KCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે,$C(x) = 20x + 4000$ અને $R(x) = 60x + 2000$.
નફો મેળવવા માટે,આવક ખર્ચ કરતા વધારે હોવી જોઈએ,એટલે કે $R(x) - C(x) > 0$.
આપેલ વિધેયો મૂકતા:
$(60x + 2000) - (20x + 4000) > 0$
$60x + 2000 - 20x - 4000 > 0$
$40x - 2000 > 0$
$40x > 2000$
$x > \frac{2000}{40}$
$x > 50$.
આમ,નફો મેળવવા માટે વસ્તુઓની સંખ્યા $x$ એ $50$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.

(D) આપેલ છે,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{x}=1$
આધારનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\left[\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{1+i^2+2i}{1^2-i^2}\right]^{x}=1$
કારણ કે $i^2 = -1$:
$\left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{2i}{2}\right]^{x}=1$
$i^x = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^k = 1$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $k$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
તેથી,$x = 4n$ જ્યાં $n \in N$.

(C) આપેલ છે,ભાગ $A$ માં કુલ પ્રશ્નો $= 6$ અને ભાગ $B$ માં કુલ પ્રશ્નો $= 7$.
દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો સાથે $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા માટે,શક્ય સંયોજનો છે:
$1$. ભાગ $A$ માંથી $4$ અને ભાગ $B$ માંથી $6$
$2$. ભાગ $A$ માંથી $5$ અને ભાગ $B$ માંથી $5$
$3$. ભાગ $A$ માંથી $6$ અને ભાગ $B$ માંથી $4$
કુલ રીતો $= ({ }^{6}C_{4} \times { }^{7}C_{6}) + ({ }^{6}C_{5} \times { }^{7}C_{5}) + ({ }^{6}C_{6} \times { }^{7}C_{4})$
$= (15 \times 7) + (6 \times 21) + (1 \times 35)$
$= 105 + 126 + 35 = 266$

(A) આપેલ છે કે,પદોની સંખ્યા $n = 51$.
$n$ એકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યમ પદ $\left(\frac{n+1}{2}\right)$-મું પદ થશે.
$\text{મધ્યમ પદ} = \left(\frac{51+1}{2}\right) = 26\text{-મું પદ}$.
તેથી,$T_{26} = a + 25d = 300$.
$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે.
અહીં,$l = T_{51} = a + 50d$.
$S_{51} = \frac{51}{2}(a + a + 50d) = \frac{51}{2}(2a + 50d) = 51(a + 25d)$.
$a + 25d = 300$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S_{51} = 51 \times 300 = 15300$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ}$
$\cos(n \times 360^{\circ} + \theta) = \cos \theta$ અને $\tan(n \times 360^{\circ} + \theta) = \tan \theta$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 1200^{\circ} = \cos(3 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos 120^{\circ}$
$\tan 1485^{\circ} = \tan(4 \times 360^{\circ} + 45^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
હવે,કિંમતો મેળવતા:
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\tan 45^{\circ} = 1$
તેથી,$\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(B) આપણને આપેલ પદાવલિ: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$ છે.
ગુણધર્મ $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $46^{\circ}$ થી $89^{\circ}$ સુધીના પદોને આ રીતે લખી શકીએ:
$\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$
$\tan 88^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 2^{\circ}) = \cot 2^{\circ}$
$\dots$
$\tan 46^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 44^{\circ}) = \cot 44^{\circ}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \dots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan \theta \cot \theta = 1$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી પદાવલિ:
$= 1 \times 1 \times \dots \times 1 \times 1 = 1$ થાય.

