KCET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે,$m_{1}$ અને $m_{2}$ દળ ધરાવતા બે કણોની ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^{2}}{2m}$ છે.
અહીં $K_{1} = K_{2}$ હોવાથી,$\frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$ થાય.
વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_{1}}{p_{2}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{p_{1}^{2}}{p_{2}^{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}} = \frac{\sqrt{m_{1}}}{\sqrt{m_{2}}}$ મળે.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\sqrt{m_{1}}: \sqrt{m_{2}}$ છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી '$r$' અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ '$g$' નું મૂલ્ય નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto r$. આ એક સુરેખ સંબંધ છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r \geq R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto \frac{1}{r^2}$. આ એક અરેખીય,વ્યસ્ત-વર્ગનો ઘટાડો છે.
તેથી,આલેખ કેન્દ્ર $(r=0)$ થી સપાટી $(r=R)$ સુધી સુરેખ વધારો અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(r > R)$ કરતા વધુ અંતર માટે અરેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે. આલેખ $B$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી માટે,અંતર $r = R$ છે,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{E} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ થાય.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર આવેલા સ્પેસ સ્ટેશન માટે,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય.
સ્પેસ સ્ટેશન પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{s} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ થાય.
$v_{s}$ ની $V_{E}$ સાથે સરખામણી કરતા:
$v_{s} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_{E}$.
આમ,સ્પેસ સ્ટેશન પર નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{E}$ ના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો છે.

(C) આદર્શ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $K = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
કારણ કે તાપમાન $(T)$ અચળ રાખવામાં આવે છે,તેથી દબાણમાં ફેરફાર થયા હોવા છતાં અણુઓની ગતિઊર્જા સમાન રહે છે.

(B) આપેલ છે, સ્થિત ઘર્ષણાંક, $\mu = 0.8$; ઘર્ષણ બળ, $f = 10 \text{ N}$.
બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સ્થિર હોવાથી, સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
$f = mg \sin \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \text{ kg}$.
તેથી, બ્લોકનું દળ $2 \text{ kg}$ છે.

(B) આપેલ છે: માણસનું દળ $m = 60 \text{ kg}$,લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 1.8 \text{ ms}^{-2}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લિફ્ટના તળિયા દ્વારા માણસ પર લાગતું આભાસી વજન (લંબબળ $N$) નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$N = m(g - a)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = 60 \times (9.8 - 1.8)$
$N = 60 \times 8.0$
$N = 480 \text{ N}$
તેથી,લિફ્ટના તળિયા દ્વારા માણસ પર લાગતું બળ $480 \text{ N}$ છે.

(C) અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{V}{I}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો $V = 100 \text{ V}$,$\Delta V = 5 \text{ V}$,$I = 10 \text{ A}$,અને $\Delta I = 0.2 \text{ A}$ છે.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{5}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{10} \times 100 \right)$.
$= 5\% + 2\% = 7\%$.
તેથી,$R$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $7\%$ છે.

(D) પ્રવાહીની ટાંકીના તળિયે દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = h \rho g$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે દબાણ એ પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
દબાણ એ પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળ કે પાત્રના આકાર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,દબાણ એ પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં નથી.

(B) પ્રતિબળ (Stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર છે: $\text{Stress} = \frac{F}{A}$.
આપેલ છે કે બંને તાર સમાન ભાર (બળ $F$) વડે ખેંચાય છે,તેથી બળ $F$ બંને માટે અચળ છે.
ધારો કે તાર $A$ નું ક્ષેત્રફળ $A_A$ છે અને તાર $B$ નું ક્ષેત્રફળ $A_B$ છે. રકમ મુજબ,$A_A = 2 A_B$.
તાર $A$ પરનું પ્રતિબળ $\sigma_A = \frac{F}{A_A} = \frac{F}{2 A_B}$ છે.
તાર $B$ પરનું પ્રતિબળ $\sigma_B = \frac{F}{A_B}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\sigma_B = 2 \times \left(\frac{F}{2 A_B}\right) = 2 \sigma_A$.
તેથી,તાર $B$ પરનું પ્રતિબળ એ તાર $A$ પરના પ્રતિબળ કરતા બમણું છે.

