KCET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है कि $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान वाले दो कणों की गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^{2}}{2m}$ है।
चूंकि $K_{1} = K_{2}$ है,इसलिए $\frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$ होगा।
संवेग के अनुपात $\frac{p_{1}}{p_{2}}$ को ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{p_{1}^{2}}{p_{2}^{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}} = \frac{\sqrt{m_{1}}}{\sqrt{m_{2}}}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके संवेग का अनुपात $\sqrt{m_{1}}: \sqrt{m_{2}}$ है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से '$r$' दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण '$g$' का मान इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(r < R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$,जिसका अर्थ है $g \propto r$। यह एक रैखिक संबंध है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(r \geq R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{r^2}$। यह एक गैर-रैखिक,व्युत्क्रम-वर्ग का ह्रास है।
इसलिए,ग्राफ केंद्र $(r=0)$ से सतह $(r=R)$ तक एक रैखिक वृद्धि और पृथ्वी की त्रिज्या $(r > R)$ से अधिक दूरी के लिए एक गैर-रैखिक गिरावट को दर्शाता है। ग्राफ $B$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ है।
पृथ्वी की सतह के लिए,दूरी $r = R$ है,इसलिए पलायन वेग $V_{E} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह से $h = R$ ऊंचाई पर स्थित अंतरिक्ष स्टेशन के लिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ है।
अंतरिक्ष स्टेशन पर पलायन वेग $v_{s} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।
$v_{s}$ की $V_{E}$ के साथ तुलना करने पर:
$v_{s} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_{E}$।
अतः,अंतरिक्ष स्टेशन पर पलायन वेग $V_{E}$ का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना है।

(C) एक आदर्श गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(K)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे संबंध $K = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
चूंकि तापमान $(T)$ को स्थिर रखा गया है,इसलिए दबाव में परिवर्तन के बावजूद अणुओं की गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

(B) दिया गया है, स्थैतिक घर्षण गुणांक, $\mu = 0.8$; घर्षण बल, $f = 10 \text{ N}$.
चूंकि ब्लॉक नत समतल पर स्थिर है, इसलिए स्थैतिक घर्षण बल नत समतल की दिशा में नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करता है।
$f = mg \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \text{ kg}$.
अतः, ब्लॉक का द्रव्यमान $2 \text{ kg}$ है।

(B) दिया गया है: व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 60 \text{ kg}$,लिफ्ट का त्वरण $a = 1.8 \text{ ms}^{-2}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया आभासी भार (अभिलंब बल $N$) निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$N = m(g - a)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N = 60 \times (9.8 - 1.8)$
$N = 60 \times 8.0$
$N = 480 \text{ N}$
अतः,फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया बल $480 \text{ N}$ है।

(C) प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{V}{I}$ है।
दिए गए मान $V = 100 \text{ V}$,$\Delta V = 5 \text{ V}$,$I = 10 \text{ A}$,और $\Delta I = 0.2 \text{ A}$ हैं।
भाग के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत राशियों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{5}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{10} \times 100 \right)$.
$= 5\% + 2\% = 7\%$.
अतः,$R$ में प्रतिशत त्रुटि $7\%$ है।

(D) द्रव टैंक के तल पर दबाव $P$ का सूत्र $P = h \rho g$ है,जहाँ $h$ द्रव स्तंभ की ऊँचाई है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि दबाव द्रव की ऊँचाई $h$,द्रव के घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ के सीधे समानुपाती होता है।
दबाव द्रव की सतह के क्षेत्रफल या पात्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,दबाव द्रव की सतह के क्षेत्रफल के समानुपाती नहीं होता है।

(B) प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\text{Stress} = \frac{F}{A}$.
यह दिया गया है कि दोनों तारों को समान भार (बल $F$) से खींचा जाता है,इसलिए बल $F$ दोनों के लिए स्थिर है।
मान लीजिए तार $A$ का क्षेत्रफल $A_A$ है और तार $B$ का क्षेत्रफल $A_B$ है। प्रश्न के अनुसार,$A_A = 2 A_B$ है।
तार $A$ पर प्रतिबल $\sigma_A = \frac{F}{A_A} = \frac{F}{2 A_B}$ है।
तार $B$ पर प्रतिबल $\sigma_B = \frac{F}{A_B}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sigma_B = 2 \times \left(\frac{F}{2 A_B}\right) = 2 \sigma_A$.
अतः,तार $B$ पर प्रतिबल तार $A$ पर लगने वाले प्रतिबल का दोगुना है।

