KCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ વિધાન $P(n):$ " $2^{2n}-1$ એ તમામ $n \in N$ માટે $k$ વડે વિભાજ્ય છે ".
આપણે $2^{2n}-1$ ને $(2^2)^n - 1 = 4^n - 1$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$4^n - 1 = (3+1)^n - 1$.
$(3+1)^n$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(3+1)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2}(3^2) + \dots + 3^n$.
તેથી,$4^n - 1 = (1 + 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n) - 1 = 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n$.
આ પદ તમામ $n \in N$ માટે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$k$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) આપેલ અસમતા $|x+5| \geq 10$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|u| \geq a$ એટલે $u \leq -a$ અથવા $u \geq a$ થાય.
તેથી,$x+5 \leq -10$ અથવા $x+5 \geq 10$.
પ્રથમ ભાગ ઉકેલતા: $x \leq -10 - 5 \Rightarrow x \leq -15$.
બીજો ભાગ ઉકેલતા: $x \geq 10 - 5 \Rightarrow x \geq 5$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \in (-\infty, -15] \cup [5, \infty)$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{96}=a+ib$.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
હવે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-i)^{96} = a+ib$.
$96$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-i)^{96} = i^{96}$.
$i^{96} = (i^4)^{24} = (1)^{24} = 1$.
તેથી,$1 = a+ib$,જેને $1+0i = a+ib$ તરીકે લખી શકાય.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$a=1$ અને $b=0$ મળે છે.
આમ,$(a, b) = (1, 0)$.

(B) ધારો કે રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n$ છે.
હાથ મિલાવવાની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,કારણ કે હાથ મિલાવવાની ક્રિયા $2$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે થાય છે.
આપેલ છે કે,${}^{n}C_{2} = 45$.
સૂત્ર ${}^{n}C_{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
વ્યક્તિઓની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $n = 10$.

(D) કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન હોય તે માટે,આપણે પહેલા $5$ છોકરીઓને હરોળમાં ગોઠવીશું. $5$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
$5$ છોકરીઓ દ્વારા $6$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે: $\_ G_1 \_ G_2 \_ G_3 \_ G_4 \_ G_5 \_$.
આપણે $6$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને તેમાં $3$ છોકરાઓને બેસાડવાના છે. $6$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_{3} = 20$ છે.
$3$ છોકરાઓને આ $3$ પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5! \times ^{6}C_{3} \times 3! = 120 \times 20 \times 6 = 14400$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે.
$a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$b-a = c-b = d$,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આથી $b-c = -d$,$c-a = 2d$,અને $a-b = -d$ મળે.
$x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$y^2 = xz$ થાય.
હવે,પદાવલિ $E = x^{b-c} \cdot y^{c-a} \cdot z^{a-b}$ લઈએ.
કિંમતો મૂકતા,$E = x^{-d} \cdot y^{2d} \cdot z^{-d}$ મળે.
$E = (xz)^{-d} \cdot (y^2)^d$.
$xz = y^2$ હોવાથી,$E = (y^2)^{-d} \cdot (y^2)^d = (y^2)^0 = 1$.

(A) $(x^2 - x^{-2})^{16}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (x^2)^{16-r} (-x^{-2})^r$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-2r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-4r}$
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાત $0$ હોવો જોઈએ:
$32 - 4r = 0 \implies 4r = 32 \implies r = 8$
$r = 8$ મૂકતા:
$T_{8+1} = ^{16}C_{8} (-1)^8 x^{32-4(8)} = ^{16}C_{8} (1) (1) = ^{16}C_{8}$

(A) $ax + by + c = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $ax + by + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ રેખા $3x - 4y + 2 = 0$ છે,તેથી સમાંતર રેખા $3x - 4y + k = 0$ થશે.
આ રેખા બિંદુ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = -2$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3(-2) - 4(3) + k = 0$
$-6 - 12 + k = 0$
$-18 + k = 0$
$k = 18$
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y + 18 = 0$ છે.

