MHT CET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપણી પાસે છે,$\frac{1-2(\cos 60^{\circ}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-2(\frac{1}{2}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-1+2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos(90^{\circ}-10^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 1$

(A) ધારો કે $I = \int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx$
કારણ કે $\log(ex) = \log e + \log x = 1 + \log x$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થાય છે:
$I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^{2}} dx$
$\log x = t$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે $x = e^{t}$ અને $dx = e^{t} dt$.
$I = \int \frac{t}{(1 + t)^{2}} e^{t} dt$
અંશને $(t + 1 - 1)$ તરીકે લખતા:
$I = \int e^{t} \left( \frac{t + 1 - 1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$
$I = \int e^{t} \left( \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \frac{1}{1 + t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{(1 + t)^{2}}$ છે:
$I = e^{t} \cdot \frac{1}{1 + t} + C$
$t = \log x$ અને $e^{t} = x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{x}{1 + \log x} + C$

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} \, dx$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}} \, dx$.
છેદને $(x - \frac{1}{x})^2 + 1$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 1} \, dx$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. તેથી $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1}(t) + c$.
$t = x - \frac{1}{x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \tan^{-1}\left(x - \frac{1}{x}\right) + c = \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{x}\right) + c$.

(A) આપણી પાસે છે,$\tan 2 x = \tan ((x - \alpha) + (x + \alpha))$.
નિત્યસમ $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2 x = \frac{\tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)}{1 - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha)}$.
પદોને ગોઠવતા:
$\tan 2 x (1 - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha)) = \tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)$.
$\tan 2 x - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x = \tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)$.
તેથી,$\tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x = \tan 2 x - \tan (x - \alpha) - \tan (x + \alpha)$.
હવે,બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x \ d x = \int (\tan 2 x - \tan (x - \alpha) - \tan (x + \alpha)) \ d x$.
$= \frac{1}{2} \log |\sec 2 x| - \log |\sec (x - \alpha)| - \log |\sec (x + \alpha)| + C$.
આને $p \log |\sec 2 x| + q \log |\sec (x + \alpha)| + r \log |\sec (x - \alpha)| + c$ સાથે સરખાવતા:
$p = \frac{1}{2}$,$q = -1$,અને $r = -1$.
તેથી,$p + q + r = \frac{1}{2} - 1 - 1 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{-3}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{8-\sin 2x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
તેથી,$8 - \sin 2x = 9 - (1 + 2 \sin x \cos x) = 9 - (\sin x + \cos x)^2$.
આમ,$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{3^2 - (\sin x + \cos x)^2} dx$.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$. તો $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે $I = \int \frac{dt}{3^2 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2(3)} \log \left| \frac{3+t}{3-t} \right| + C = \frac{1}{6} \log \left| \frac{3+\sin x + \cos x}{3 - (\sin x + \cos x)} \right| + C$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{p} \log \left[\frac{3+\sin x+\cos x}{3-\sin x-\cos x}\right]+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 6$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 \theta d \theta$ મળે.
$I = \int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{(\tan^2 \theta + 1)^2} = \int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{\sec^4 \theta} = \int \cos^2 \theta d \theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 \theta) d \theta = \frac{1}{2} (\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}) + c$.
અહીં $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\theta = \tan^{-1} x$ હોવાથી:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{1 + x^2} + c = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{x}{2(1 + x^2)} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x + x \sin x}{x(x + \cos x)} dx$.
છેદ $f(x) = x^2 + x \cos x$ ને ધ્યાનમાં લો.
છેદનું વિકલન $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x \cos x) = 2x + \cos x - x \sin x$ થાય છે,જે અંશ સાથે સીધું મળતું નથી.
ચાલો સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખીએ:
$I = \int \frac{x + \cos x + x \sin x - x}{x(x + \cos x)} dx$
$I = \int \left( \frac{x + \cos x}{x(x + \cos x)} + \frac{x \sin x - x}{x(x + \cos x)} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{x(\sin x - 1)}{x(x + \cos x)} \right) dx$
$I = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\sin x - 1}{x + \cos x} dx$
ધારો કે $u = x + \cos x$,તો $du = (1 - \sin x) dx$,જેનો અર્થ છે કે $-(1 - \sin x) dx = du$,અથવા $(\sin x - 1) dx = -du$.
$I = \ln|x| - \int \frac{1}{u} du$
$I = \ln|x| - \ln|u| + c$
$I = \ln|x| - \ln|x + \cos x| + c$
$I = \ln \left| \frac{x}{x + \cos x} \right| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x} d x$.
$x = a \sec \theta$ આદેશ લેતા,$d x = a \sec \theta \tan \theta d \theta$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2}}{a \sec \theta} (a \sec \theta \tan \theta) d \theta$
$I = \int \frac{a \tan \theta}{a \sec \theta} (a \sec \theta \tan \theta) d \theta$
$I = a \int \tan^2 \theta d \theta$
$I = a \int (\sec^2 \theta - 1) d \theta$
$I = a (\tan \theta - \theta) + c$
અહીં $x = a \sec \theta$ હોવાથી,$\sec \theta = \frac{x}{a}$,તેથી $\theta = \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ અને $\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$ મળે.
કિંમતો પાછી મૂકતા:
$I = a (\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} - \sec^{-1}(\frac{x}{a})) + c$
$I = \sqrt{x^2-a^2} - a \sec^{-1}(\frac{x}{a}) + c$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$ . . . $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\pi}{18}$ અને $b = \frac{4\pi}{9}$,આપણને $a+b = \frac{\pi}{18} + \frac{8\pi}{18} = \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$ . . . $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \left( \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) dx$
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} 1 dx = 2 [x]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}}$
$2I = 2 \left( \frac{4\pi}{9} - \frac{\pi}{18} \right) = 2 \left( \frac{8\pi - \pi}{18} \right) = 2 \left( \frac{7\pi}{18} \right) = \frac{7\pi}{9}$
$I = \frac{7\pi}{18}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \sin ^{-1} x + 6 \cos ^{-1} x = 3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 \sin ^{-1} x + 6(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 3 \pi$
$4 \sin ^{-1} x + 3 \pi - 6 \sin ^{-1} x = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x + 3 \pi = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = 0$
$x = \sin(0) = 0$.