(D) दूरी-समय ग्राफ में,किसी भी बिंदु पर कण का तात्क्षणिक वेग उस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा (tangent) के ढलान (slope) द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$v = \frac{ds}{dt} = \tan(\theta)$,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो स्पर्शरेखा समय अक्ष के साथ बनाती है।
ढलान वहाँ अधिकतम होता है जहाँ वक्र सबसे अधिक तीव्र (steep) होता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,बिंदु $Q$ पर वक्र सबसे अधिक तीव्र है। इसलिए,बिंदु $Q$ के आसपास तात्क्षणिक वेग अधिकतम है।

(B) लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार, एक समतलीय पिंड (लैमिना) के लिए, तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_Z)$, तल में स्थित और एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों ($I_X$ और $I_Y$) के योग के बराबर होता है।
दिया गया है:
$I_X = 20 \text{ kg m}^2$
$I_Y = 25 \text{ kg m}^2$
प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_Z = I_X + I_Y$
$I_Z = 20 \text{ kg m}^2 + 25 \text{ kg m}^2 = 45 \text{ kg m}^2$
अतः, तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $45 \text{ kg m}^2$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{65.5 - 62.5}{1} = k \left( \frac{65.5 + 62.5}{2} - 22.5 \right)$.
$3 = k(64 - 22.5) = k(41.5) \implies k = \frac{3}{41.5}$.
दूसरी स्थिति के लिए: $\frac{46.5 - 40.5}{t} = k \left( \frac{46.5 + 40.5}{2} - 22.5 \right)$.
$\frac{6}{t} = k(43.5 - 22.5) = k(21)$.
$k$ का मान रखने पर: $\frac{6}{t} = \frac{3}{41.5} \times 21$.
$t = \frac{6 \times 41.5}{3 \times 21} = \frac{2 \times 41.5}{21} \approx 3.95 \text{ मिनट} \approx 4 \text{ मिनट}$.

(B) दिया गया है: स्रोत से ली गई ऊष्मा,$Q_{1} = 300$ कैलोरी; स्रोत का तापमान,$T_{1} = 500 \,K$; सिंक को त्यागी गई ऊष्मा,$Q_{2} = 150$ कैलोरी।
हमें सिंक का तापमान,$T_{2}$ ज्ञात करना है।
कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta$ को ऊष्मा विनिमय के अनुपात के रूप में $\eta = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$ और तापमान के अनुपात के रूप में $\eta = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दक्षता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{300 - 150}{300} = \frac{500 - T_{2}}{500}$
$\frac{150}{300} = 1 - \frac{T_{2}}{500}$
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_{2}}{500}$
$\frac{T_{2}}{500} = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{T_{2}}{500} = \frac{1}{2}$
$T_{2} = 500 \times \frac{1}{2} = 250 \,K$.
अतः,सिंक का तापमान $250 \,K$ है।

(A) बंद पाइप के $n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ द्वारा दी जाती है। प्रथम ओवरटोन के लिए,$n=1$,इसलिए $f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$.
खुले पाइप के $m^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{o} = \frac{mv}{2l_{2}}$ द्वारा दी जाती है। $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक के लिए,$m=2$,इसलिए $f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$.
यह दिया गया है कि $f_{c} = f_{o}$,इसलिए $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$.
अनुपात $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_E = -\frac{G M m}{R}$ है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान,$m$ वस्तु का द्रव्यमान,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या और $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
जब द्रव्यमान $m$ को पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर ले जाया जाता है,तो केंद्र से दूरी $r = R + R = 2R$ हो जाती है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M m}{2R}$ है।
इस प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = U - U_E = -\frac{G M m}{2R} - (-\frac{G M m}{R}) = -\frac{G M m}{2R} + \frac{G M m}{R} = \frac{G M m}{2R}$ है।
संबंध $g = \frac{G M}{R^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $G M = g R^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को कार्य के समीकरण में रखने पर: $W = \frac{(g R^2) m}{2R} = \frac{m g R}{2}$.

(A) प्रेरणिक प्रतिघात का सूत्र $X_{L} = \omega L$ है।
यहाँ,$\omega = 2\pi\nu$,जहाँ $\nu$ वोल्टेज स्रोत की आवृत्ति है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $X_{L} = 2\pi\nu L$ प्राप्त होता है।
चूँकि $2$,$\pi$,और $L$ स्थिरांक हैं,इसलिए $X_{L} \propto \nu$ होता है।
यह प्रेरणिक प्रतिघात और आवृत्ति के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) विद्युत परिपथ में व्यय होने वाली तात्क्षणिक शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रेरक $(L)$ और संधारित्र $(C)$ प्रतिक्रियाशील घटक हैं जो क्रमशः चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों में ऊर्जा का भंडारण करते हैं,लेकिन वे ऊष्मा के रूप में ऊर्जा का क्षय नहीं करते हैं।
केवल प्रतिरोध $(R)$ ही वह घटक है जो विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा में परिवर्तित करके उसका क्षय करता है।
अतः,श्रेणी $LCR$ परिपथ में शक्ति का क्षय केवल प्रतिरोध $R$ के माध्यम से होता है।