(D) આપેલ છે કે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ હોવાથી,$2a(\sqrt{2}) = 16$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 32$ અને $b^2 = 32$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 32$ થાય છે.

(D) આપણને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x}$ આપેલ છે.
આની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ તપાસીએ.
જમણી બાજુની લક્ષ $(x \rightarrow 0^{+})$ માટે,$|x| = x$,તેથી $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x} = 1$.
ડાબી બાજુની લક્ષ $(x \rightarrow 0^{-})$ માટે,$|x| = -x$,તેથી $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x}{x} = -1$.
અહીં ડાબી બાજુની લક્ષ $\neq$ જમણી બાજુની લક્ષ હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "$72$ એ $2$ અને $3$ વડે વિભાજ્ય છે".
આને $p = q \wedge r$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $q$ એ "$72$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે" અને $r$ એ "$72$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે".
સંયોજનનો નિષેધ ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sim(q \wedge r) \equiv \sim q \vee \sim r$.
અહીં,$\sim q$ એ "$72$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી" અને $\sim r$ એ "$72$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી".
તેથી,નિષેધ "$72$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી અથવા $72$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી" છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=64$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ સાથે સરખાવતા,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{64} = 8$ મળે છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે તે ચોરસ હોય.
આ ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,જે $d = 2r = 2 \times 8 = 16$ છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^{2} + a^{2} = d^{2}$.
$2a^{2} = 16^{2} = 256$.
$a^{2} = 128$.
તેથી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^{2} = 128 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(C) આપેલ છે: $P(A) = 0.5$ અને $P(B) = 0.3$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = 0$.
$A$ અથવા $B$ બનવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.3 - 0 = 0.8$ છે.
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$ છે.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - 0.8 = 0.2$.

(C) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે $7$ થી વધુ સરવાળો મળવાની સંભાવના શોધવાની છે.
$7$ થી વધુ સરવાળો ધરાવતા પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં ફેરવતા:
$\frac{4}{5} = 0.8$

(A) બેટરીની કુલ સંખ્યા = $10$.
ડેડ બેટરીની સંખ્યા = $4$.
આપણે બદલ્યા વગર $3$ બેટરી પસંદ કરવાની છે.
પ્રથમ બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{4}{10}$.
એક ડેડ બેટરી પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલી બેટરીની સંખ્યા $9$ છે અને બાકી રહેલી ડેડ બેટરીની સંખ્યા $3$ છે.
બીજી બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{3}{9}$.
બે ડેડ બેટરી પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલી બેટરીની સંખ્યા $8$ છે અને બાકી રહેલી ડેડ બેટરીની સંખ્યા $2$ છે.
ત્રીજી બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{2}{8}$.
તેથી,ત્રણેય બેટરી ડેડ હોવાની સંભાવના = $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $xy + yz = 0$ છે.
$y$ સામાન્ય લેતા,આપણને $y(x + z) = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણ ત્યારે સંતોષાય છે જો $y = 0$ અથવા $x + z = 0$ હોય.
$3D$ અવકાશમાં,$y = 0$ એ $xz$-સમતલ દર્શાવે છે અને $x + z = 0$ એ $y$-અક્ષમાંથી પસાર થતું સમતલ દર્શાવે છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$ અને $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$ છે.
અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સમતલો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ બિંદુપથ પરસ્પર લંબ સમતલોની જોડી દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+4 & -4-4 \\ -4-4 & 4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ -8 & 8 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
હવે,$A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \cdot A = (2^2 A) \cdot A = 2^2 A^2 = 2^2 (2^2 A) = 2^4 A$.
આ પેટર્ન જોતા:
$A^1 = 2^0 A$
$A^2 = 2^2 A$
$A^3 = 2^4 A$
$A^4 = 2^6 A$
સામાન્ય રીતે,$A^n = 2^{2(n-1)} A$.
તેને $A^n = 2^k A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2(n-1)$ મળે છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$.
ડાબી બાજુ શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{c}1(x) + 1(y) \\ -1(x) + 1(y)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{c}x+y \\ -x+y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x + y = 2$ (સમીકરણ $1$)
$-x + y = 4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (-x + y) = 2 + 4$
$2y = 6 \implies y = 3$
સમીકરણ $1$ માં $y = 3$ મૂકતા:
$x + 3 = 2 \implies x = -1$
આમ,$x = -1$ અને $y = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $ A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $.
તેથી $ A $ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $ A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $ થાય.
હવે,ગુણાકાર $ A A^{\prime} $ ની ગણતરી કરતા:
$ A A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $
$ = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} $
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I $.