(B) ધારો કે $L = \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8}$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ,પદોને જૂથબદ્ધ કરો: $L = \left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/3 + 1/5}{1 - (1/3)(1/5)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8/15}{14/15} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/7 + 1/8}{1 - (1/7)(1/8)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15/56}{55/56} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$.
હવે તેમને જોડો: $L = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4/7 + 3/11}{1 - (4/7)(3/11)} \right)$.
$L = \tan ^{-1} \left( \frac{44/77 + 21/77}{1 - 12/77} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65/77}{65/77} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ છે કે,$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \cos 3x}{\sin 3x} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ અને $\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{2 \sin^2 \left( \frac{3x}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{3x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x}{2} \right)} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sin \left( \frac{3x}{2} \right)}{\cos \left( \frac{3x}{2} \right)} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{3x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{3x}{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{3x}{2} \right) = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = k$.
અહીં લક્ષ $1^\infty$ સ્વરૂપનું હોવાથી,આપણે $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) - 1]h(x)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં $g(x) = \tan(\frac{\pi}{4} + x)$ અને $h(x) = \frac{1}{x}$ છે.
$k = e^{\lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x) - 1] \cdot \frac{1}{x}}$.
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ મળે.
$k = e^{\lim_{x \to 0} [\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1] \cdot \frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} [\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x}] \cdot \frac{1}{x}}$.
$k = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}} = e^{2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \tan x}}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \tan x} = 1$ હોવાથી,$k = e^{2 \cdot 1 \cdot 1} = e^2$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $A = \left[ \begin{array}{cc} 1+2i & i \\ -i & 1-2i \end{array} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A(\text{adj } A) = |A|I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = (1+2i)(1-2i) - (i)(-i)$
$|A| = (1^2 - (2i)^2) - (-i^2)$
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી:
$|A| = (1 - 4(-1)) - (-(-1))$
$|A| = (1 + 4) - 1$
$|A| = 5 - 1 = 4$.
તેથી,$A(\text{adj } A) = |A|I = 4I$.