(A) दिया गया है: बल्ब की शक्ति $ P = 100 \,W $ और $ AC $ स्रोत का वोल्टेज $ V = 220 \,V $ है।
बल्ब जैसे प्रतिरोधी भार के लिए, शक्ति का सूत्र $ P = I \times V $ होता है।
धारा $ I $ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है $ I = \frac{P}{V} $.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $ I = \frac{100}{220} \,A $.
भिन्न को सरल करने पर: $ I = \frac{10}{22} \,A = \frac{5}{11} \,A $.
अतः, बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $ \frac{5}{11} \,A $ है।

(B) भारत में,कर्नाटक सहित,मानक घरेलू $AC$ बिजली आपूर्ति को $220 \text{ V}, 50 \text{ Hz}$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।
परंपरा के अनुसार,$AC$ सर्किट के लिए दिया गया वोल्टेज मान रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान होता है,क्योंकि यह उस प्रभावी वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करता है जो समान $DC$ वोल्टेज के बराबर ही तापीय प्रभाव उत्पन्न करेगा।
$50 \text{ Hz}$ की आवृत्ति प्रत्यावर्ती धारा के प्रति सेकंड चक्रों की संख्या को दर्शाती है।
इसलिए,$220 \text{ V}$ $RMS$ वोल्टेज है और $50 \text{ Hz}$ आवृत्ति है।

(B) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,पावर इनपुट पावर आउटपुट के बराबर होता है,जिसका अर्थ है कि करंट और टर्न अनुपात के बीच का संबंध $\frac{I_P}{I_S} = \frac{N_S}{N_P}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया टर्न अनुपात $\frac{N_P}{N_S} = \frac{1}{25}$ है,इसलिए $\frac{N_S}{N_P} = 25$ है।
लोड करंट (द्वितीयक करंट) $I_S = 2 \ A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $I_P = I_S \times \frac{N_S}{N_P}$।
$I_P = 2 \ A \times 25 = 50 \ A$।
अतः,प्राथमिक वाइंडिंग में करंट $50 \ A$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में परिक्रमा कर रहे एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का सूत्र है:
$E_{n} = \frac{-13.6}{n^{2}} \text{ eV}$
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$E_{2} = \frac{-13.6}{2^{2}} \text{ eV}$
$E_{2} = \frac{-13.6}{4} \text{ eV}$
$E_{2} = -3.4 \text{ eV}$
अतः,दूसरी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $-3.4 \text{ eV}$ है।

(D) बोर कक्षा में इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि कक्षा की त्रिज्या $r \propto n^2$ और इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ होता है।
इन संबंधों को आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$ प्राप्त होता है।
मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 2)$ के लिए,आवर्तकाल $T_2$ है।
समानुपातिकता $T \propto n^3$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$ है।
$\frac{T_2}{T} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 8$।
अतः,$T_2 = 8T$।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 4 \mu F$ है।
परिपथ को देखने पर,हम बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर में जुड़ी दो शाखाओं की पहचान कर सकते हैं।
प्रत्येक शाखा में श्रेणीक्रम में दो संधारित्र हैं।
ऊपरी शाखा के लिए,$4 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$1/C_1 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_1 = 2 \mu F$।
इसी प्रकार,निचली शाखा के लिए,$4 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार है:
$1/C_2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_2 = 2 \mu F$।
अब,ये दोनों शाखाएं ($C_1$ और $C_2$) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
अतः,प्रभावी धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$।

(C) जब दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होती है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
अतः,$C_{eq} = 2 \mu F$.
श्रेणी संयोजन में संचित कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 2 \mu F \times 900 \ V = 1800 \mu C$.
जब संधारित्रों को अलग करके समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = 1800 \mu C$ समान रहता है।
समांतर संयोजन में तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ होती है।
समांतर संयोजन पर नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_p} = \frac{1800 \mu C}{9 \mu F} = 200 \ V$ होगा।

(C) दिया गया है: पृथ्वी की त्रिज्या, $R = 6400 \text{ km} = 6400 \times 10^3 \text{ m}$.
एंटीना की ऊँचाई, $h = 500 \text{ m} = 0.5 \text{ km}$.
एंटीना की रेंज $(d)$ का सूत्र $d = \sqrt{2Rh}$ है。
मान रखने पर:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \text{ km} \times 0.5 \text{ km}}$
$d = \sqrt{6400 \times 1} \text{ km}$
$d = \sqrt{6400} \text{ km} = 80 \text{ km}$.
अतः, एंटीना की रेंज $80 \text{ km}$ है।

