતાં:
શાખા $EF$ (જેમાં $E_1$ અને $r_1$ છે) માંથી પસાર થતાં: સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $+E_1 - i_1 r_1$ થાય છે.
શાખા $AB$ (જેમાં $R$ છે) માંથી પસાર થતાં: સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $-(i_1+i_2)R$ થાય છે.
આ સ્થિતિમાનના ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા: $E_1 - i_1 r_1 - (i_1+i_2)R = 0$.
આને $E_1 - (i_1+i_2)R - i_1 r_1 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,તે વિકલ્પ $(c)$ સાથે સુસંગત છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,વોલ્ટેજ $(V)$ અને પ્રવાહ $(i)$ નો ગુણોત્તર અવરોધ $(R)$ જેટલો હોય છે: $\frac{V}{i} = R$.
ધાતુના તાર માટે,અવરોધ તાપમાન પર નીચેના સંબંધ મુજબ આધાર રાખે છે: $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$,જ્યાં $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
ધાતુઓ માટે,$\alpha$ ધન હોય છે.
તેથી,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ધાતુના તારનો અવરોધ $(R)$ વધે છે.
કારણ કે $\frac{V}{i} = R$,તેથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહનો ગુણોત્તર પણ તાપમાનમાં વધારા સાથે વધે છે.

(B) આપેલ પરિપથ આકૃતિમાં,ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $A$ અને $B$ પરના સ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_A = V_B$.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જ્યારે કોષને $2E$ emf અને $3r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા નવા કોષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે મુખ્ય પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ બદલાય છે,પરંતુ $A$ અને $B$ પરના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર સમાન રહે છે કારણ કે બ્રિજ સંતુલનની શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ માત્ર અવરોધો $R_1, R_2, R_3$ અને $R_4$ પર આધાર રાખે છે,સ્ત્રોતના emf કે આંતરિક અવરોધ પર નહીં.
તેથી,$V_A = V_B$ ની શરત હજુ પણ જળવાઈ રહે છે,અને ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવવાનું ચાલુ રાખશે.

(A) આ પરિપથ બે શાખાઓનું સમાંતર જોડાણ છે. ઉપરની શાખામાં $5\Omega$ અને $1\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $50\Omega$ અને $10\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. ગેલ્વેનોમીટર $G$ ને મધ્યબિંદુઓ વચ્ચે જોડવામાં આવ્યું છે. અવરોધોનો ગુણોત્તર તપાસતા: $\frac{5}{50} = \frac{1}{10}$. ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે અને ગેલ્વેનોમીટર $G$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક શાખાનો કુલ અવરોધ $R_1 = 5\Omega + 1\Omega = 6\Omega$ અને બીજી શાખાનો કુલ અવરોધ $R_2 = 50\Omega + 10\Omega = 60\Omega$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I = 1.1A$ આ બે શાખાઓમાં વહેંચાય છે. કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઉપરની શાખામાં ($1\Omega$ અવરોધ ધરાવતી) વહેતો પ્રવાહ $I_1$ નીચે મુજબ છે:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{6 + 60}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{66}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{10}{11} = 0.1 \times 10 = 1A$.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s}$ પર,રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે,તેથી $eV_{s} = \frac{1}{2} mv^{2}$.
$V_{s}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $V_{s} = \frac{1}{2} \frac{m}{e} v^{2}$ મળે છે.
ચૂકી $\frac{m}{e} = \frac{1}{(e/m)}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $V_{s} = \frac{v^{2}}{2(e/m)}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(\frac{V}{3}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{eV}{eV/3} = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3(\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ એનોડ પર લાગુ પાડવામાં આવતું લઘુત્તમ ઋણ પોટેન્શિયલ છે જે સૌથી વધુ ગતિઊર્જા ધરાવતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનને પણ કલેક્ટર સુધી પહોંચતા અટકાવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, જ્યાં $K_{max} = eV_0$.
આમ, $eV_0 = h\nu - \Phi_0$, જે દર્શાવે છે કે $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ ($\nu$) નું સુરેખ વિધેય છે.
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં હોય છે (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે).