(A) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$.
વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \text{diag}(a, b, c)$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \text{diag}(a^{-1}, b^{-1}, c^{-1})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \begin{bmatrix} \omega & 0 & 0 \\ 0 & \omega^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & (\omega^2)^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ થાય.
આમ,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી $|A| \neq 0$.
આપેલ સમીકરણ: $(A+I)(A-I) = 0$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $A^2 - AI + IA - I^2 = 0$.
કારણ કે $AI = IA = A$ અને $I^2 = I$,તેથી આપણને $A^2 - I = 0$ મળે છે.
તેથી,$A^2 = I$.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1}A^2 = A^{-1}I$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $A = A^{-1}$ થાય છે.
હવે,$A + A^{-1}$ પદમાં $A^{-1} = A$ મૂકતા,આપણને $A + A = 2A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (x \times 0) - (1 \times 1) = -1$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A = A^{-1}$,તેથી શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 0$ અને $0 = -x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી $|A| \neq 0$.
આપેલ સમીકરણ $(A-2I)(A-4I) = 0$ છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $A^2 - 6A + 8I = 0$ થાય છે.
$A$ અસામાન્ય હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે. સમીકરણની બંને બાજુએ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(A^2 - 6A + 8I) = A^{-1}(0)$
$A - 6I + 8A^{-1} = 0$
$A + 8A^{-1}$ માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$A + 8A^{-1} = 6I$.

(D) ધારો કે $p$ એ કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 25\% = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $q$ એ કેસ ન ઉકેલાવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
$n = 6$ પ્રયત્નો માટે,આપણે દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=r) = {^nC_r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણને ઓછામાં ઓછા $5$ કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના જોઈએ છે,જે $P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6)$ છે.
$P(X=5) = {^6C_5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{1024} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4096}$.
$P(X=6) = {^6C_6} \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4096} \times 1 = \frac{1}{4096}$.
તેથી,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4096} + \frac{1}{4096} = \frac{19}{4096}$.

(A) $2$ સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શ અવકાશ $\{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X=5) = P(HH) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(TT) = \frac{1}{4}$
આપણે મધ્યક $E(X) = \sum p_i x_i = (5 \times \frac{1}{4}) + (2 \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ ગણીએ.
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = (5^2 \times \frac{1}{4}) + (2^2 \times \frac{1}{2}) + (1^2 \times \frac{1}{4}) = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} + 2 = \frac{13}{2} + 2 = \frac{17}{2}$ ગણીએ.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{17}{2} - (\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{2} - \frac{25}{4} = \frac{34-25}{4} = \frac{9}{4}$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે આપેલ p.d.f.: $f(x) = \begin{cases} 3(1 - 2x^2), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$
સંભાવનાની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $P\left(\frac{1}{4} < X < \frac{1}{3}\right) = \int_{1/4}^{1/3} 3(1 - 2x^2) \, dx$
$= 3 \left[ x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{1/4}^{1/3}$
$= 3 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{27} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{64} \right) \right]$
$= 3 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{81} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{96} \right) \right]$
$= 3 \left[ \frac{27-2}{81} - \frac{24-1}{96} \right] = 3 \left[ \frac{25}{81} - \frac{23}{96} \right]$
$= 3 \left[ \frac{25 \times 32 - 23 \times 27}{2592} \right] = 3 \left[ \frac{800 - 621}{2592} \right]$
$= 3 \times \frac{179}{2592} = \frac{179}{864}$