(D) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
નિત્યસમ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ સ્વરૂપના કોઈપણ પદ માટે,પરિણામ $4(n^x)(n^{-x}) = 4(n^0) = 4$ મળે છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ પાડતા,પ્રથમ સ્તંભ આ મુજબ બને છે:
$C_1 = \begin{bmatrix} (5^x + 5^{-x})^2 - (5^x - 5^{-x})^2 \\ (6^x + 6^{-x})^2 - (6^x - 6^{-x})^2 \\ (7^x + 7^{-x})^2 - (7^x - 7^{-x})^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$.
હવે નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc} 4 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$ છે.
પ્રથમ સ્તંભમાં સમાન ઘટકો $(4)$ હોવાથી,આપણે નિશ્ચાયકમાંથી $4$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$.
સ્તંભ $1$ અને સ્તંભ $3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $4 \times 0 = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $ \Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a \\ b-c & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{array}\right| $.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $ C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2} $ લાગુ કરતા:
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a+b+c \\ b-c & c+a & a+b+c \\ c-a & a+b & a+b+c\end{array}\right| $
$ C_{3} $ માંથી $ (a+b+c) $ સામાન્ય લેતા:
$ \Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & 1 \\ b-c & c+a & 1 \\ c-a & a+b & 1\end{array}\right| $
$ R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2} $ અને $ R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{3} $ લાગુ કરતા:
$ \Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}a-2b+c & b-a & 0 \\ b-2c+a & c-b & 0 \\ c-a & a+b & 1\end{array}\right| $
$ C_{3} $ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$ \Delta = (a+b+c) [ (a-2b+c)(c-b) - (b-a)(b-2c+a) ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ (ac - ab - 2bc + 2b^{2} + c^{2} - bc) - (b^{2} - 2bc + ab - ab + 2ac - a^{2}) ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ ac - ab - 3bc + 2b^{2} + c^{2} - b^{2} + 2bc - 2ac + a^{2} ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac ] $
$ \Delta = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc $.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ અને $(x_{3}, y_{3})$ હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{2} \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = k$
આથી,$\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = 2k$ થાય.
હવે,આપેલ નિશ્ચાયક ધ્યાનમાં લો:
$D = \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 4 \\ x_{2} & y_{2} & 4 \\ x_{3} & y_{3} & 4\end{array}\right|$
ત્રીજા સ્તંભમાંથી $4$ સામાન્ય લેતા:
$D = 4 \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = 4(2k) = 8k$.
તેથી,નિશ્ચાયકનો વર્ગ:
$D^{2} = (8k)^{2} = 64k^{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ ક્રમના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|kA| = k^n|A|$ છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $n = 3$ છે અને અદિશ અચળાંક $k = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|5A| = 5^3 |A|$
$|5A| = 125|A|$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $ \theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $. તેથી $ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} $.
આપણે $ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) $ ની કિંમત શોધવાની છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} $.
$ \cos \theta $ ની કિંમત મૂકતા:
$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}} $.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$ \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)^2}{5-4}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2 $.
આમ,કિંમત $ \sqrt{5}-2 $ છે.