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $KE_{\text{max}} = h(v - v_0)$ ... $(i)$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{\text{max}})$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો તીવ્રતા ઘટાડીને તેના મૂળ મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ કરવામાં આવે,તો ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = hv - W_0$ --- $(1)$
જ્યારે વિકિરણની આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $2v$ થાય છે. નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K'$ છે:
$K' = h(2v) - W_0$
$K' = 2hv - W_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $hv = K + W_0$ છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$K' = 2(K + W_0) - W_0$
$K' = 2K + 2W_0 - W_0$
$K' = 2K + W_0$
વૈકલ્પિક રીતે,તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$K' - K = (2hv - W_0) - (hv - W_0) = hv$
$K' = K + hv$

(A) આપેલ છે: અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 0.01 \ H$,પ્રવાહ $I = 5 \sin(200 \pi t)$.
બીજી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું e.m.f. ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ: $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$.
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા:
$\varepsilon = -0.01 \cdot \frac{d}{dt} [5 \sin(200 \pi t)]$
$\varepsilon = -0.01 \cdot 5 \cdot 200 \pi \cdot \cos(200 \pi t)$
$\varepsilon = -10 \pi \cos(200 \pi t)$.
ઉત્પન્ન થતા e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય કોસાઈન પદના સહગુણકનું માન છે:
$\varepsilon_{max} = | -10 \pi | = 10 \pi \ V$.

(D) ધ્રુવીય અણુ એવો અણુ છે જેમાં ધ્રુવીય બંધો હોય છે,જ્યાં તમામ બંધોના ડાયપોલ મોમેન્ટનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોતો નથી.
$H_2O$ ના કિસ્સામાં,બંધો એક ખૂણા પર નમેલા હોય છે (બેન્ટ ભૂમિતિ),તેથી ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય હોતી નથી.
તેથી,$H_2O$ એક ધ્રુવીય અણુ છે.
તેનાથી વિપરીત,$H_2$ અને $O_2$ માટે,અણુઓ હોમોન્યુક્લિયર અને અધ્રુવીય છે.
$CO_2$ માટે,અણુ રેખીય છે,અને બે $C=O$ બંધ ડાયપોલ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય થાય છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતભારિત વાહકની સપાટીની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
જ્યારે વાહકને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 K} = \frac{E_0}{K}$ થાય છે.
અહીં $E_0 = 10^3 \ V/m$ અને $K = 4$ આપેલ છે.
તેથી,$E = \frac{10^3}{4} \ V/m = 250 \ V/m$.

(C) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$
જ્યાં $\vec{M}$ એ કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટને $\vec{M} = n i \vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
આ કિંમતને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{\tau} = (n i \vec{A}) \times \vec{B}$
$\vec{\tau} = n i (\vec{A} \times \vec{B})$
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય અને દિશા એ ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.

(D) ધારો કે ધાતુના તારની લંબાઈ $l$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિઘ $2\pi r = l$ થાય,તેથી $r = \frac{l}{2\pi}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \frac{l^2}{4\pi}$ છે.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_c = i A_c = \frac{i l^2}{4\pi}$ થાય.
જ્યારે તારને ચોરસ ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિમિતિ $4a = l$ થાય,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = \frac{l}{4}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{l^2}{16}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળા માટે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_s = i A_s = \frac{i l^2}{16}$ થાય.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4\pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4\pi} = \frac{4}{\pi}$ મળે.

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા $(m)$ અને ડાયપોલની ચુંબકીય લંબાઈ $(2l)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $M = m \times 2l$.
આ ગુણધર્મ ચુંબકનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે બિંદુના સ્થાન અથવા અંતર પર આધાર રાખતું નથી જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર માપવામાં આવે છે.
તેથી,બિંદુ અને ચુંબક વચ્ચેનું અંતર બદલવાથી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ પર કોઈ અસર થતી નથી.
આમ,ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય $X$ જ રહેશે.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્ર $O$ પાસે ચુંબકીય પ્રેરણ $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2 r}$ (કાગળના સમતલની અંદરની દિશામાં) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે આવેલા કેન્દ્ર $O$ પાસે ચુંબકીય પ્રેરણ $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{i}{r}$ (કાગળના સમતલની બહારની દિશામાં) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$O$ પાસે પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણ આ બે મૂલ્યોનો તફાવત છે:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 r} - \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left[1 - \frac{1}{\pi}\right]$