(A) અહીં $p = \frac{3}{4}$ છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $P(X \ge 1) \ge 0.9375$.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
તેથી,$1 - P(X = 0) \ge 0.9375$.
$1 - ^nC_0 (p^0) (q)^n \ge 0.9375$.
$1 - (\frac{1}{4})^n \ge 0.9375$.
$1 - 0.9375 \ge (\frac{1}{4})^n$.
$0.0625 \ge (\frac{1}{4})^n$.
કારણ કે $0.0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$,તેથી $\frac{1}{16} \ge (\frac{1}{4})^n$.
$(\frac{1}{4})^2 \ge (\frac{1}{4})^n$.
આધાર $1$ કરતા નાનો હોવાથી,ઘાતાંકો માટે અસમતા ઉલટાઈ જશે: $n \ge 2$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(B) મુખ્ય વિચાર: $p + q = 1$ અને $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ નો ઉપયોગ કરો.
આપેલ છે કે $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt{3pq}$ છે,તેથી વિચરણ $Var(X) = (\sqrt{3pq})^2 = 3pq$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યક $E(X) = 3p$ છે.
સૂત્ર $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3pq = E(X^2) - (3p)^2$
$E(X^2) = 3pq + 9p^2$.
ચૂકી $p + q = 1$,આપણે $q = 1 - p$ મૂકી શકીએ:
$E(X^2) = 3p(1 - p) + 9p^2$
$E(X^2) = 3p - 3p^2 + 9p^2$
$E(X^2) = 3p + 6p^2$
$E(X^2) = 3p(1 + 2p)$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $x$ નું p.d.f. $f(x) = \frac{1}{4a}$ છે,જ્યાં $0 < x < 4a$.
આપણને સમીકરણ $P(x < \frac{3a}{2}) = k P(x > \frac{5a}{2})$ આપેલ છે.
ડાબી બાજુની ગણતરી કરતા: $P(x < \frac{3a}{2}) = \int_{0}^{\frac{3a}{2}} \frac{1}{4a} dx = \frac{1}{4a} [x]_{0}^{\frac{3a}{2}} = \frac{1}{4a} \times \frac{3a}{2} = \frac{3}{8}$.
જમણી બાજુની ગણતરી કરતા: $P(x > \frac{5a}{2}) = \int_{\frac{5a}{2}}^{4a} \frac{1}{4a} dx = \frac{1}{4a} [x]_{\frac{5a}{2}}^{4a} = \frac{1}{4a} (4a - \frac{5a}{2}) = \frac{1}{4a} \times \frac{3a}{2} = \frac{3}{8}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{8} = k \times \frac{3}{8}$.
તેથી,$k = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 18$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 12$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $q = \frac{2}{3}$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) સંભાવના $P(a \leq x \leq b)$ એ $F(b) - F(a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F(x) = \frac{x-25}{10}$.
આપણે $P(27 \leq x \leq 33) = F(33) - F(27)$ શોધવાનું છે.
$F(33) = \frac{33-25}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$.
$F(27) = \frac{27-25}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$.
તેથી,$P(27 \leq x \leq 33) = 0.8 - 0.2 = 0.6 = \frac{3}{5}$.

(A) કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = K + 3K + 5K + 7K + 8K + K = 1$
$25K = 1 \implies K = \frac{1}{25}$
આપણે $P(2 \leq X < 5)$ શોધવાની જરૂર છે,જેમાં $X = 2, 3, 4$ ના મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે.
$P(2 \leq X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$= 3K + 5K + 7K = 15K$
$K = \frac{1}{25}$ મૂકતા:
$= 15 \times \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z=6x+8y$ છે. શરતો $x-y \geq 0$,$x+3y \leq 12$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $x-y=0$ અને $x+3y=12$ રેખાઓ દોરીએ છીએ.
$x-y=0$ અને $x+3y=12$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $x=y$ ને $x+3y=12$ માં મૂકતા,$4y=12$ મળે છે,તેથી $y=3$ અને $x=3$. આમ,છેદબિંદુ $B(3, 3)$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ ($x=0$ હોય ત્યારે $x+3y=12$ પરથી),અને $B(3, 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $z=6x+8y$ ની કિંમત તપાસતા:
$O(0, 0)$ પર: $z = 6(0) + 8(0) = 0$.
$A(0, 4)$ પર: $z = 6(0) + 8(4) = 32$.
$B(3, 3)$ પર: $z = 6(3) + 8(3) = 18 + 24 = 42$.
મહત્તમ કિંમત $42$ છે.

(D) આપેલ છે કે $c = (x-2)a + b$ અને $d = (2x+1)a - b$ સમરેખ સદિશો છે.
$a$ અને $b$ અસમરેખ હોવાથી,આપણે $c = \lambda d$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
$(x-2)a + b = \lambda((2x+1)a - b)$
$(x-2)a + b = \lambda(2x+1)a - \lambda b$
$a$ અને $b$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x-2 = \lambda(2x+1)$ અને $1 = -\lambda$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x-2 = -1(2x+1)$
$x-2 = -2x-1$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(C) રેખાની દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે શરત $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ નું પાલન થવું જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(\sqrt{\frac{1}{5}})^2 + (-\sqrt{\frac{1}{2}})^2 + (\sqrt{\frac{3}{10}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{2+5+3}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq 1$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$.
વિકલ્પ $C$ માટે વર્ગોનો સરવાળો $1$ થતો નથી,તેથી તે રેખાની દિકકોસાઇન હોઈ શકે નહીં.