(B) આપેલ છે કે,$\sin^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{2\pi}{5} \quad (1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત નિત્યસમ: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ અને $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2}$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$ અને $\cos^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\pi - (\cos^{-1} x + \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{3\pi}{5}$

(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = |x| + x$ અને $g(x) = |x| - x$ છે.
$x < 0$ માટે,આપણી પાસે $|x| = -x$ છે.
તેથી,$g(x) = -x - x = -2x$.
હવે,આપણે $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$g(x) = -2x$ ને $f(x)$ માં મૂકતા,આપણને $f(-2x) = |-2x| + (-2x)$ મળે છે.
કારણ કે $x < 0$,તેથી $-2x > 0$,એટલે કે $|-2x| = -2x$.
તેથી,$f(-2x) = -2x - 2x = -4x$.

(A) આપેલ વિધેય:
$f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$
$f(-1) + f(2) + f(4)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક પદની અલગથી ગણતરી કરીએ:
$1$. $f(-1)$ માટે: કારણ કે $-1 \leq 1$,આપણે ત્રીજી શરત $f(x) = 3x$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ માટે: કારણ કે $1 < 2 \leq 3$,આપણે બીજી શરત $f(x) = x^2$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ માટે: કારણ કે $4 > 3$,આપણે પ્રથમ શરત $f(x) = 2x$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$f(4) = 2(4) = 8$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(C) ધારો કે $ A $ એ $ n = 6 $ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે.
$ A $ થી $ A $ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $ n^{n} = 6^{6} $ છે.
જો વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijection) હોય,તો તેની સંખ્યા $ n ! = 6 ! $ થાય.
જે વિધેયો એક-એક અને વ્યાપ્ત નથી,તેમની સંખ્યા શોધવા માટે કુલ વિધેયોમાંથી એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા બાદ કરવી પડે.
તેથી,માંગેલ વિધેયોની સંખ્યા $ 6^{6} - 6 ! $ છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ $x=0$ આગળ સમાન હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$LHL$ ની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$
અંશ અને છેદને $(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})$ વડે ગુણતા:
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx) - (1-kx)}{x(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2k}{\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx}} = \frac{2k}{1+1} = k$.
હવે,$RHL$ ની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{2(0)+1}{0-1} = -1$.
વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$LHL$ = $RHL$ લેતા:
$k = -1$.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ એ $x=a$ આગળ સતત હોય તે માટે,લક્ષ $\lim_{x \to a} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ અને તે $f(a)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અહીં $f(x) = \frac{\log_{e} x}{x-1}$ જ્યારે $x \neq 1$ અને $f(1) = k$ આપેલ છે.
આપણે $\lim_{x \to 1} \frac{\log_{e} x}{x-1}$ ની કિંમત શોધવી પડશે.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે લોપિટલના નિયમ ($L$'$H$ôpital's Rule) નો ઉપયોગ કરીશું:
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log_{e} x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
વિધેય $x=1$ આગળ સતત હોવાથી,$k = \lim_{x \to 1} f(x) = 1$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x - \frac{1}{x}$ છે.
વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(x^{-1})$
$f^{\prime}(x) = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$.
હવે,વિકલનમાં $x = -1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(-1) = 1 + \frac{1}{(-1)^{2}}$
$f^{\prime}(-1) = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $ \cos y = x \cos (a+y) $
આપણે $ x $ ને આ રીતે લખી શકીએ: $ x = \frac{\cos y}{\cos (a+y)} $
$ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને: $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $
$ 1 = \frac{\cos (a+y) \cdot (-\sin y \frac{dy}{dx}) - \cos y \cdot (-\sin (a+y) \frac{dy}{dx})}{\cos^2 (a+y)} $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y) \cos y - \cos (a+y) \sin y}{\cos^2 (a+y)} \right] $
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y-y)}{\cos^2 (a+y)} \right] $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin a}{\cos^2 (a+y)} \right] $
તેથી,$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a} $

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = |\cos x - \sin x|$ છે.
$x = \frac{\pi}{6}$ ની આસપાસ,$\cos x > \sin x$ હોવાથી,$f(x) = \cos x - \sin x$ થાય.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\cos x - \sin x) = -\sin x - \cos x$.
હવે $x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ અને $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$.