(B) આપેલ બિંદુ $(x_{1}, y_{1}) = (a \cos^{3} \theta, a \sin^{3} \theta)$.
આપેલ રેખા: $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$.
આપેલ રેખાને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા:
$y \operatorname{cosec} \theta = -x \sec \theta + a$
$y = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} x + a \sin \theta$.
તેથી,ઢાળ $m_{1} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{1}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ થાય.
માગેલ રેખાનું સમીકરણ $(y - y_{1}) = m(x - x_{1})$ મુજબ:
$y - a \sin^{3} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a \cos^{3} \theta)$
$y \sin \theta - a \sin^{4} \theta = x \cos \theta - a \cos^{4} \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{4} \theta - \sin^{4} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta) (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y = \alpha x^{2} - 6x + \beta \dots (i)$
પરવલય બિંદુ $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2 = \alpha(0)^{2} - 6(0) + \beta \implies \beta = 2$
હવે,સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2\alpha x - 6$
$x = \frac{3}{2}$ આગળ સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{3}{2}$ આગળ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x = 3/2} = 2\alpha \left(\frac{3}{2}\right) - 6 = 0$
$3\alpha - 6 = 0 \implies 3\alpha = 6 \implies \alpha = 2$
આમ,કિંમતો $\alpha = 2$ અને $\beta = 2$ છે.

(B) વિધાન $1$ માટે:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a} = \frac{a(1)^{2}+b(1)+c}{c(1)^{2}+b(1)+a} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$.
કારણ કે $a+b+c \neq 0$,લક્ષ $1$ છે. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ માટે:
$\lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2} = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{2+x}{2x}}{x+2} = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{2+x}{2x(x+2)} = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2(-2)} = -\frac{1}{4}$.
કારણ કે $-\frac{1}{4} \neq \frac{1}{4}$,વિધાન $2$ ખોટું છે.

(C) આપેલ સંખ્યાઓ $31, 32, 33, \ldots, 47$ છે.
દરેક પદમાંથી $30$ બાદ કરતા,આપણને $1, 2, 3, \ldots, 17$ શ્રેણી મળે છે.
જ્યારે દરેક પદમાંથી અચળ સંખ્યા બાદ કરવામાં આવે ત્યારે પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $SD = \sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}$ છે.
અહીં,$n = 17$.
$SD = \sqrt{\frac{17^{2}-1}{12}} = \sqrt{\frac{289-1}{12}} = \sqrt{\frac{288}{12}}$.
$SD = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(D) આપેલ છે કે,$n(A \times B) = 35$ અને $B \subset A$.
$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 35$ હોવાથી,$35$ ના અવયવો $(35, 1)$ અથવા $(7, 5)$ મળે.
$B \subset A$ અને $A, B$ નોન-સિંગલટન ગણ હોવાથી,$n(A) > n(B) > 1$ થાય.
તેથી,$n(A) = 7$ અને $n(B) = 5$.
હવે,${}^{n(A)}C_{n(B)} = {}^{7}C_{5}$ ની ગણતરી કરીએ.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{7}C_{5} = {}^{7}C_{2}$ મળે.
${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નું ક્ષેત્રફળ $\pi |ab|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ પરથી,$a^{2} = 25$ અને $b^{2} = \lambda^{2}$ મળે છે.
તેથી,$a = 5$ અને $b = |\lambda|$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $20 \pi$ ચોરસ એકમ આપેલ છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\pi \times 5 \times |\lambda| = 20 \pi$.
બંને બાજુ $5 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $|\lambda| = 4$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \pm 4$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર જેટલું જ હોય છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $M_1 = (1, 5, -1)$,$M_2 = (0, 4, -2)$ અને $M_3 = (2, 3, 4)$ છે.
આ મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y, z)$ તેમના યામોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{1 + 0 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{5 + 4 + 3}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$z = \frac{-1 - 2 + 4}{3} = \frac{1}{3}$
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $(1, 4, 1/3)$ છે.

(C) $1$. બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $l_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. આ રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 4y = 20$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી અસમતા $5x + 4y \geq 20$ છે.
$2$. આડી રેખા $l_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $y = 3$ ની નીચે આવેલો છે,તેથી અસમતા $y \leq 3$ છે.
$3$. ઉભી રેખા $l_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $x = 6$ ની ડાબી બાજુએ આવેલો છે,તેથી અસમતા $x \leq 6$ છે.
$4$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$5$. આ બધાને જોડતા,અસમતાઓનો સમૂહ $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ મળે છે. જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(A)=0.59, P(B)=0.30$ અને $P(A \cap B)=0.21$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.59 + 0.30 - 0.21 = 0.89 - 0.21 = 0.68$.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.68 = 0.32$.