(B) एक मानक चार-बैंड वाले कार्बन प्रतिरोधक में,पहले तीन बैंड प्रतिरोध का मान दर्शाते हैं और चौथा बैंड टॉलरेंस को दर्शाता है।
यदि चौथा बैंड अनुपस्थित है,तो यह इंगित करता है कि प्रतिरोधक में कोई विशिष्ट टॉलरेंस बैंड नहीं है,जो परंपरा के अनुसार $ 20 \% $ के टॉलरेंस के बराबर होता है।

(D) दिया गया है: $R = 1500 \Omega$, $V = 300 \text{ V}$।
परिपथ आरेख को देखने पर, पाँचों प्रतिरोधक बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। हालाँकि, एमीटर $A$ को अंतिम तीन प्रतिरोधकों के साथ श्रेणी क्रम में रखा गया है।
मान लीजिए कि प्रतिरोधक बाएं से दाएं $R_1, R_2, R_3, R_4, R_5$ हैं।
प्रतिरोधक $R_1$ और $R_2$ सीधे $300 \text{ V}$ की बैटरी से जुड़े हैं।
प्रतिरोधक $R_3, R_4$ और $R_5$ एक-दूसरे के साथ समानांतर में जुड़े हैं, और यह संयोजन एमीटर $A$ के साथ श्रेणी क्रम में $300 \text{ V}$ की बैटरी से जुड़ा है।
समानांतर में जुड़े तीन प्रतिरोधकों $R_3, R_4, R_5$ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R / 3 = 1500 / 3 = 500 \Omega$ है।
एमीटर $A$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I$, इस समानांतर संयोजन से प्रवाहित होने वाली धारा है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5} \text{ A} = 0.6 \text{ A}$।

(B) परिपथ को देखने पर,शीर्ष पर स्थित दो $3 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 3 \Omega + 3 \Omega = 6 \Omega$ है।
यह $6 \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध दो शाखाओं के बीच जुड़े $6 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{6 \Omega} + \frac{1}{6 \Omega} = \frac{2}{6 \Omega} = \frac{1}{3 \Omega}$,इसलिए $R_2 = 3 \Omega$ है।
अब,परिपथ में $4 \Omega$ का प्रतिरोध,$3 \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध $(R_2)$,और $5 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः,$P$ और $Q$ के बीच कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq} = 4 \Omega + 3 \Omega + 5 \Omega = 12 \Omega$ है।

(C) चूंकि दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए कुल emf $E_{total} = E + E = 2E$ है,जहाँ $E$ प्रत्येक सेल का emf है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_{1} + r_{2}$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$r_{1}$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V_{1} = E - Ir_{1}$ है।
दिया गया है कि $V_{1} = 0$,इसलिए $E - Ir_{1} = 0$,जिसका अर्थ है $E = Ir_{1}$।
$I$ का मान रखने पर,हमें $E = \left( \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}} \right) r_{1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर,$1 = \frac{2r_{1}}{R + r_{1} + r_{2}}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R + r_{1} + r_{2} = 2r_{1}$।
अतः,$R = 2r_{1} - r_{1} - r_{2} = r_{1} - r_{2}$।

(B) ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,जिसे $I = \frac{1}{R}V$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,$I-V$ ग्राफ का ढाल (slope) $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$I-V$ ग्राफ का ढाल प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(Slope \propto \frac{1}{R})$।
दिए गए आरेख में,रेखा $Q$ का ढाल रेखा $P$ के ढाल से अधिक है (अर्थात,$Slope_Q > Slope_P$)।
इसलिए,$\frac{1}{R_Q} > \frac{1}{R_P}$।
इसका अर्थ है कि $R_P > R_Q$।

(D) ओम का नियम स्थिर भौतिक परिस्थितियों में चालकों पर लागू होता है।
ओम का नियम बताता है कि किसी चालक से बहने वाली विद्युत धारा उसके सिरों पर लगाए गए विभवांतर के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते तापमान और अन्य भौतिक स्थितियाँ स्थिर रहें।
गणितीय रूप से,इसे $V = IR$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $V$ विभवांतर है,$I$ विद्युत धारा है,और $R$ प्रतिरोध है।
चूंकि डायोड,ट्रांजिस्टर और इलेक्ट्रोलाइट गैर-ओमीय उपकरण हैं,इसलिए वे इस रैखिक संबंध का पालन नहीं करते हैं।