(D) સમતલો $x+2y+3z-4=0$ અને $4x+3y+2z-1=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$ છે.
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x=0, y=0, z=0$ મૂકતા:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0-1) = 0
\Rightarrow -4 - \lambda = 0
\Rightarrow \lambda = -4$.
હવે $\lambda = -4$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+2y+3z-4) - 4(4x+3y+2z-1) = 0
\Rightarrow x+2y+3z-4 - 16x - 12y - 8z + 4 = 0
\Rightarrow -15x - 10y - 5z = 0
\Rightarrow 3x + 2y + z = 0$.
સમતલ $ax+by+cz+d=0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ થાય.
તેથી,સમતલ $3x+2y+z=0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $3, 2, 1$ મળે છે.

(D) મુખ્ય વિચાર: જો રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ:
$\frac{2x-4}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \frac{x-2}{\lambda/2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$ $(i)$
અને $\frac{x-1}{1} = \frac{3y-1}{\lambda} = \frac{z-2}{1} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-1/3}{\lambda/3} = \frac{z-2}{1}$ (ii)
રેખાઓ $(i)$ અને (ii) પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિક-ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\frac{\lambda}{2})(1) + (2)(\frac{\lambda}{3}) + (1)(1) = 0$
$\frac{\lambda}{2} + \frac{2\lambda}{3} + 1 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $6$ વડે ગુણતા:
$3\lambda + 4\lambda + 6 = 0$
$7\lambda = -6$
$\lambda = -\frac{6}{7}$

(A) આપેલ છે કે $\triangle PQR$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
તેથી,સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ એકબીજાને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{QP} \cdot \vec{QR} = 0$.
સૌ પ્રથમ,સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ શોધો:
$\vec{QP} = (6-1, 10-0, 10-(-5)) = (5, 10, 15)$
$\vec{QR} = (6-1, -10-0, \lambda-(-5)) = (5, -10, \lambda+5)$
હવે,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (5)(5) + (10)(-10) + (15)(\lambda+5) = 0$
$25 - 100 + 15\lambda + 75 = 0$
$-75 + 15\lambda + 75 = 0$
$15\lambda = 0$
$\lambda = 0$

(C) ધારો કે આપેલી રેખાઓ:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = k_1$
$L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-\lambda}{2}=\frac{z}{1} = k_2$
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k_1+1, 3k_1-1, 4k_1+1)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k_2+3, 2k_2+\lambda, k_2)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો એવા $k_1, k_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$2k_1+1 = k_2+3 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 2$ $(i)$
$4k_1+1 = k_2 \Rightarrow 4k_1 - k_2 = -1$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4k_1 - k_2) - (2k_1 - k_2) = -1 - 2$
$2k_1 = -3 \Rightarrow k_1 = -\frac{3}{2}$
$k_1$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$4(-\frac{3}{2}) - k_2 = -1 \Rightarrow -6 - k_2 = -1 \Rightarrow k_2 = -5$
હવે,$y$-યામને સરખાવતા:
$3k_1 - 1 = 2k_2 + \lambda$
$3(-\frac{3}{2}) - 1 = 2(-5) + \lambda$
$-\frac{9}{2} - 1 = -10 + \lambda$
$-\frac{11}{2} = -10 + \lambda$
$\lambda = 10 - \frac{11}{2} = \frac{20-11}{2} = \frac{9}{2}$

(C) બિંદુઓ $P(6, -1, 2)$,$Q(8, -7, 2\lambda)$ અને $R(5, 2, 4)$ સમરેખ હોવાથી,રેખાખંડ $PQ$ અને $PR$ ના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
$PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(8-6, -7-(-1), 2\lambda-2) = (2, -6, 2\lambda-2)$ છે.
$PR$ ના દિશા ગુણોત્તર $(5-6, 2-(-1), 4-2) = (-1, 3, 2)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,દિશા ગુણોત્તરનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = \frac{2\lambda-2}{2}$
$-2 = -2 = \lambda-1$
છેલ્લા ભાગને સરખાવતા: $-2 = \lambda-1$,તેથી $\lambda = -1$ મળે છે.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_1} = (2, -2, 1)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = 0$
તેથી,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P(4, -2, -5)$ આપેલ છે.
રેખાખંડ $OP$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{OP}$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ બનશે.
આમ,અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(4 - 0, -2 - 0, -5 - 0) = (4, -2, -5)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$4x - 2y - 5z - 45 = 0$ અથવા $4x - 2y - 5z = 45$ મળે છે.