(D) આપેલ છે કે,$ y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}} $
વર્ગમૂળની નીચેનું પદ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતું હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$ y=\sqrt{x+y} $
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$ y^{2}=x+y $
બંને બાજુ $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(x+y) $
$ 2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} $
$ \frac{dy}{dx} $ માટે પદોને ગોઠવતા:
$ 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 $
$ \frac{dy}{dx}(2y - 1) = 1 $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1} $

(A) ધારો કે સમઘનની બાજુ $x$ મીટર છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dV = 3x^{2} dx$.
આપેલ છે કે બાજુમાં $3\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dx}{x} \times 100 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x} = 0.03$,અથવા $dx = 0.03x$.
$dV$ ના સૂત્રમાં $dx$ ની કિંમત મૂકતા:
$dV = 3x^{2} (0.03x) = 0.09x^{3} \text{ m}^{3}$.
આમ,ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $0.09x^{3} \text{ m}^{3}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{x}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln f(x) = x \ln x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
તેથી,$f'(x) = f(x)(\ln x + 1) = x^{x}(\ln x + 1)$.
સ્ટેશનરી પોઈન્ટ માટે $f'(x) = 0$ હોવું જોઈએ.
$x > 0$ માટે $x^{x} > 0$ હોવાથી,$\ln x + 1 = 0$ લેતા.
$\ln x = -1$.
તેથી,$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ મળે છે.

(C) સંકલન $ I = \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ ની ગણતરી કરવા માટે:
અંશ અને છેદને $ e^{-x} $ વડે ગુણતા:
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x})} d x $
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} d x $
ધારો કે $ u = e^{-x} + 1 $. તેથી $ du = -e^{-x} d x $,જેનો અર્થ છે કે $ e^{-x} d x = -du $.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$ I = \int \frac{-du}{u} $
$ I = -\ln |u| + C $
$ I = -\ln |e^{-x} + 1| + C $
લોગેરિધમની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$ I = -\ln \left| \frac{1}{e^{x}} + 1 \right| + C $
$ I = -\ln \left| \frac{1+e^{x}}{e^{x}} \right| + C $
ગુણધર્મ $ -\ln(a/b) = \ln(b/a) $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \ln \left| \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \right| + C $
આમ,સાચો વિકલ્પ $ C $ છે.

(C) સંકલન $ I = \int \frac{1}{\sqrt{3-6 x-9 x^{2}}} d x $ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિને પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ.
$ 3-6 x-9 x^{2} = 3 - (9 x^{2} + 6 x) = 3 - ((3 x)^{2} + 2(3 x)(1) + 1^{2} - 1) = 3 - ((3 x+1)^{2} - 1) = 4 - (3 x+1)^{2} $.
હવે,સંકલન $ I = \int \frac{1}{\sqrt{4-(3 x+1)^{2}}} d x $ બને છે.
ધારો કે $ u = 3x+1 $,તેથી $ du = 3 dx $,જેનો અર્થ છે કે $ dx = \frac{du}{3} $.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $ I = \int \frac{1}{\sqrt{2^{2}-u^{2}}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2}-u^{2}}} du $ મળે છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $ I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{u}{2}) + C $ મળે છે.
$ u = 3x+1 $ પાછું મૂકતા,આપણને $ I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{3x+1}{2}) + C $ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x$.
કારણ કે $\frac{1}{\sec x} = \cos x$,આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int e^{\sin x} (\sin x + 1) \cos x \, dx$.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^u (u + 1) \, du$.
$I = \int (u e^u + e^u) \, du$.
સંકલનના ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) ના સૂત્ર $\int (f(u) + f'(u)) e^u \, du = e^u f(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(u) = u$ અને $f'(u) = 1$ છે:
$I = e^u \cdot u + C$.
$u = \sin x$ પાછું મૂકતા:
$I = \sin x \cdot e^{\sin x} + C$.