(B) पूर्णतः अवशोषक सतह पर फोटॉनों के पुंज द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{P}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ प्रकाश पुंज की शक्ति है और $c$ प्रकाश की गति है।
शक्ति $P$ का मान $P = n \cdot E_{photon} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$ होता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या है।
बल के समीकरण में $P$ का मान रखने पर: $F = \frac{n \cdot hc}{\lambda \cdot c} = \frac{n \cdot h}{\lambda}$.
$n$ के लिए हल करने पर: $n = \frac{F \cdot \lambda}{h}$.
दिया गया है $F = 6.62 \times 10^{-5} \ N$,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$,और $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
$n = \frac{(6.62 \times 10^{-5}) \times (5 \times 10^{-7})}{6.62 \times 10^{-34}}$.
$n = \frac{6.62}{6.62} \times 5 \times 10^{-5-7+34} = 1 \times 5 \times 10^{22} = 5 \times 10^{22}$.
अतः,$n = 5$.

(B) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित करने पर उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: $\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}$
चूंकि $m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2q_p$ है:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m_p \times 2q_p}{m_p \times q_p}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
अतः, उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $2\sqrt{2}$ है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) में,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करती है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$KE_{\max} = h\nu - \phi$
जहाँ:
$KE_{\max}$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
$h$ प्लांक नियतांक है।
$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है।
$\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए कार्य फलन $\phi$ एक नियतांक है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\max})$ सीधे आपतित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करती है।

(B) जब एक आवेश $q$ को $V$ विभवांतर से त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ होती है।
इससे $mv = \sqrt{2mqV}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ होती है।
$mv$ का मान रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m, q$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{V}$ होता है।
यदि त्रिज्या $2r$ हो जाती है,तो $\frac{r'}{r} = \frac{\sqrt{V'}}{\sqrt{V}} = 2$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{V'}{V} = 4$,जिससे $V' = 4V$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 3t^{2} + 4t + 9$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf का परिमाण $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,फ्लक्स समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^{2} + 4t + 9) = 6t + 4$.
अब,$t = 2 \text{ s}$ का मान अवकलज में रखने पर:
$\varepsilon = |6(2) + 4| = |12 + 4| = 16 \text{ V}$.
अतः,$t = 2 \text{ s}$ पर प्रेरित emf का परिमाण $16 \text{ V}$ है।

(D) हवा में $r$ दूरी पर स्थित दो समान आवेशों $q$ के बीच प्रारंभिक बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \quad (1)$ है।
जब आवेशों के बीच $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक पट्टी रखी जाती है,तो प्रभावी दूरी $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ हो जाती है।
यहाँ,$t = r/2$ और $K = 4$ है।
इन मानों को रखने पर,$r_{eff} = (r - r/2) + (r/2)\sqrt{4} = r/2 + (r/2)(2) = r/2 + r = 3r/2$ प्राप्त होता है।
नया बल $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(r_{eff})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(3r/2)^2}$ होगा।
$F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(9/4)r^2} = \frac{4}{9} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right)$।
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर,$F' = \frac{4}{9}F$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
दिए गए मान हैं:
$E = 2 \ N \ C^{-1}$
$r = 30 \ cm = 0.3 \ m = 30 \times 10^{-2} \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N \ m^{2} \ C^{-2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{(30 \times 10^{-2})^{2}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{900 \times 10^{-4}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{9 \times 10^{-2}}$
$2 = 10^{11} \times q$
$q = \frac{2}{10^{11}} = 2 \times 10^{-11} \ C$
अतः,आवेश का परिमाण $2 \times 10^{-11} \ C$ होगा।

(B) जब एक आवेश $q$ को $V$ विभवांतर से त्वरित किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य द्रव्यमान $m$ द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = qV$ द्वारा दिया जाता है।
प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
दिए गए मान: $m = 1 \ kg$,$q = 2 \ C$,$V = 1 \ V$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} \times 1 \times v^2 = 2 \times 1$.
$\frac{1}{2}v^2 = 2$.
$v^2 = 4$.
$v = 2 \ m \ s^{-1}$.
अतः,द्रव्यमान द्वारा प्राप्त वेग $2 \ m \ s^{-1}$ है।

(D) एक समविभव पृष्ठ के सभी बिंदुओं पर विद्युत विभव समान होता है।
इसलिए,एक समविभव पृष्ठ पर आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q(V_{B} - V_{A})$
चूंकि पृष्ठ समविभव है,इसलिए सभी बिंदुओं पर विभव समान है,जिसका अर्थ है $V_{A} = V_{B}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = q(V_{A} - V_{A}) = q(0) = 0$
अतः,समविभव पृष्ठ पर किसी आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $0$ होता है।