(D) સમતલ $x-2y+2z+4=0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x-2y+2z+k=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં બિંદુ $(1, 2, 3)$ અને અંતર $d=1$ આપેલ છે,તેથી:
$1 = \frac{|1(1)-2(2)+2(3)+k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$
$1 = \frac{|1-4+6+k|}{\sqrt{1+4+4}}$
$1 = \frac{|3+k|}{\sqrt{9}}$
$|3+k| = 3$
આનો અર્થ એ છે કે $3+k = 3$ અથવા $3+k = -3$.
કિસ્સો $1$: $3+k = 3 \Rightarrow k = 0$. સમીકરણ $x-2y+2z=0$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $3+k = -3 \Rightarrow k = -6$. સમીકરણ $x-2y+2z-6=0$ મળે છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણો $x-2y+2z=0$ અને $x-2y+2z-6=0$ છે.

(A) બિંદુઓ $(-3, 1, 2)$ અને $(2, 3, 4)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2 - (-3)), (3 - 1), (4 - 2)$ એટલે કે $5, 2, 2$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ થશે.
બિંદુ $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\vec{r} - (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ મળે.
જમણી બાજુનો અદિશ ગુણાકાર કરતા: $(-1)(5) + (2)(2) + (1)(2) = -5 + 4 + 2 = 1$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 1$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદ $(x, y, z)$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ છે.
અહીં સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 5z - 3 = 0$ છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-1} = \frac{z - 0}{5} = -\frac{2(0) - 1(0) + 5(0) - 3}{2^2 + (-1)^2 + 5^2}$.
$\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{5} = -\frac{-3}{4 + 1 + 25} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
દરેક ભાગને $\frac{1}{10}$ સાથે સરખાવતા:
$x = 2 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$.
$y = -1 \times \frac{1}{10} = -\frac{1}{10}$.
$z = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{1}{5}, -\frac{1}{10}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) ધારો કે $E = \sin \left[3 \sin ^{-1}(0.4)\right]$.
$\sin ^{-1}(0.4) = \theta$ લેતા,$\sin \theta = 0.4$ મળે.
નિત્યસમ $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 3(0.4) - 4(0.4)^3$
$E = 1.2 - 4(0.064)$
$E = 1.2 - 0.256$
$E = 0.944$

(B) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$.
આપેલ સદિશો $x \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ અને $\hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}$ છે.
તેથી,$\frac{x}{1} = \frac{-3}{y} = \frac{7}{-z} = k$.
આના પરથી,આપણને $x = k$,$y = -\frac{3}{k}$,અને $z = -\frac{7}{k}$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતોને $\frac{x y^2}{z}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x y^2}{z} = \frac{k \cdot (-\frac{3}{k})^2}{-\frac{7}{k}} = \frac{k \cdot \frac{9}{k^2}}{-\frac{7}{k}} = \frac{\frac{9}{k}}{-\frac{7}{k}} = -\frac{9}{7}$.

(A) આપણી પાસે પદ $a \cdot[(b+c) \times(a+b+c)]$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,કૌંસની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(b+c) \times(a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$) અને $c \times b = -(b \times c)$,આ પદનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થશે:
$(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
હવે,$a$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$a \cdot [(b \times a) + (c \times a)] = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a)$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,$a \cdot (b \times a) = [a \ b \ a]$ અને $a \cdot (c \times a) = [a \ c \ a]$.
કોઈપણ સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટમાં બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે,તેથી $[a \ b \ a] = 0$ અને $[a \ c \ a] = 0$.
આમ,અંતિમ પરિણામ $0 + 0 = 0$ મળે છે.