(D) અંતર-સમયના આલેખમાં,કોઈપણ બિંદુએ કણનો તાત્ક્ષણિક વેગ તે બિંદુએ વક્રના સ્પર્શકના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$v = \frac{ds}{dt} = \tan(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ સ્પર્શકે સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
જ્યાં વક્ર સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવતો હોય ત્યાં ઢાળ મહત્તમ હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,બિંદુ $Q$ પાસે વક્ર સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવે છે. તેથી,બિંદુ $Q$ ની આસપાસ તાત્ક્ષણિક વેગ મહત્તમ છે.

(B) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ, સમતલીય પદાર્થ (લેમિના) માટે, સમતલને લંબ અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_Z)$ એ સમતલમાં રહેલી અને એક જ બિંદુએ છેદતી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રાઓ ($I_X$ અને $I_Y$) ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે:
$I_X = 20 \text{ kg m}^2$
$I_Y = 25 \text{ kg m}^2$
પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $I_Z = I_X + I_Y$
$I_Z = 20 \text{ kg m}^2 + 25 \text{ kg m}^2 = 45 \text{ kg m}^2$
તેથી, સમતલને લંબ અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $45 \text{ kg m}^2$ છે.

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{65.5 - 62.5}{1} = k \left( \frac{65.5 + 62.5}{2} - 22.5 \right)$.
$3 = k(64 - 22.5) = k(41.5) \implies k = \frac{3}{41.5}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{46.5 - 40.5}{t} = k \left( \frac{46.5 + 40.5}{2} - 22.5 \right)$.
$\frac{6}{t} = k(43.5 - 22.5) = k(21)$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{6}{t} = \frac{3}{41.5} \times 21$.
$t = \frac{6 \times 41.5}{3 \times 21} = \frac{2 \times 41.5}{21} \approx 3.95 \text{ મિનિટ} \approx 4 \text{ મિનિટ}$.

(B) આપેલ છે: સ્ત્રોતમાંથી લીધેલી ઉષ્મા,$Q_{1} = 300$ કેલરી; સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_{1} = 500 \,K$; સિંકને આપેલી ઉષ્મા,$Q_{2} = 150$ કેલરી.
આપણે સિંકનું તાપમાન,$T_{2}$ શોધવાનું છે.
કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને ઉષ્માના વિનિમયના ગુણોત્તર તરીકે $\eta = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$ અને તાપમાનના ગુણોત્તર તરીકે $\eta = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કાર્યક્ષમતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{300 - 150}{300} = \frac{500 - T_{2}}{500}$
$\frac{150}{300} = 1 - \frac{T_{2}}{500}$
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_{2}}{500}$
$\frac{T_{2}}{500} = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{T_{2}}{500} = \frac{1}{2}$
$T_{2} = 500 \times \frac{1}{2} = 250 \,K$.
આમ,સિંકનું તાપમાન $250 \,K$ છે.

(A) બંધ પાઈપના $n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓવરટોન માટે,$n=1$,તેથી $f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$.
ખુલ્લી પાઈપના $m^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{mv}{2l_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક માટે,$m=2$,તેથી $f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$.
આપેલ છે કે $f_{c} = f_{o}$,તેથી $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$.
ગુણોત્તર $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_E = -\frac{G M m}{R}$ છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ,$m$ એ પદાર્થનું દળ,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અને $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
જ્યારે દળ $m$ ને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલી ઊંચાઈ પર લઈ જવામાં આવે,ત્યારે કેન્દ્રથી અંતર $r = R + R = 2R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{G M m}{2R}$ થાય છે.
આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $W = U - U_E = -\frac{G M m}{2R} - (-\frac{G M m}{R}) = -\frac{G M m}{2R} + \frac{G M m}{R} = \frac{G M m}{2R}$ છે.
સંબંધ $g = \frac{G M}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $G M = g R^2$ મળે છે.
આ કિંમત કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $W = \frac{(g R^2) m}{2R} = \frac{m g R}{2}$.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_{L} = \omega L$ છે.
અહીં,$\omega = 2\pi\nu$,જ્યાં $\nu$ એ વોલ્ટેજ સોર્સની આવૃત્તિ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $X_{L} = 2\pi\nu L$ મળે છે.
અહીં $2$,$\pi$,અને $L$ અચળાંક હોવાથી,$X_{L} \propto \nu$ થાય છે.
આ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) વિદ્યુત પરિપથમાં વ્યય થતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ એ રિએક્ટિવ ઘટકો છે જે અનુક્રમે ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રોમાં ઊર્જાનો સંગ્રહ કરે છે,પરંતુ તેઓ ઉષ્મા સ્વરૂપે ઊર્જાનો વ્યય કરતા નથી.
માત્ર અવરોધ $(R)$ એવો ઘટક છે જે વિદ્યુત ઊર્જાનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર કરીને વ્યય કરે છે.
તેથી,શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં પાવરનો વ્યય માત્ર અવરોધ $R$ દ્વારા જ થાય છે.