(B) बायोट-सावर्ट नियम एक धारावाही चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ का वर्णन करता है।
सदिश रूप में बायोट-सावर्ट नियम इस प्रकार है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^{3}}$
यहाँ $\vec{r}$ धारा अवयव $I d\vec{l}$ से उस बिंदु तक का स्थिति सदिश है।
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB}$
जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $q$ कण का आवेश है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{B}$.
प्रारंभ में,$B$ क्षेत्र के लिए त्रिज्या $r$ है। मान लीजिए कि जब क्षेत्र को घटाकर $B' = B/2$ किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r'$ है।
संबंध $r \cdot B = r' \cdot B'$ का उपयोग करने पर:
$r \cdot B = r' \cdot (B/2)$
$r' = \frac{r \cdot B}{B/2} = 2r$.
अतः,वृत्ताकार पथ की नई त्रिज्या $2r$ होगी।

(C) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f = \frac{qB}{2\pi m}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या $r$ पर प्रोटॉन का अधिकतम वेग $v = \frac{qBr}{m} = 2\pi fr$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2\pi fr)^2 = 2\pi^2 mf^2r^2$ है।
दिए गए मान: $f = 10 \times 10^6 \text{ Hz}$, $r = 0.6 \text{ m}$, $m = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$।
इन मानों को रखने पर:
$K = 2 \times (3.14)^2 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)^2 \times (0.6)^2$
$K = 2 \times 9.8596 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{14} \times 0.36$
$K \approx 1.185 \times 10^{-12} \text{ J}$।
$\text{MeV}$ में बदलने के लिए, $1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}$ से विभाजित करने पर:
$K = \frac{1.185 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 7.4 \text{ MeV}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7 \text{ MeV}$ है।

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता पूरी दुनिया में एक समान नहीं है।
यह पृथ्वी की सतह पर एक स्थान से दूसरे स्थान पर बदलती रहती है।
यह भिन्नता इसलिए होती है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता किसी विशेष स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के घनत्व पर निर्भर करती है।
चूंकि पृथ्वी की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं समान घनत्व के साथ वितरित नहीं होती हैं,इसलिए भौगोलिक स्थिति के आधार पर चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता बदल जाती है।

(B) दिया गया है: पंखों की लंबाई $l = 25 \ m$; जेट विमान की गति $v = 3600 \ km/h = 3600 \times \frac{5}{18} \ m/s = 1000 \ m/s$.
पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times 10^{-4} \ T$; नमन कोण $\delta = 30^{\circ}$.
पंखों के सिरों के बीच प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) $e = B_v \cdot l \cdot v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_v$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक है।
$B_v = B \sin(\delta) = 4 \times 10^{-4} \times \sin(30^{\circ}) = 4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2 \times 10^{-4} \ T$.
सूत्र में मान रखने पर:
$e = (2 \times 10^{-4} \ T) \times (25 \ m) \times (1000 \ m/s)$.
$e = 2 \times 10^{-4} \times 25000 = 2 \times 2.5 = 5 \ V$.
अतः,पंखों के सिरों के बीच विभवांतर $5 \ V$ है।

(B) पदार्थों के चुंबकीय गुण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ उनकी परस्पर क्रिया को निर्धारित करते हैं:
$1$. फेरोमैग्नेटिक पदार्थ $(N_{1})$ चुंबक द्वारा मजबूती से आकर्षित होते हैं।
$2$. पैरामैग्नेटिक पदार्थ $(N_{2})$ चुंबक द्वारा कमजोर रूप से आकर्षित होते हैं।
$3$. डायमैग्नेटिक पदार्थ $(N_{3})$ चुंबक द्वारा कमजोर रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
इसलिए,जब एक चुंबक को इन सुइयों के करीब लाया जाता है,तो यह $N_{1}$ को मजबूती से आकर्षित करेगा,$N_{2}$ को कमजोर रूप से आकर्षित करेगा और $N_{3}$ को कमजोर रूप से प्रतिकर्षित करेगा।

(B) $\text{आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार, } m \text{ द्रव्यमान के समतुल्य ऊर्जा } E \text{ का सूत्र } E = mc^2 \text{ है, जहाँ } c \text{ निर्वात में प्रकाश की गति है।}$
$\text{दिया गया द्रव्यमान } m = 1 \,g = 1 \times 10^{-3} \,kg \text{ है।}$
$\text{प्रकाश की गति } c = 3 \times 10^8 \,m/s \text{ है।}$
$\text{इन मानों को समीकरण में रखने पर:}$
$E = (1 \times 10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{13} \,J$.
$\text{अतः, } 1 \,g \text{ द्रव्यमान वाले पदार्थ के समतुल्य ऊर्जा } 9 \times 10^{13} \,J \text{ है।}$