(A) ધારો કે $ I = \int_{0}^{1/2} \frac{dx}{(1+x^{2}) \sqrt{1-x^{2}}} $.
આદેશ $ x = \sin \theta $ લેતા,$ dx = \cos \theta d\theta $.
જ્યારે $ x = 0, \theta = 0 $. જ્યારે $ x = 1/2, \theta = \pi/6 $.
સંકલન $ I = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos \theta d\theta}{(1+\sin^{2} \theta) \sqrt{1-\sin^{2} \theta}} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos \theta d\theta}{(1+\sin^{2} \theta) \cos \theta} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{d\theta}{1+\sin^{2} \theta} $ બને છે.
અંશ અને છેદને $ \cos^{2} \theta $ વડે ભાગતા: $ I = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sec^{2} \theta d\theta}{\sec^{2} \theta + \tan^{2} \theta} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sec^{2} \theta d\theta}{1 + 2\tan^{2} \theta} $.
ધારો કે $ u = \sqrt{2} \tan \theta $,તેથી $ du = \sqrt{2} \sec^{2} \theta d\theta $,એટલે કે $ \sec^{2} \theta d\theta = \frac{du}{\sqrt{2}} $.
સીમાઓ: $ \theta = 0 \implies u = 0 $; $ \theta = \pi/6 \implies u = \sqrt{2} \tan(\pi/6) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $.
આમ,$ I = \int_{0}^{\sqrt{2/3}} \frac{1}{1+u^{2}} \cdot \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\tan^{-1} u]_{0}^{\sqrt{2/3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}} $.

(B) સંકલન $ I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} $ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $ e^{x} $ વડે ગુણીને સંકલ્યને સરળ બનાવીએ:
$ I = \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{2x}+1} dx $
ધારો કે $ u = e^{x} $. તો $ du = e^{x} dx $ થાય.
જ્યારે $ x = 0 $,ત્યારે $ u = e^{0} = 1 $.
જ્યારે $ x = 1 $,ત્યારે $ u = e^{1} = e $.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$ I = \int_{1}^{e} \frac{du}{u^{2}+1} $
$ \frac{1}{u^{2}+1} $ નું સંકલન $ \tan^{-1}(u) $ છે.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$ I = [\tan^{-1}(u)]_{1}^{e} $
$ I = \tan^{-1}(e) - \tan^{-1}(1) $
કારણ કે $ \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} $,તેથી:
$ I = \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4} $

(A) ધારો કે $I = \int_{-2}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$. કારણ કે $f(x) = |x \cos \pi x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $I = 2 \int_{0}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$.
વિધેય $x \cos \pi x$ એ અંતરાલ $[0, 2]$ માં $x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{3}{2}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
તેથી,$I = 2 \left[ \int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx - \int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx + \int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx \right]$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \cos \pi x \, dx = \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2}$.
સંકલનની ગણતરી કરતા:
$1$. $\int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}$.
$2$. $\int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{1/2}^{3/2} = -\frac{2}{\pi}$.
$3$. $\int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{3/2}^{2} = \frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $I = 2 [(\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}) - (-\frac{2}{\pi}) + (\frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2})] = 2 [\frac{4}{\pi}] = \frac{8}{\pi}$.

(C) $x = 0$ થી $x = \pi$ સુધી વક્ર $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx$
કારણ કે $x \in [0, \pi/2]$ માટે $\cos x \ge 0$ અને $x \in [\pi/2, \pi]$ માટે $\cos x \le 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$= [\sin x]_{0}^{\pi/2} + [-\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + (-(\sin(\pi) - \sin(\pi/2)))$
$= (1 - 0) + (-(0 - 1))$
$= 1 + 1 = 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) વક્ર $y=x$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=-1$ તથા $x=2$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ $y$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન છે:
$Area = \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
આપણે સંકલનને $x=0$ આગળ વિભાજિત કરીશું કારણ કે વિધેયનું ચિહ્ન બદલાય છે:
$Area = \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{2} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ છે:
$Area = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
$Area = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$Area = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$Area = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sqrt[3]{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}$
ઘાત શોધવા માટે,આપણે કરણી દૂર કરવી પડશે. સમીકરણની બંને બાજુઓનો ઘન કરતા:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલું સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
તેથી,ઘાત $3$ છે અને કક્ષા $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = 3$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x \frac{dy}{dx} = y + 3$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{dx}{x}$ મળે છે.
આના પરિણામે $\ln|y + 3| = \ln|x| + \ln|c|$ મળે છે,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $y + 3 = cx$ અથવા $y = cx - 3$ મળે છે.
આ બિંદુ $(0, -3)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓનું કુટુંબ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} + y(1 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$
અહીં,$P = 1 - \frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx}$
$I.F. = e^{x - \ln|x|} = e^{x} \cdot e^{-\ln|x|} = e^{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