(A) આપેલ છે: બલ્બનો પાવર $ P = 100 \,W $ અને $ AC $ સ્ત્રોતનો વોલ્ટેજ $ V = 220 \,V $.
બલ્બ જેવા અવરોધક લોડ માટે, પાવરનું સૂત્ર $ P = I \times V $ છે.
પ્રવાહ $ I $ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને મળે છે $ I = \frac{P}{V} $.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $ I = \frac{100}{220} \,A $.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $ I = \frac{10}{22} \,A = \frac{5}{11} \,A $.
આમ, બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $ \frac{5}{11} \,A $ છે.

(B) ભારતમાં,કર્ણાટક સહિત,પ્રમાણભૂત ઘરેલું $AC$ પાવર સપ્લાય $220 \text{ V}, 50 \text{ Hz}$ તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.
પરંપરા મુજબ,$AC$ સર્કિટ માટે આપવામાં આવેલ વોલ્ટેજ મૂલ્ય એ રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય છે,કારણ કે તે તે અસરકારક વોલ્ટેજનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે સમાન $DC$ વોલ્ટેજ જેટલી જ ગરમીની અસર ઉત્પન્ન કરે છે.
$50 \text{ Hz}$ ની આવૃત્તિ એ અલ્ટરનેટિંગ કરંટના પ્રતિ સેકન્ડ ચક્રની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તેથી,$220 \text{ V}$ એ $RMS$ વોલ્ટેજ છે અને $50 \text{ Hz}$ એ આવૃત્તિ છે.

(B) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,પાવર ઇનપુટ એ પાવર આઉટપુટ જેટલો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ અને આંટાઓની સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{I_P}{I_S} = \frac{N_S}{N_P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આંટાઓનો ગુણોત્તર $\frac{N_P}{N_S} = \frac{1}{25}$ છે,તેથી $\frac{N_S}{N_P} = 25$ થાય.
લોડ કરંટ (ગૌણ પ્રવાહ) $I_S = 2 \ A$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $I_P = I_S \times \frac{N_S}{N_P}$.
$I_P = 2 \ A \times 25 = 50 \ A$.
તેથી,પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહ $50 \ A$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{n} = \frac{-13.6}{n^{2}} \text{ eV}$
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_{2} = \frac{-13.6}{2^{2}} \text{ eV}$
$E_{2} = \frac{-13.6}{4} \text{ eV}$
$E_{2} = -3.4 \text{ eV}$
આમ,બીજી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $-3.4 \text{ eV}$ છે.

(D) બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ અને ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ છે.
આ સંબંધોને સમયગાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$.
ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માટે,સમયગાળો $T_1 = T$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 2)$ માટે,સમયગાળો $T_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto n^3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$.
$\frac{T_2}{T} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = 8T$.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \mu F$ છે.
પરિપથને જોતા,આપણે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ જોઈ શકીએ છીએ.
દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર છે.
ઉપરની શાખા માટે,$4 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે:
$1/C_1 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_1 = 2 \mu F$.
તે જ રીતે,નીચેની શાખા માટે,$4 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે:
$1/C_2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_2 = 2 \mu F$.
હવે,આ બંને શાખાઓ ($C_1$ અને $C_2$) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
તેથી,અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ થશે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$.

(C) જ્યારે બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C_{eq} = 2 \mu F$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 2 \mu F \times 900 \ V = 1800 \mu C$.
જ્યારે કેપેસિટરને છૂટા પાડીને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1800 \mu C$ સમાન રહે છે.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ થાય.
સમાંતર જોડાણ પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_p} = \frac{1800 \mu C}{9 \mu F} = 200 \ V$ થાય.