(D) दिया गया है: अर्ध-आयु $( T_{1/2} )$ $= 12.5 \text{ वर्ष}$,प्रारंभिक द्रव्यमान $( N_0 )$ $= 64 \ mg$,कुल समय $( t )$ $= 50 \text{ वर्ष}$।
अर्ध-आयु की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $ n = \frac{t}{T_{1/2}} $।
$ n = \frac{50}{12.5} = 4 $।
शेष द्रव्यमान $( N )$ ज्ञात करने का सूत्र: $ N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n $।
$ N = 64 \times (\frac{1}{2})^4 $।
$ N = 64 \times \frac{1}{16} $।
$ N = 4 \ mg $।
अतः,$ 50 $ वर्ष बाद $ 4 \ mg $ ट्रिटियम अविघटित रहेगा।

(A) लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -25 \ cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार) और प्रतिबिंब की दूरी $v = +75 \ cm$ (क्योंकि प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर पर्दे पर बनता है)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{75} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{75} + \frac{1}{25}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1 + 3}{75} = \frac{4}{75}$.
$f = \frac{75}{4} = +18.75 \ cm$.
चूंकि फोकस दूरी धनात्मक है,इसलिए लेंस एक उत्तल लेंस है।

(D) उत्तल दर्पण के लिए,मुख्य फोकस $(F)$ दर्पण के पीछे स्थित होता है।
जब किसी वस्तु को उत्तल दर्पण के मुख्य फोकस पर रखा जाता है,तो वस्तु से निकलने वाली प्रकाश की किरणें परावर्तन के बाद फोकस से अपसरित (diverge) होती हुई प्रतीत होती हैं।
हालाँकि,चूंकि फोकस दर्पण के पीछे होता है,इसलिए इस विशिष्ट विन्यास के लिए किरणें वास्तव में किसी बिंदु पर नहीं मिलती हैं और न ही मिलती हुई प्रतीत होती हैं,जिससे पारंपरिक अर्थ में कोई प्रतिबिंब नहीं बनता है।
अतः,उत्तल दर्पण के मुख्य फोकस पर कोई प्रतिबिंब नहीं बनता है।

(C) दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
यहाँ,वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ और फोकस दूरी $f = -10 \ cm$ (अवतल दर्पण के लिए) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{-10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20}$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1 - 2}{20} = \frac{-1}{20}$.
अतः,$v = -20 \ cm$.

(A) कॉमन एमिटर $(CE)$ एम्पलीफायर कॉन्फ़िगरेशन में,ट्रांजिस्टर को इस तरह से बायस किया जाता है कि एमिटर-बेस जंक्शन फॉरवर्ड बायस्ड हो और कलेक्टर-बेस जंक्शन रिवर्स बायस्ड हो।
इनपुट $ac$ सिग्नल को एम्पलीफाई करने के लिए,इसे इनपुट साइड पर $dc$ बायस वोल्टेज पर सुपरइम्पोज़ किया जाता है।
इसलिए,इनपुट $ac$ सिग्नल को फॉरवर्ड बायस्ड एमिटर-बेस जंक्शन पर लागू किया जाता है ताकि एमिटर से कलेक्टर तक चार्ज वाहकों के प्रवाह को नियंत्रित किया जा सके।

(A) दिया गया है: करंट गेन $\beta = 50$,$V_{CE} = 2 \ V$,और $R_{C} = 4 \ k\Omega$.
कलेक्टर करंट $I_{C}$ आउटपुट सर्किट लूप द्वारा निर्धारित किया जाता है: $I_{C} = \frac{V_{CE}}{R_{C}} = \frac{2 \ V}{4 \times 10^{3} \ \Omega} = 0.5 \times 10^{-3} \ A = 0.5 \ mA$.
बेस करंट $I_{B}$ करंट गेन सूत्र द्वारा कलेक्टर करंट से संबंधित है: $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$.
$I_{B}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $I_{B} = \frac{I_{C}}{\beta} = \frac{0.5 \times 10^{-3} \ A}{50} = 0.01 \times 10^{-3} \ A = 10 \times 10^{-6} \ A = 10 \ \mu A$.
अतः,$I_{B} = 10 \ \mu A$ और $I_{C} = 0.5 \ mA$ है।

(A) दिया गया है कि $ A=1 $ और $ B=0 $ है।
बूलियन बीजगणित में,$ A $ का पूरक $ \bar{A} = \bar{1} = 0 $ होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $ \bar{A}+B $ में प्रतिस्थापित करने पर:
$ \bar{A}+B = 0 + 0 = 0 $.
चूंकि $ B=0 $ है,हम देख सकते हैं कि $ \bar{A}+B = B $ है।
अतः,सही विकल्प $ A $ है।