(A) કેબલમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{\text{net}}$ એ વ્યક્તિગત તારમાં રહેલા પ્રવાહનો બેઝિક સરવાળો છે:
$I_{\text{net}} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6$
$I_{\text{net}} = 10 - 13 + 10 + 7 - 12 + 18 = 20 \text{ A}$
લાંબા સીધા તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I_{\text{net}}}{2\pi r}$
અહીં $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ છે:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 20}{2\pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20}{0.1}$
$B = 400 \times 10^{-7} \text{ T} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$
$B = 40 \mu\text{T}$

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા,$n = 100$,કોઈલની ત્રિજ્યા,$r = 9 \ cm = 9 \times 10^{-2} \ m$,અને કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ,$I = 0.4 \ A$.
$n$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.4}{2 \times 9 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times 40}{18 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{502.4 \times 10^{-7}}{18 \times 10^{-2}}$
$B \approx 27.91 \times 10^{-5} \ T = 2.79 \times 10^{-4} \ T$.

(B) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપની અક્ષ પર મોટા અંતર $r$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ચુંબકીય ડાયપોલના ક્ષેત્રને સમાન છે.
$n$ આંટા,$A$ ક્ષેત્રફળ અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = n I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ અંતરે ડાયપોલની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 M}{r^3}$ છે.
આ સૂત્રમાં $M = n I A$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 n I A}{r^3}$.

(C) ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\vec{L}$ એ કક્ષાના સમતલને લંબ (જમણા હાથના નિયમ મુજબ ઉપરની તરફ) હોય છે.
કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સાથે $\vec{M} = -\frac{e}{2m} \vec{L}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
આમ,$\vec{M}$ અને $\vec{L}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ થાય છે.

(C) જ્યારે બે સમાંતર વાહકો એક જ દિશામાં $i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ વહન કરે છે,ત્યારે પ્રથમ વાહક દ્વારા બીજા વાહકના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,બીજા વાહક પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = i_2 l B_1 \sin(90^\circ) = i_2 l \left( \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d} \right)$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બીજા વાહક પર લાગતા બળની દિશા પ્રથમ વાહક તરફ હોય છે.
તે જ રીતે,પ્રથમ વાહક પર લાગતું બળ બીજા વાહક તરફ હોય છે.
તેથી,બંને વાહકો એકબીજાને આકર્ષે છે.

(B) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ એ $\mu = IA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$I$' એ પ્રવાહ છે અને '$A$' એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
'$r$' ત્રિજ્યાની કક્ષામાં '$v$' ઝડપથી ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,આવર્તકાળ '$T$' એ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ '$I$' એ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.

(D) સાયક્લોટ્રોનમાં વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા મેળવેલી મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$
જ્યાં,
$q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે,
$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,
$R$ એ કક્ષાની મહત્તમ ત્રિજ્યા (ડીઝની ત્રિજ્યા) છે,
અને $m$ એ કણનું દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $E_K$ એ $q$,$B$,$R$ અને $m$ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,$E_K$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $(f = \frac{qB}{2\pi m})$ પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે આવૃત્તિ એ સાયક્લોટ્રોન રેઝોનન્સની શરત દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે કણની ઊર્જા કે પથની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$H = 5000 \ A/m$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi = 4 \times 10^{-5} \ Wb$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 0.4 \ cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \ m^2 = 4 \times 10^{-5} \ m^2$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = \frac{\phi}{A}$ દ્વારા મળે છે.
પરમીએબિલિટી $\mu$ ની વ્યાખ્યા $\mu = \frac{B}{H} = \frac{\phi}{A \cdot H}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{4 \times 10^{-5}}{4 \times 10^{-5} \times 5000} = \frac{1}{5000} = 0.0002 = 2 \times 10^{-4} \ Wb/(A \cdot m)$.