(C) આપેલ છે: પૃથ્વીની ત્રિજ્યા, $R = 6400 \text{ km} = 6400 \times 10^3 \text{ m}$.
એન્ટેનાની ઊંચાઈ, $h = 500 \text{ m} = 0.5 \text{ km}$.
એન્ટેનાની રેન્જ $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \text{ km} \times 0.5 \text{ km}}$
$d = \sqrt{6400 \times 1} \text{ km}$
$d = \sqrt{6400} \text{ km} = 80 \text{ km}$.
આમ, એન્ટેનાની રેન્જ $80 \text{ km}$ છે.

(B) પ્રમાણિત ચાર-પટ્ટાવાળા કાર્બન અવરોધમાં,પ્રથમ ત્રણ પટ્ટા અવરોધનું મૂલ્ય દર્શાવે છે અને ચોથો પટ્ટો ટોલરન્સ દર્શાવે છે.
જો ચોથો પટ્ટો ગેરહાજર હોય,તો તે સૂચવે છે કે અવરોધમાં કોઈ ચોક્કસ ટોલરન્સ પટ્ટો નથી,જે પરંપરાગત રીતે $ 20 \% $ ના ટોલરન્સને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ છે: $R = 1500 \Omega$, $V = 300 \text{ V}$.
પરિપથ આકૃતિ જોતા, પાંચ અવરોધકો બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે. જોકે, એમીટર $A$ ને છેલ્લા ત્રણ અવરોધકોની શ્રેણીમાં મૂકવામાં આવ્યું છે.
ધારો કે ડાબેથી જમણે અવરોધકો $R_1, R_2, R_3, R_4, R_5$ છે.
અવરોધકો $R_1$ અને $R_2$ સીધા $300 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
અવરોધકો $R_3, R_4$ અને $R_5$ એકબીજા સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે, અને આ સંયોજન એમીટર $A$ સાથે શ્રેણીમાં $300 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
ત્રણ સમાંતર અવરોધકો $R_3, R_4, R_5$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R / 3 = 1500 / 3 = 500 \Omega$ છે.
એમીટર $A$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ આ સમાંતર સંયોજનમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5} \text{ A} = 0.6 \text{ A}$.

(B) પરિપથને જોતા,ઉપરના બે $3 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 3 \Omega + 3 \Omega = 6 \Omega$ છે.
આ $6 \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ બે શાખાઓ વચ્ચે જોડાયેલા $6 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{6 \Omega} + \frac{1}{6 \Omega} = \frac{2}{6 \Omega} = \frac{1}{3 \Omega}$,તેથી $R_2 = 3 \Omega$.
હવે,પરિપથમાં $4 \Omega$ નો અવરોધ,$3 \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_2)$,અને $5 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eq} = 4 \Omega + 3 \Omega + 5 \Omega = 12 \Omega$ થાય.

(C) બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ emf $E_{total} = E + E = 2E$ થશે,જ્યાં $E$ એ દરેક કોષનું emf છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r_{1} + r_{2}$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_{1}$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા કોષના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{1} = E - Ir_{1}$ છે.
આપેલ છે કે $V_{1} = 0$,તેથી $E - Ir_{1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = Ir_{1}$.
$I$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $E = \left( \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}} \right) r_{1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા,$1 = \frac{2r_{1}}{R + r_{1} + r_{2}}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$R + r_{1} + r_{2} = 2r_{1}$.
તેથી,$R = 2r_{1} - r_{1} - r_{2} = r_{1} - r_{2}$.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = IR$,જેને $I = \frac{1}{R}V$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,$I-V$ આલેખનો ઢાળ $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ મળે છે.
આમ,$I-V$ આલેખનો ઢાળ એ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(Slope \propto \frac{1}{R})$.
આપેલ આકૃતિમાં,રેખા $Q$ નો ઢાળ એ રેખા $P$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે (એટલે કે,$Slope_Q > Slope_P$).
તેથી,$\frac{1}{R_Q} > \frac{1}{R_P}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $R_P > R_Q$.

(D) ઓહ્મનો નિયમ અચળ ભૌતિક પરિસ્થિતિઓમાં વાહકોને લાગુ પડે છે.
ઓહ્મનો નિયમ જણાવે છે કે વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ તેના છેડાઓ વચ્ચે લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત (વોલ્ટેજ) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો તાપમાન અને અન્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિઓ અચળ રહે.
ગાણિતિક રીતે,આને $V = IR$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,અને $R$ એ અવરોધ છે.
ડાયોડ,ટ્રાન્ઝિસ્ટર અને ઇલેક્ટ્રોલાઇટ એ નોન-ઓહ્મિક ઉપકરણો હોવાથી,તેઓ આ રેખીય સંબંધનું પાલન કરતા નથી.