(B) ધારો કે પરિવારોની કુલ સંખ્યા $x$ છે.
ધારો કે $A$ એ સેલ ફોન ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે,તેથી $n(A) = \frac{65}{100}x$.
ધારો કે $B$ એ સ્કૂટર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે,તેથી $n(B) = 15000$.
બંને ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $n(A \cap B) = \frac{15}{100}x$ છે.
દરેક પરિવાર પાસે ઓછામાં ઓછું એક હોવાથી,$n(A \cup B) = x$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{65x}{100} + 15000 - \frac{15x}{100}$
$x = \frac{50x}{100} + 15000$
$x = 0.5x + 15000$
$0.5x = 15000$
$x = \frac{15000}{0.5} = 30000$.
આમ,નગરમાં પરિવારોની કુલ સંખ્યા $30000$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & 1 & 0 \\ 0 & 2 \cos x & 3 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ સ્તંભ $(C_1)$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \cos x \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 \cos x & 3 \\ 1 & 2 \cos x \end{array} \right| - 0 + 0$
$f(x) = \cos x \cdot ((2 \cos x)(2 \cos x) - (3)(1))$
$f(x) = \cos x (4 \cos^2 x - 3)$
$f(x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \cos 3x$
હવે,લક્ષની ગણતરી કરતા:
$\lim_{x \rightarrow \pi} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pi} \cos 3x = \cos(3\pi)$
કારણ કે $\cos(3\pi) = -1$,તેથી લક્ષ $-1$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{3}-2x^{2}-9x+18=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}(x-2)-9(x-2)=0 \Rightarrow (x^{2}-9)(x-2)=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)(x-2)=0$.
આમ,$x$ ની શક્ય કિંમતો $x=2, 3, -3$ છે.
હવે,નિશ્ચાયક $A = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & x & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય મેળવીએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $A = 1(9x - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 7x)$.
$A = 9x - 48 - 2(-6) + 96 - 21x$.
$A = 9x - 48 + 12 + 96 - 21x = -12x + 60$.
હવે,$x$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x=2$ માટે: $A = -12(2) + 60 = -24 + 60 = 36$.
$x=3$ માટે: $A = -12(3) + 60 = -36 + 60 = 24$.
$x=-3$ માટે: $A = -12(-3) + 60 = 36 + 60 = 96$.
કિંમતો $36, 24, 96$ ની સરખામણી કરતા,$A$ ની મહત્તમ કિંમત $96$ છે.

(B) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}(1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1)\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}-3 & -2 \\ 10 & 7\end{array}\right]$
હવે,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને પરિવર્તિત શ્રેણિક $(AB)^{\prime}$ શોધો:
$(AB)^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}-3 & 10 \\ -2 & 7\end{array}\right]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n=3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.
આપણને $|A|=5$ અને $|B|=3$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|AB| = |A| \cdot |B| = 5 \times 3 = 15$.
ગુણધર્મ $|kA| = k^n |A|$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k$ એ અદિશ છે અને $n$ એ ચોરસ શ્રેણિકની કક્ષા છે,આપણને મળે છે:
$|3AB| = 3^3 |AB|$.
અહીં $n=3$ હોવાથી,$3^3 = 27$.
તેથી,$|3AB| = 27 \times 15 = 405$.

(D) ધારો કે $M$ એ $M = \begin{bmatrix} a & c \\ c & b \end{bmatrix}$ સ્વરૂપનો સંમિત શ્રેણિક છે,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
શ્રેણિક વ્યસ્ત હોવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$M$ નો નિશ્ચાયક $|M| = ab - c^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ વ્યસ્ત હોય તે માટે,આપણે $|M| \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $ab - c^2 \neq 0$,અથવા $ab \neq c^2$.
સંમિત શ્રેણિકમાં,બીજા વિકર્ણના ઘટકો બંને $c$ છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $c^2$ થાય છે.
આમ,વ્યસ્તતા માટેની શરત એ છે કે મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો ગુણાકાર $(ab)$ એ બીજા વિકર્ણના ઘટકોના ગુણાકાર $(c^2)$ જેટલો ન હોવો જોઈએ.