(B) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ સદિશો $\vec{u} = a\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i}+b\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{w} = \hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}$ છે.
સમતલીય હોવાની શરત:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0$
$abc - a - b - c + 2 = 0$
$abc - (a + b + c) = -2$

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\mu \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
સદિશો લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\mu) + (\lambda)(1) + (2)(-1) = 0$
$\mu + \lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda + \mu = 2 \Rightarrow \mu = 2 - \lambda$ (સમીકરણ $1$)
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}|$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$
$1^2 + \lambda^2 + 2^2 = \mu^2 + 1^2 + (-1)^2$
$1 + \lambda^2 + 4 = \mu^2 + 1 + 1$
$\lambda^2 + 3 = \mu^2$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માં $\mu = 2 - \lambda$ મૂકતા:
$\lambda^2 + 3 = (2 - \lambda)^2$
$\lambda^2 + 3 = 4 - 4\lambda + \lambda^2$
$3 = 4 - 4\lambda$
$4\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{4}$
હવે,$\mu = 2 - \lambda$ નો ઉપયોગ કરીને $\mu$ શોધો:
$\mu = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
આમ,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{1}{4}, \frac{7}{4}\right)$.

(C) આપેલ છે કે,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=144$ અને $|\vec{a}|=4$.
આપણે સદિશો માટે લેગ્રાન્જની ઓળખ જાણીએ છીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$.
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$144 = (4)^{2} |\vec{b}|^{2}$.
$144 = 16 |\vec{b}|^{2}$.
$|\vec{b}|^{2} = \frac{144}{16} = 9$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\vec{b}| = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આપણે અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરવાની છે:
$(3\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) = 3\bar{a} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) + 2\bar{b} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b})$
$= 15(\bar{a} \cdot \bar{a}) - 18(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 12(\bar{b} \cdot \bar{b})$
$= 15|\bar{a}|^2 - 18(0) + 10(0) - 12|\bar{b}|^2$
$= 15(1)^2 - 12(1)^2$
$= 15 - 12 = 3$.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda $ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $ R $ એ $ R(\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda) $ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે $ P $ એ બિંદુ $ (1,6,3) $ છે. સદિશ $ \vec{PR} $ એ $ (\lambda-1, 2\lambda-5, 3\lambda-1) $ છે.
કારણ કે $ PR $ એ $ (1,2,3) $ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$ 1(\lambda-1) + 2(2\lambda-5) + 3(3\lambda-1) = 0 $
$ \lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 $
$ 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 $.
$ R $ માં $ \lambda = 1 $ મૂકતા,આપણને $ R(1, 3, 5) $ મળે છે.
$ R $ એ $ PQ $ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $ Q(x_1, y_1, z_1) $ એ $ P $ નું પ્રતિબિંબ છે,
$ \frac{x_1+1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = 1 $
$ \frac{y_1+6}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 0 $
$ \frac{z_1+3}{2} = 5 \Rightarrow z_1 = 7 $.
આમ,પ્રતિબિંબ $ Q $ એ $ (1,0,7) $ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $2x = 3y = -z$ અને $6x = -y = -4z$ છે.
પ્રથમ,આપણે સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા $2x = 3y = -z$ માટે,$6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ મળે છે. તેથી,દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ છે.
બીજી રેખા $6x = -y = -4z$ માટે,$12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ મળે છે. તેથી,દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(D) આપેલી રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ છે.
રેખા સમતલ $2x-4y+z=7$ પર આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
રેખા પરનું એક બિંદુ $(4, 2, k)$ છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x-4y+z=7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
વધુમાં,રેખાનો દિશા સદિશ $(1, 1, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $(2, -4, 1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ડોટ પ્રોડક્ટ તપાસતા: $(1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે. બિંદુ $(4, 2, 7)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,આખી રેખા સમતલ પર આવેલી છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(5, 5)$,$(0, 10)$,$(0, 20)$,અને $(15, 15)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 9y$ ની કિંમત મેળવીએ:
બિંદુ $(5, 5)$ પર: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
બિંદુ $(0, 10)$ પર: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
બિંદુ $(0, 20)$ પર: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
બિંદુ $(15, 15)$ પર: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $60$ છે,જે બિંદુ $(5, 5)$ પર મળે છે.