(B) સંપૂર્ણ શોષક સપાટી પર ફોટોનના કિરણો દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{P}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ પ્રકાશના કિરણની પાવર છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
પાવર $P$ એ $P = n \cdot E_{photon} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા છે.
બળના સમીકરણમાં $P$ ની કિંમત મૂકતા: $F = \frac{n \cdot hc}{\lambda \cdot c} = \frac{n \cdot h}{\lambda}$.
$n$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $n = \frac{F \cdot \lambda}{h}$.
આપેલ છે $F = 6.62 \times 10^{-5} \ N$,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$,અને $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
$n = \frac{(6.62 \times 10^{-5}) \times (5 \times 10^{-7})}{6.62 \times 10^{-34}}$.
$n = \frac{6.62}{6.62} \times 5 \times 10^{-5-7+34} = 1 \times 5 \times 10^{22} = 5 \times 10^{22}$.
આમ,$n = 5$.

(B) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}$
અહીં $m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2q_p$ આપેલ છે:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m_p \times 2q_p}{m_p \times q_p}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
આમ, તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $2\sqrt{2}$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$KE_{\max} = h\nu - \phi$
જ્યાં:
$KE_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
$\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ ધાતુ માટે વર્ક ફંક્શન $\phi$ અચળ હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{\max})$ સીધી રીતે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે.

(B) જ્યારે $q$ વીજભારને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ થાય છે.
આથી $mv = \sqrt{2mqV}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
$mv$ ની કિંમત મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$ મળે.
અહીં $m, q$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$r \propto \sqrt{V}$ થાય.
જો ત્રિજ્યા $2r$ થાય,તો $\frac{r'}{r} = \frac{\sqrt{V'}}{\sqrt{V}} = 2$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{V'}{V} = 4$,તેથી $V' = 4V$ મળે.

(B) આપેલ છે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 3t^{2} + 4t + 9$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,ફ્લક્સના સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^{2} + 4t + 9) = 6t + 4$.
હવે,$t = 2 \text{ s}$ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\varepsilon = |6(2) + 4| = |12 + 4| = 16 \text{ V}$.
આમ,$t = 2 \text{ s}$ સમયે પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $16 \text{ V}$ છે.

(D) હવામાં $r$ અંતરે રહેલા બે સમાન વિદ્યુતભારો $q$ વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \quad (1)$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારો વચ્ચે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ મૂકવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક અંતર $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ થાય છે.
અહીં,$t = r/2$ અને $K = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$r_{eff} = (r - r/2) + (r/2)\sqrt{4} = r/2 + (r/2)(2) = r/2 + r = 3r/2$.
નવું બળ $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(r_{eff})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(3r/2)^2}$ થશે.
$F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(9/4)r^2} = \frac{4}{9} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right)$.
સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$F' = \frac{4}{9}F$ મળે છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
$E = 2 \ N \ C^{-1}$
$r = 30 \ cm = 0.3 \ m = 30 \times 10^{-2} \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N \ m^{2} \ C^{-2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{(30 \times 10^{-2})^{2}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{900 \times 10^{-4}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{9 \times 10^{-2}}$
$2 = 10^{11} \times q$
$q = \frac{2}{10^{11}} = 2 \times 10^{-11} \ C$
આમ,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $2 \times 10^{-11} \ C$ થશે.

(B) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ દળ $m$ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
આપેલ કિંમતો: $m = 1 \ kg$,$q = 2 \ C$,$V = 1 \ V$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 1 \times v^2 = 2 \times 1$.
$\frac{1}{2}v^2 = 2$.
$v^2 = 4$.
$v = 2 \ m \ s^{-1}$.
તેથી,પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલો વેગ $2 \ m \ s^{-1}$ છે.

(D) સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર $q$ વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય નીચે મુજબ છે:
$W = q(V_{B} - V_{A})$
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ હોવાથી,બધા બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_{A} = V_{B}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = q(V_{A} - V_{A}) = q(0) = 0$
આમ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $0$ છે.