(B) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$.
આપેલ સદિશો $-3 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k}$,$3 \hat{i}-7 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ અને $7 \hat{i}-5 \hat{j}-3 \hat{k}$ માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $272$ છે.
$\begin{vmatrix} -3 & 7 & -3 \\ 3 & -7 & \lambda \\ 7 & -5 & -3 \end{vmatrix} = 272$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-3((-7)(-3) - (-5)(\lambda)) - 7((3)(-3) - (7)(\lambda)) - 3((3)(-5) - (7)(-7)) = 272$
$-3(21 + 5\lambda) - 7(-9 - 7\lambda) - 3(-15 + 49) = 272$
$-63 - 15\lambda + 63 + 49\lambda - 3(34) = 272$
$34\lambda - 102 = 272$
$34\lambda = 374$
$\lambda = \frac{374}{34} = 11$.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $r = (2 \hat{i} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i}) + \mu(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k})$ છે.
આ સમતલ બિંદુ $a = 2 \hat{i} + \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $b = \hat{i}$ તથા $c = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનું અદિશ ગુણાકાર સ્વરૂપ $r \cdot (b \times c) = a \cdot (b \times c)$ છે.
પ્રથમ,અભિલંબ સદિશ $n = b \times c$ શોધીએ:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
અહીં $\alpha = a \cdot n = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$.
તેથી,$\alpha = 2$.

(D) ત્રણ સદિશો $a, b, c$ નો અદિશ ત્રિગુણક $a \cdot(b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તે ચક્રીય ગુણધર્મનું પાલન કરે છે: $a \cdot(b \times c) = b \cdot(c \times a) = c \cdot(a \times b)$.
આપેલ પદ $w \cdot(u \times v)$ માટે,ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,તે $u \cdot(v \times w)$ અને $v \cdot(w \times u)$ ને સમાન છે.
વળી,ડોટ પ્રોડક્ટ ક્રમનો નિયમ પાળતું હોવાથી,$w \cdot(u \times v) = (u \times v) \cdot w$ થાય.
જોકે,$v \cdot(u \times w) = -(v \cdot(w \times u)) = -(w \cdot(u \times v))$ થાય.
તેથી,$v \cdot(u \times w)$ એ $w \cdot(u \times v)$ ને સમાન નથી.

(B) સહ-અંતિમ ધાર દર્શાવતા સદિશો નીચે મુજબ છે:
$AB = (5-3)\hat{i} + (-2-7)\hat{j} + (-3-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$
$AC = (-4-3)\hat{i} + (5-7)\hat{j} + (6-4)\hat{k} = -7\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$AD = (1-3)\hat{i} + (2-7)\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -2\hat{i} - 5\hat{j} - 1\hat{k}$
સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[AB, AC, AD]| = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|$ દ્વારા મળે છે.
આ નિશ્ચાયકના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું છે:
$|\begin{vmatrix} 2 & -9 & -7 \\ -7 & -2 & 2 \\ -2 & -5 & -1 \end{vmatrix}|$
$= |2(2 - (-10)) - (-9)(7 - (-4)) + (-7)(35 - 4)|$
$= |2(12) + 9(11) - 7(31)|$
$= |24 + 99 - 217|$
$= |123 - 217| = |-94| = 94$ ઘન એકમ.

(C) આપેલ છે કે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ શૂન્યતર,અસમતલીય સદિશો છે:
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{p}+\vec{q}-\vec{r}, \vec{p}-\vec{q}, \vec{q}-\vec{r}]$ ને $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ ના સહગુણકોના નિશ્ચાયક અને $[\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$[\vec{p}+\vec{q}-\vec{r}, \vec{p}-\vec{q}, \vec{q}-\vec{r}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$= [1((-1)(-1) - (0)(1)) - 1((1)(-1) - (0)(0)) + (-1)((1)(1) - (-1)(0))] [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
$= [1(1) - 1(-1) - 1(1)] [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
$= (1 + 1 - 1) [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
$= [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$

(C) સમાંતરબાજુ ફલક કે જેની ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય તેનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં ધાર $\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \text{ અને } \vec{c}+\vec{a}$ છે.
ઘનફળ $V = [(\vec{a}+\vec{b}) (\vec{b}+\vec{c}) (\vec{c}+\vec{a})]$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}] = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot ((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}))$.
સદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,તેથી તે $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}$ માં પરિણમે છે.
હવે,$V = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a})$.
$V = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a})$ જેવા પદો શૂન્ય થાય છે કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{a}$ ને લંબ છે.
માત્ર $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ અને $\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$ બાકી રહે છે.
$V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.