(B) दिया गया है कि शुद्ध जर्मेनियम में आंतरिक वाहक घनत्व (इलेक्ट्रॉन-होल युग्म घनत्व) $n_i = 3 \times 10^{16} \ m^{-3}$ है।
एल्युमिनियम (त्रिसंयोजक अशुद्धि) के साथ डोपिंग के बाद,अर्धचालक $p$-प्रकार का हो जाता है और होल घनत्व $n_h = 4.5 \times 10^{22} \ m^{-3}$ हो जाता है।
अर्धचालकों के लिए द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार,इलेक्ट्रॉन घनत्व $(n_e)$ और होल घनत्व $(n_h)$ का गुणनफल आंतरिक वाहक घनत्व के वर्ग $(n_i^2)$ के बराबर होता है:
$n_e \times n_h = n_i^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$n_e = \frac{n_i^2}{n_h} = \frac{(3 \times 10^{16})^2}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = \frac{9 \times 10^{32}}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = 2 \times 10^{10} \ m^{-3}$।
अतः,डोप्ड जर्मेनियम में इलेक्ट्रॉन घनत्व $2 \times 10^{10} \ m^{-3}$ होगा।

(A) चुंबकीय फ्लक्स,$\phi = B A$ $(1)$,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $A$ क्षेत्रफल है।
साथ ही,$B = \mu H$ $(2)$,जहाँ $\mu$ पारगम्यता (permeability) है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $\phi = (\mu H) A$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,अनुपात $\frac{\phi}{\mu} = H A$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^{2}]$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ को $\frac{\text{फेरों की संख्या} \times \text{धारा}}{\text{लंबाई}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसकी विमा $[L^{-1} A]$ है।
अतः,$\frac{\phi}{\mu}$ की विमा $[L^{-1} A] \times [L^{2}] = [L^{1} A]$ है।
$M, L, T, A$ के पदों में,यह $[M^{0} L^{1} T^{0} A^{1}]$ है।

(B) $a$ चौड़ाई की एक एकल स्लिट के कारण फ्रौनहोफर विवर्तन में, केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = \pm \lambda$ होती है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\theta = \pm \frac{\lambda}{a}$ प्राप्त होता है।
केंद्रीय (मुख्य) उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई दोनों ओर के प्रथम निम्निष्ठों के बीच की कोणीय दूरी है।
अतः, कोणीय चौड़ाई $= \theta - (-\theta) = 2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ होगी।

(D) एकल स्लिट फ्रॉनहोफर विवर्तन में विवर्तन बैंड की चौड़ाई (या केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई) का सूत्र $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि विवर्तन बैंड की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
चूंकि पीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य से अधिक होती है $(\lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{blue}})$,इसलिए पीले प्रकाश को नीले प्रकाश से बदलने पर तरंगदैर्घ्य में कमी आती है।
परिणामस्वरूप,विवर्तन बैंड की चौड़ाई कम हो जाएगी,जिसका अर्थ है कि बैंड संकीर्ण (narrower) हो जाएंगे।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिया गया है कि $\lambda_{1}$ की $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज और $\lambda_{2}$ की $(n+1)^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज संपाती हैं,इसलिए:
$\frac{n \lambda_{1} D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_{2} D}{d}$
सामान्य पदों $\frac{D}{d}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n \lambda_{1} = (n+1) \lambda_{2}$
दिए गए मान $\lambda_{1} = 780 \ nm$ और $\lambda_{2} = 520 \ nm$ रखने पर:
$n(780) = (n+1)(520)$
$780n = 520n + 520$
$780n - 520n = 520$
$260n = 520$
$n = \frac{520}{260} = 2$
अतः,$n$ का मान $2$ है।

(A) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है:
$y = \frac{n \lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चौथी दीप्त फ्रिंज $(n=4)$ के लिए,दोनों तरंगदैर्ध्य की स्थितियाँ हैं:
$y_1 = \frac{4 \lambda_1 D}{d}$ और $y_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
इन दो फ्रिंजों के बीच की दूरी है:
$\Delta y = y_1 - y_2 = \frac{4 D}{d} (\lambda_1 - \lambda_2)$
दिए गए मान:
$n = 4$
$D = 1.2 \,m$
$d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
$\lambda_1 = 6500 \text{ Å} = 6500 \times 10^{-10} \,m$
$\lambda_2 = 5200 \text{ Å} = 5200 \times 10^{-10} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta y = \frac{4 \times 1.2}{2 \times 10^{-3}} \times (6500 - 5200) \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = \frac{4.8}{2 \times 10^{-3}} \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 2.4 \times 10^3 \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 3120 \times 10^{-7} \,m = 0.312 \times 10^{-3} \,m$
$\Delta y = 0.312 \,mm$
अतः,चौथी दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $0.312 \,mm$ है।