(D) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $z=x+4y$ અને મર્યાદાઓ:
$1) x+2y \leq 2$
$2) x+2y \geq 8$
$3) x, y \geq 0$
મર્યાદાઓનું વિશ્લેષણ:
મર્યાદા $(1)$ એ $x+2y=2$ રેખાની નીચેનો અથવા તેના પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે $(2,0)$ અને $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે. $0+2(0) \leq 2$ સત્ય હોવાથી,આ વિસ્તારમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે.
મર્યાદા $(2)$ એ $x+2y=8$ રેખાની ઉપરનો અથવા તેના પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે $(8,0)$ અને $(0,4)$ માંથી પસાર થાય છે. $0+2(0) \geq 8$ અસત્ય હોવાથી,આ વિસ્તારમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થતો નથી.
મર્યાદા $(3)$ ઉકેલને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
$(1)$ અને $(2)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિસ્તારોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $x+2y \leq 2$ અને $x+2y \geq 8$ ને સંતોષતા વિસ્તારો અલગ-અલગ છે. એવું કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બંને અસમતાઓનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,$LPP$ નો કોઈ શક્ય ઉકેલ નથી.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $ 17 $ છે.
બેકી સંખ્યા ધરાવતી ટિકિટો $ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 $ છે.
આમ,બેકી સંખ્યા ધરાવતી ટિકિટોની કુલ સંખ્યા $ 8 $ છે.
ધારો કે $ E_1 $ એ પ્રથમ ટિકિટ બેકી હોવાની ઘટના છે અને $ E_2 $ એ બીજી ટિકિટ બેકી હોવાની ઘટના છે.
પ્રથમ ટિકિટ બેકી હોવાની સંભાવના $ P(E_1) = \frac{8}{17} $ છે.
ટિકિટ પાછી મૂકવામાં આવતી નથી,તેથી બાકી રહેલી ટિકિટોની સંખ્યા $ 16 $ છે અને બાકી રહેલી બેકી ટિકિટોની સંખ્યા $ 7 $ છે.
બીજી ટિકિટ બેકી હોવાની શરતી સંભાવના $ P(E_2|E_1) = \frac{7}{16} $ છે.
બંને ટિકિટો બેકી સંખ્યા દર્શાવે તેની સંભાવના $ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{8}{17} \times \frac{7}{16} = \frac{7}{34} $ છે.

(B) સંભાવના વિતરણનો મધ્યક $(\mu) = \sum x_{i} P_{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu = (0 \times \frac{25}{36}) + (1 \times \frac{5}{18}) + (2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
વિચરણ $(\sigma^2) = \sum x_{i}^2 P_{i} - \mu^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\sum x_{i}^2 P_{i} = (0^2 \times \frac{25}{36}) + (1^2 \times \frac{5}{18}) + (2^2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{4}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
હવે,$\sigma^2 = \frac{7}{18} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{7}{18} - \frac{1}{9} = \frac{7-2}{18} = \frac{5}{18}$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{5}{18}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.