(D) વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે:
$1$. ગુણાકારનો વ્યસ્ત એ વ્યસ્ત શ્રેણિકોનો ઉલટા ક્રમમાં ગુણાકાર છે: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
$2$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ તેના વ્યસ્ત સાથે આ રીતે સંબંધિત છે: $\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$.
$3$. વ્યસ્ત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક એ મૂળ શ્રેણિકના નિશ્ચાયકનો વ્યસ્ત હોય છે: $\operatorname{det}(A^{-1}) = [\operatorname{det}(A)]^{-1}$.
$4$. સરવાળાનો વ્યસ્ત સામાન્ય રીતે વ્યસ્તોના સરવાળા જેટલો હોતો નથી: $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$.
તેથી,$(A+B)^{-1} = B^{-1} + A^{-1}$ વિધાન ખોટું છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\cos \left[\cot ^{-1}(-\sqrt{3})+\frac{\pi}{6}\right]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$.
તેથી,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$.
કારણ કે $\cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$,તેથી $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos \left[\pi - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right]$
$= \cos [\pi]$
$= -1$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \frac{5 \pi}{2}\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$ છે.
પ્રથમ,$\sin \frac{5 \pi}{2} = \sin \left(2 \pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ ની ગણતરી કરો.
હવે આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \times 1\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \frac{\pi}{3}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$E = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ અને $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$E = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ વિધેય,$f(x) = \frac{x}{1-|x|}$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1 - |x| \neq 0$
$|x| \neq 1$
$x \neq 1$ અને $x \neq -1$.
તેથી,પ્રદેશ એ $1$ અને $-1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેને $R - \{-1, 1\}$ તરીકે લખાય છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 6}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ:
$[x]^2 - [x] - 6 > 0$
અવયવ પાડતા:
$([x] - 3)([x] + 2) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે:
$[x] > 3$ અથવા $[x] < -2$
જો $[x] > 3$ હોય,તો $[x]$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $4$ થાય,જેનો અર્થ છે $x \geq 4$,એટલે કે $x \in [4, \infty)$.
જો $[x] < -2$ હોય,તો $[x]$ ની મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $-3$ થાય,જેનો અર્થ છે $x < -2$,એટલે કે $x \in (-\infty, -2)$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -2) \cup [4, \infty)$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ છે,જ્યાં $A = \{x \in R : x \neq 1, 2, 3, \dots\}$.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.
બધા $x \in A$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે $f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે,ધારો કે $y = \frac{2x}{x-1}$.
$y(x-1) = 2x \implies yx - y = 2x \implies x(y-2) = y \implies x = \frac{y}{y-2}$.
$f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,દરેક $y \in R$ માટે $x \in A$ હોવું જોઈએ. જો $y = 2$ હોય,તો $x$ અવ્યાખ્યાયિત છે. વધુમાં,આપણે ખાતરી કરવી જોઈએ કે $x$ ધન પૂર્ણાંક ન હોય. જો આપણે $y$ એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી $x$ ધન પૂર્ણાંક બને (દા.ત.,જો $x=2$,તો $y = \frac{2(2)}{2-1} = 4$),તો $y=4$ માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $x=2$ મળે છે,પરંતુ $2 \notin A$. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.

(A) આપેલ વિધેય,$f(x) = \sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x + 4$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = 2(\sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 2x \cdot \frac{1}{2}) + 4$
$f(x) = 2(\sin 2x \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{6}) + 4$
$f(x) = 2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) + 4$.
વિધેય $f(x) = \sin(\theta)$ ત્યારે એક-એક હોય છે જ્યારે તેનો ખૂણો $\theta$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં હોય.
તેથી,$f(x)$ એક-એક હોવા માટે:
$-\frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2}$
બધા પદોમાં $\frac{\pi}{6}$ ઉમેરતા:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
$-\frac{2\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{4\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{3} \leq 2x \leq \frac{2\pi}{3}$
$2$ વડે ભાગતા:
$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$.
આમ,વિધેય $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ અંતરાલમાં એક-એક છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 2x, & x > 3 \\ x^2, & 1 < x \leq 3 \\ 3x, & x \leq 1 \end{array}\right.$ છે.
$f(-2) + f(3) + f(4)$ શોધવા માટે,દરેક પદની ગણતરી કરીએ:
$1$. $f(-2)$ માટે: $-2 \leq 1$ હોવાથી,$f(x) = 3x$ નો ઉપયોગ કરીએ. તેથી,$f(-2) = 3(-2) = -6$.
$2$. $f(3)$ માટે: $1 < 3 \leq 3$ હોવાથી,$f(x) = x^2$ નો ઉપયોગ કરીએ. તેથી,$f(3) = (3)^2 = 9$.
$3$. $f(4)$ માટે: $4 > 3$ હોવાથી,$f(x) = 2x$ નો ઉપયોગ કરીએ. તેથી,$f(4) = 2(4) = 8$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $f(-2) + f(3) + f(4) = -6 + 9 + 8 = 11$.