(B) બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ પ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નું વર્ણન કરે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^{3}}$
અહીં $\vec{r}$ એ પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ થી બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r = \frac{mv}{qB}$
જ્યાં $m$ એ દળ,$v$ એ વેગ અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે ત્રિજ્યા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $r \propto \frac{1}{B}$.
શરૂઆતમાં,$B$ ક્ષેત્ર માટે ત્રિજ્યા $r$ છે. ધારો કે જ્યારે ક્ષેત્ર ઘટાડીને $B' = B/2$ કરવામાં આવે ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r'$ છે.
સંબંધ $r \cdot B = r' \cdot B'$ પરથી:
$r \cdot B = r' \cdot (B/2)$
$r' = \frac{r \cdot B}{B/2} = 2r$.
તેથી,વર્તુળાકાર પથની નવી ત્રિજ્યા $2r$ થશે.

(C) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f = \frac{qB}{2\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યા $r$ પર પ્રોટોનનો મહત્તમ વેગ $v = \frac{qBr}{m} = 2\pi fr$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2\pi fr)^2 = 2\pi^2 mf^2r^2$ છે.
આપેલ કિંમતો: $f = 10 \times 10^6 \text{ Hz}$, $r = 0.6 \text{ m}$, $m = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K = 2 \times (3.14)^2 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)^2 \times (0.6)^2$
$K = 2 \times 9.8596 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{14} \times 0.36$
$K \approx 1.185 \times 10^{-12} \text{ J}$.
$\text{MeV}$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, $1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}$ વડે ભાગતા:
$K = \frac{1.185 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 7.4 \text{ MeV}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $7 \text{ MeV}$ છે.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા સમગ્ર વિશ્વમાં સમાન નથી.
તે પૃથ્વીની સપાટી પર એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ બદલાતી રહે છે.
આ ફેરફાર એટલા માટે થાય છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા કોઈ ચોક્કસ સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા પર આધાર રાખે છે.
પૃથ્વીની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાન ઘનતા સાથે વિતરિત થયેલી ન હોવાથી,ભૌગોલિક સ્થાનના આધારે ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા બદલાય છે.

(B) આપેલ છે: પાંખની લંબાઈ $l = 25 \ m$; જેટ પ્લેનની ઝડપ $v = 3600 \ km/h = 3600 \times \frac{5}{18} \ m/s = 1000 \ m/s$.
પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times 10^{-4} \ T$; નમનકોણ $\delta = 30^{\circ}$.
પાંખમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $e = B_v \cdot l \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_v$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક છે.
$B_v = B \sin(\delta) = 4 \times 10^{-4} \times \sin(30^{\circ}) = 4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2 \times 10^{-4} \ T$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = (2 \times 10^{-4} \ T) \times (25 \ m) \times (1000 \ m/s)$.
$e = 2 \times 10^{-4} \times 25000 = 2 \times 2.5 = 5 \ V$.
આમ,પાંખના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $5 \ V$ છે.

(B) પદાર્થોના ચુંબકીય ગુણધર્મો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથેની તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા નક્કી કરે છે:
$1$. ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો $(N_{1})$ ચુંબક દ્વારા મજબૂતીથી આકર્ષાય છે.
$2$. પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો $(N_{2})$ ચુંબક દ્વારા નબળું આકર્ષાય છે.
$3$. ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો $(N_{3})$ ચુંબક દ્વારા નબળું અપાકર્ષાય છે.
તેથી,જ્યારે ચુંબકને આ સોયની નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે $N_{1}$ ને મજબૂતીથી આકર્ષશે,$N_{2}$ ને નબળું આકર્ષશે અને $N_{3}$ ને નબળું અપાકર્ષશે.

(B) $\text{આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, } m \text{ દળને સમતુલ્ય ઉર્જા } E \text{ નું સૂત્ર } E = mc^2 \text{ છે, જ્યાં } c \text{ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.}$
$\text{આપેલ દળ } m = 1 \,g = 1 \times 10^{-3} \,kg.$
$\text{પ્રકાશની ઝડપ } c = 3 \times 10^8 \,m/s.$
$\text{આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:}$
$E = (1 \times 10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{13} \,J.$
$\text{તેથી, } 1 \,g \text{ દળ ધરાવતા પદાર્થને સમતુલ્ય ઉર્જા } 9 \times 10^{13} \,J \text{ છે.}$