(B) મુખ્ય વિચાર: પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ માટે,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી નાની અને ધન હોય છે,કારણ કે જ્યારે તેમને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે ત્યારે તેઓ નિર્બળ રીતે ચુંબકિત થાય છે.
કોઈ પદાર્થની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી,જેને $\chi_m$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે દર્શાવે છે કે પદાર્થ કેટલી સરળતાથી ચુંબકિત થઈ શકે છે. તે મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $(I)$ અને લાગુ કરેલા ક્ષેત્રની ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$\chi_m = \frac{I}{H}$
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,$I$ નાનું હોય છે અને $H$ ની દિશામાં જ હોય છે,જેના પરિણામે $\chi_m$ નું મૂલ્ય નાનું અને ધન મળે છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$,
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1 \ A \cdot m^2$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $I$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$I = \frac{M}{V}$
જ્યાં $V$ એ ગજિયા ચુંબકનું કદ છે,$V = a \times l$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times (5 \times 10^{-2} \ m) = 10 \times 10^{-6} \ m^3 = 10^{-5} \ m^3$.
હવે,મેગ્નેટાઈઝેશન $I$ ની ગણતરી કરતા:
$I = \frac{1 \ A \cdot m^2}{10^{-5} \ m^3} = 10^5 \ A/m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે,બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = f$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -f$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \left( -\frac{1}{f} \right)$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0$
અહીં $\frac{1}{F} = 0$ હોવાથી,$F = \infty$ મળે છે.
તેથી,આ સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ અનંત છે.

(B) હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu$ આપેલ છે.
કાચમાંથી હવામાં જતા પ્રકાશના કિરણ માટે ક્રાંતિકોણ $\theta$ છે.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\mu = \frac{1}{\sin \theta}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$.
હવે,ધારો કે પ્રકાશનું કિરણ હવામાંથી કાચની સપાટી પર $i = \theta$ આપાતકોણે આપાત થાય છે.
ધારો કે $r$ એ કાચમાં અનુરૂપ વક્રીભવનકોણ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં,$n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = \mu$ (કાચ).
$1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$.
સમીકરણમાં $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ મૂકતા:
$\frac{1}{\mu} = \mu \cdot \sin r$.
$\sin r = \frac{1}{\mu^2}$.
તેથી,વક્રીભવનકોણ $r = \sin^{-1}(\frac{1}{\mu^2})$ થશે.

(B) વક્રીભવનાંક '$n$' અને વક્રતા ત્રિજ્યા '$R$' ધરાવતા સમાન-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ અને પ્રકાશીય કેન્દ્રમાંથી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધો ભાગ એક સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બને છે,જેમાં એક સપાટીની ત્રિજ્યા '$R$' હોય છે અને બીજી સપાટી સમતલ (ત્રિજ્યા = $\infty$) હોય છે.
નવા લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ '$f^{\prime}$' સાથે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{1}{f^{\prime}} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} \right)$
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{f^{\prime}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$
તેથી,$f^{\prime} = 2f$.

(B) સમાંતર કિરણો માટે ગોઠવાયેલા ટેલિસ્કોપ (અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત પર) માટે,મોટવણી $m$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$m = \frac{f_o}{f_e} = 9$
જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આના પરથી,આપણને મળે છે $f_o = 9f_e$ ... $(i)$
સમાંતર કિરણો માટે ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર:
$L = f_o + f_e = 20 \ cm$
સમીકરણ $(i)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$9f_e + f_e = 20 \ cm$
$10f_e = 20 \ cm$
$f_e = 2 \ cm$
હવે,$f_o$ ની ગણતરી કરતા:
$f_o = 9 \times 2 \ cm = 18 \ cm$
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $18 \ cm$ અને $2 \ cm$ છે.

(D) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભેદન શક્તિ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(RP \propto D)$.
તેથી,જો ટેલિસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ મોટો હોય,તો તેની વિભેદન શક્તિ વધારે હશે.