(B) આપેલ $f(x)=\begin{cases} x^{3}-1, & 1 < x < \infty \\ x-1, & -\infty < x \leq 1 \end{cases}$
પ્રથમ,આપણે $x=1$ પર સાતત્ય ચકાસીએ.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (x^{3}-1) = 1^{3}-1 = 0$
$LHL = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (x-1) = 1-1 = 0$
$f(1) = 1-1 = 0$
અહીં $LHL = RHL = f(1)$ હોવાથી,વિધેય $x=1$ પર સતત છે.
હવે,આપણે $x=1$ પર વિકલનીયતા ચકાસીએ.
$f'(x) = \begin{cases} 3x^{2}, & 1 < x < \infty \\ 1, & -\infty < x < 1 \end{cases}$
$LHD = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f'(x) = 1$
$RHD = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f'(x) = 3(1)^{2} = 3$
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,વિધેય $x=1$ પર અવિકલનીય છે.
તેથી,વિધેય સતત અને અવિકલનીય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} + \cos x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે,આપણે ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}$ અને $\cos x$ નું વિકલન $-\sin x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx}(ax^{-4} - bx^{-2} + \cos x)$
$= a(-4x^{-5}) - b(-2x^{-3}) - \sin x$
$= -\frac{4a}{x^{5}} + \frac{2b}{x^{3}} - \sin x$
આને $ma + nb - p$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$m = -\frac{4}{x^{5}}$,$n = \frac{2}{x^{3}}$,અને $p = \sin x$.

(C) $y = (\cos x^{2})^{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot (2x)$
$\frac{dy}{dx} = -4x \sin x^{2} \cos x^{2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -2x(2 \sin x^{2} \cos x^{2}) = -2x \sin 2x^{2}$

(B) આપણે સરવાળાનું વિકલન શોધવાનું છે: $\frac{d}{d x}\left(x^{x}+x^{a}+a^{x}+a^{a}\right)$.
વિકલનના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{d x}\left(x^{x}\right)+\frac{d}{d x}\left(x^{a}\right)+\frac{d}{d x}\left(a^{x}\right)+\frac{d}{d x}\left(a^{a}\right)$.
$1$. $\frac{d}{d x}(x^x)$ માટે: ધારો કે $y = x^x$. બંને બાજુ $\log$ લેતા,$\log y = x \log x$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$. તેથી,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$.
$2$. $\frac{d}{d x}(x^a)$ માટે: ઘાતનો નિયમ વાપરતા,$\frac{d}{d x}(x^a) = a x^{a-1}$.
$3$. $\frac{d}{d x}(a^x)$ માટે: ઘાતાંકીય વિકલનનો નિયમ વાપરતા,$\frac{d}{d x}(a^x) = a^x \log a$.
$4$. $\frac{d}{d x}(a^a)$ માટે: $a$ અચળ હોવાથી,$a^a$ પણ અચળ છે,તેથી તેનું વિકલન $0$ થાય.
આ બધાને જોડતા,પરિણામ $x^{x}(1+\log x)+a x^{a-1}+a^{x} \log a$ મળે છે.