(D) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $( T_{1/2} )$ $= 12.5 \text{ વર્ષ}$,પ્રારંભિક દળ $( N_0 )$ $= 64 \ mg$,કુલ સમય $( t )$ $= 50 \text{ વર્ષ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર: $ n = \frac{t}{T_{1/2}} $.
$ n = \frac{50}{12.5} = 4 $.
બાકી રહેલ દળ $( N )$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $ N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n $.
$ N = 64 \times (\frac{1}{2})^4 $.
$ N = 64 \times \frac{1}{16} $.
$ N = 4 \ mg $.
આમ,$ 50 $ વર્ષ પછી $ 4 \ mg $ ટ્રિટિયમ અવિભંજિત રહેશે.

(A) લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -25 \ cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ) અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +75 \ cm$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ લેન્સની બીજી બાજુએ પડદા પર રચાય છે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{75} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{75} + \frac{1}{25}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1 + 3}{75} = \frac{4}{75}$.
$f = \frac{75}{4} = +18.75 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ છે.

(D) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અરીસાની પાછળના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
જ્યારે કોઈ વસ્તુને બહિર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો પરાવર્તન પછી કેન્દ્રમાંથી અપસરણ પામતા હોય તેવું લાગે છે.
જો કે,મુખ્ય કેન્દ્ર અરીસાની પાછળ હોવાથી,આ વિશિષ્ટ ગોઠવણી માટે કિરણો વાસ્તવમાં કોઈ બિંદુએ મળતા નથી કે મળતા હોય તેવું જણાતું નથી,જેથી પરંપરાગત અર્થમાં પ્રતિબિંબ રચાતું નથી.
તેથી,બહિર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કોઈ પ્રતિબિંબ રચાતું નથી.

(C) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
અહીં,વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે).
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20}$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1 - 2}{20} = \frac{-1}{20}$.
તેથી,$v = -20 \ cm$.

(A) કોમન એમિટર $(CE)$ એમ્પ્લીફાયર કોન્ફિગરેશનમાં,ટ્રાન્ઝિસ્ટરને એવી રીતે બાયસ કરવામાં આવે છે કે જેથી એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ હોય.
ઇનપુટ $ac$ સિગ્નલને એમ્પ્લીફાય કરવા માટે,તેને ઇનપુટ બાજુ પરના $dc$ બાયસ વોલ્ટેજ પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે.
તેથી,ઇનપુટ $ac$ સિગ્નલને ફોરવર્ડ બાયસ્ડ એમિટર-બેઝ જંકશન પર લાગુ કરવામાં આવે છે જેથી એમિટરથી કલેક્ટર તરફના ચાર્જ કેરિયર્સના પ્રવાહને નિયંત્રિત કરી શકાય.

(A) આપેલ છે: કરંટ ગેઇન $\beta = 50$,$V_{CE} = 2 \ V$,અને $R_{C} = 4 \ k\Omega$.
કલેક્ટર કરંટ $I_{C}$ આઉટપુટ સર્કિટ લૂપ દ્વારા નક્કી થાય છે: $I_{C} = \frac{V_{CE}}{R_{C}} = \frac{2 \ V}{4 \times 10^{3} \ \Omega} = 0.5 \times 10^{-3} \ A = 0.5 \ mA$.
બેઝ કરંટ $I_{B}$ એ કરંટ ગેઇન સૂત્ર દ્વારા કલેક્ટર કરંટ સાથે સંબંધિત છે: $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$.
$I_{B}$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $I_{B} = \frac{I_{C}}{\beta} = \frac{0.5 \times 10^{-3} \ A}{50} = 0.01 \times 10^{-3} \ A = 10 \times 10^{-6} \ A = 10 \ \mu A$.
આમ,$I_{B} = 10 \ \mu A$ અને $I_{C} = 0.5 \ mA$ છે.

(A) આપેલ છે કે $ A=1 $ અને $ B=0 $.
બુલિયન બીજગણિતમાં,$ A $ નો પૂરક $ \bar{A} = \bar{1} = 0 $ થાય છે.
હવે,આ કિંમતોને $ \bar{A}+B $ પદાવલિમાં મૂકતા:
$ \bar{A}+B = 0 + 0 = 0 $.
કારણ કે $ B=0 $ છે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $ \bar{A}+B = B $.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $ A $ છે.