(A) વિધાન $1$ માટે:
$y = \log_{10} x + \log_{e} x$
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{a} b = \frac{\log_{e} b}{\log_{e} a}$,આપણને મળે:
$y = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} + \log_{e} x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_{e} 10} + \frac{1}{x}$
કારણ કે $\frac{1}{\log_{e} 10} = \log_{10} e$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log_{10} e}{x} + \frac{1}{x}$.
આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ માટે:
$\frac{d}{dx}(\log_{10} x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} \right) = \frac{1}{x \log_{e} 10}$.
વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે તે $\frac{\log x}{\log 10}$ છે,જે ખોટું છે.
તે જ રીતે,$\frac{d}{dx}(\log_{e} x) = \frac{1}{x}$.
વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે તે $\frac{\log x}{\log e}$ છે,જે ખોટું છે.
આમ,વિધાન $2$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે કે $y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{5}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$\log y = \log [(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{5}]$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log y = 2 \log (x-1) + 3 \log (x-2) + 5 \log (x-3)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} + \frac{5}{x-3}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} + \frac{5}{x-3} \right]$.
$x=4$ મૂકતા:
$y(4) = (4-1)^{2}(4-2)^{3}(4-3)^{5} = 3^{2} \times 2^{3} \times 1^{5} = 9 \times 8 \times 1 = 72$.
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=4} = 72 \left[ \frac{2}{4-1} + \frac{3}{4-2} + \frac{5}{4-3} \right] = 72 \left[ \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 5 \right]$.
$= 72 \left[ \frac{4 + 9 + 30}{6} \right] = 72 \times \frac{43}{6} = 12 \times 43 = 516$.

(C) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{t^{2}}{20} + \frac{t}{5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે,જે $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ છે.
$\theta$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\omega = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^{2}}{20} + \frac{t}{5} \right) = \frac{2t}{20} + \frac{1}{5} = \frac{t}{10} + \frac{1}{5}$.
$t = 4 \ s$ સમયે,કોણીય વેગ $k$ છે:
$k = \left( \frac{4}{10} + \frac{1}{5} \right) = \frac{4}{10} + \frac{2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6 \ rad/s$.
આપણે $5k$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે:
$5k = 5 \times 0.6 = 3$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} - 2x$ છે.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} - 2x) = 2x - 2$.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય ત્યારે $f'(x) < 0$ થાય.
તેથી,$2x - 2 < 0$.
$2(x - 1) < 0$.
$x - 1 < 0$.
$x < 1$.
આમ,વિધેય $f(x)$ એ $(-\infty, 1)$ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $x = \cos \theta + \log \tan \frac{\theta}{2}$.
$\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta + \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2}} \cdot \sec^2 \frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= -\sin \theta + \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{2}$
$= -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta}$
$= \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \quad ...(i)$
હવે,$y = \sin \theta$. $\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = \cos \theta \quad ...(ii)$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\cos \theta}{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}} = \tan \theta$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ માટે,$\tan \theta = 0$ થવું જોઈએ.
આથી,$\theta = n \pi$ જ્યાં $n \in Z$.

(C) આપેલ વક્ર $y = -x^{3} + 3x^{2} + 2x - 27$ છે.
વક્રનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = -3x^{2} + 6x + 2$.
ધારો કે ઢાળ $m = -3x^{2} + 6x + 2$ છે.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $m$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dm}{dx} = -6x + 6$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dm}{dx} = 0$ લેતા:
$-6x + 6 = 0 \implies x = 1$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા:
$\frac{d^{2}m}{dx^{2}} = -6 < 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન ઋણ છે,તેથી $x = 1$ આગળ ઢાળ મહત્તમ છે.
$m$ ના સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$m_{\text{max}} = -3(1)^{2} + 6(1) + 2 = -3 + 6 + 2 = 5$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x e^{x} d x}{(1+x)^{2}}$.
અંશને $(x+1-1)$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{e^{x}(x+1-1)}{(1+x)^{2}} d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{x+1}{(1+x)^{2}} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{1+x}$,તો $f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^{2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] d x = e^{x} f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^{x} \left( \frac{1}{1+x} \right) + C = \frac{e^{x}}{1+x} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1}\left(x^{4}\right)\right)}{1+x^{8}} dx$.
$t = \tan ^{-1}\left(x^{4}\right)$ આદેશ લેતા.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1+(x^{4})^{2}} \cdot 4x^{3} = \frac{4x^{3}}{1+x^{8}}$.
તેથી,$\frac{x^{3}}{1+x^{8}} dx = \frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \sin(t) \cdot \frac{1}{4} dt$.
$I = \frac{1}{4} \int \sin(t) dt = \frac{1}{4} (-\cos(t)) + C$.
$t = \tan ^{-1}\left(x^{4}\right)$ પાછું મૂકતા,$I = -\frac{1}{4} \cos \left(\tan ^{-1}\left(x^{4}\right)\right) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{6}+a^{6}}} dx$.
$x^{3} = t$ આદેશ લેતા.
તેથી,$3x^{2} dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}} dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}| + C$.
$t = x^{3}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \log |x^{3} + \sqrt{x^{6} + a^{6}}| + C$.