(B) આપેલ છે કે,શુદ્ધ જર્મેનિયમમાં આંતરિક વાહક ઘનતા (ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીની ઘનતા) $n_i = 3 \times 10^{16} \ m^{-3}$ છે.
એલ્યુમિનિયમ (ત્રિસંયોજક અશુદ્ધિ) સાથે ડોપિંગ કર્યા પછી,સેમિકન્ડક્ટર $p$-ટાઈપ બને છે અને હોલની ઘનતા $n_h = 4.5 \times 10^{22} \ m^{-3}$ થાય છે.
સેમિકન્ડક્ટર માટે માસ એક્શનના નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $(n_e)$ અને હોલ ઘનતા $(n_h)$ નો ગુણાકાર એ આંતરિક વાહક ઘનતાના વર્ગ $(n_i^2)$ જેટલો હોય છે:
$n_e \times n_h = n_i^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n_e = \frac{n_i^2}{n_h} = \frac{(3 \times 10^{16})^2}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = \frac{9 \times 10^{32}}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = 2 \times 10^{10} \ m^{-3}$.
તેથી,ડોપ્ડ જર્મેનિયમમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $2 \times 10^{10} \ m^{-3}$ હશે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi = B A$ $(1)$,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
વળી,$B = \mu H$ $(2)$,જ્યાં $\mu$ એ પરમિયેબિલિટી છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $\phi = (\mu H) A$ મળે છે.
ગોઠવણ કરતા,ગુણોત્તર $\frac{\phi}{\mu} = H A$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{2}]$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ને $\frac{\text{આંટાની સંખ્યા} \times \text{પ્રવાહ}}{\text{લંબાઈ}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1} A]$ છે.
તેથી,$\frac{\phi}{\mu}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1} A] \times [L^{2}] = [L^{1} A]$ થાય છે.
$M, L, T, A$ ના સ્વરૂપમાં,આ $[M^{0} L^{1} T^{0} A^{1}]$ છે.

(B) $a$ પહોળાઈની એકલ સ્લિટને કારણે થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં, મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = \pm \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \theta$, તેથી $\theta = \pm \frac{\lambda}{a}$ મળે.
મધ્યસ્થ (મુખ્ય) અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ એ બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું કોણીય અંતર છે.
તેથી, કોણીય પહોળાઈ $= \theta - (-\theta) = 2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ થાય.

(D) એક સ્લિટના ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ (અથવા મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ) સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ વપરાયેલા પ્રકાશની તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા વધારે હોવાથી $(\lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{blue}})$,પીળા પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવાથી તરંગલંબાઇમાં ઘટાડો થાય છે.
પરિણામે,વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ ઘટશે,એટલે કે પટ્ટાઓ વધુ સાંકડા બનશે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{1}$ ની $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા અને $\lambda_{2}$ ની $(n+1)^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા એકબીજા પર સંપાત થાય છે,તેથી:
$\frac{n \lambda_{1} D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_{2} D}{d}$
સામાન્ય પદો $\frac{D}{d}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$n \lambda_{1} = (n+1) \lambda_{2}$
આપેલ કિંમતો $\lambda_{1} = 780 \ nm$ અને $\lambda_{2} = 520 \ nm$ મૂકતા:
$n(780) = (n+1)(520)$
$780n = 520n + 520$
$780n - 520n = 520$
$260n = 520$
$n = \frac{520}{260} = 2$
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(A) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y = \frac{n \lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
ચોથી પ્રકાશિત શલાકા $(n=4)$ માટે,બે તરંગલંબાઇઓના સ્થાન:
$y_1 = \frac{4 \lambda_1 D}{d}$ અને $y_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
આ બે શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta y = y_1 - y_2 = \frac{4 D}{d} (\lambda_1 - \lambda_2)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 4$
$D = 1.2 \,m$
$d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
$\lambda_1 = 6500 \text{ Å} = 6500 \times 10^{-10} \,m$
$\lambda_2 = 5200 \text{ Å} = 5200 \times 10^{-10} \,m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta y = \frac{4 \times 1.2}{2 \times 10^{-3}} \times (6500 - 5200) \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = \frac{4.8}{2 \times 10^{-3}} \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 2.4 \times 10^3 \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 3120 \times 10^{-7} \,m = 0.312 \times 10^{-3} \,m$
$\Delta y = 0.312 \,mm$
આમ,ચોથી પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $0.312 \,mm$ છે.