(A) ધારો કે $I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1+\sin x = 1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^{x} \left( \frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$.
ધારો કે $f(x) = \tan \frac{x}{2}$. તો $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
સંકલન $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,
આપણને $I = e^{x} \tan \frac{x}{2} + C$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}} \, dx \quad \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{4042-x}}{\sqrt{4042-x}+\sqrt{x}} \, dx \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}} \, dx$
$2I = \int_{0}^{4042} 1 \, dx$
$2I = [x]_{0}^{4042} = 4042$
$I = \frac{4042}{2} = 2021$

(D) $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x \, dx$ ... $(i)$
$I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+2} x \, dx$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x (1 + \tan^{2} x) \, dx$
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x \sec^{2} x \, dx$
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^{2} x \, dx$.
જ્યારે $x = 0, u = 0$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}, u = 1$.
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{1} u^{n} \, du = \left[ \frac{u^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}$.
$n = 8$ લેતા,$I_{8} + I_{10} = \frac{1}{8+1} = \frac{1}{9}$.

(A) સમીકરણ $y=-\sqrt{16-x^{2}}$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=16$ ના નીચેના અર્ધવર્તુળને દર્શાવે છે,જેની ત્રિજ્યા $r=4$ છે અને કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ક્ષેત્રફળ આ વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું હોવાથી,આપણે $X$-અક્ષની નીચેના અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
પૂર્ણ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2} = \pi(4)^{2} = 16\pi$ છે.
તેથી,અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 16\pi = 8\pi$ ચોરસ એકમ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,સંકલનનો ઉપયોગ કરીને:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left| \int_{-4}^{4} (-\sqrt{16-x^{2}}) dx \right|$
$= \left| \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4} \right]_{-4}^{4} \right|$
$= \left| [0 + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(-1)] \right|$
$= \left| 8(\frac{\pi}{2}) - 8(-\frac{\pi}{2}) \right| = |4\pi + 4\pi| = 8\pi$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $x dy = y dx$
બંને બાજુને $xy$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x, y \neq 0$): $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{x} dx$
આનાથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + C$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$,જ્યાં $c$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x-1}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{y+1} dy = \frac{1}{x-1} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y+1} dy = \int \frac{1}{x-1} dx$.
આનાથી મળે છે: $\ln|y+1| = \ln|x-1| + \ln|C|$,જેનું સાદું રૂપ $y+1 = C(x-1)$ થાય છે.
પ્રારંભિક શરત $y(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણમાં $x=1$ અને $y=2$ મૂકીએ છીએ:
$2+1 = C(1-1) \Rightarrow 3 = C(0)$.
આ સૂચવે છે કે $3 = 0$,જે વિરોધાભાસ છે.
કારણ કે પ્રારંભિક શરત $y(1) = 2$ એવા બિંદુએ આપવામાં આવી છે જ્યાં વિકલન $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત છે (જ્યાં $x=1$),તેથી ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) ધારો કે સદિશ $a$ યામ અક્ષો સાથે સમાન લઘુકોણ $\alpha$ બનાવે છે.
દિક્કોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,અને $n = \cos \alpha$ હોવાથી,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ સંબંધ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 \cos^2 \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,સદિશ $a$ ના દિક્ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સદિશ $b$ નો સદિશ $a$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{b \cdot a}{|a|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $b \cdot a = (5\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5(1) + 7(1) - 1(1) = 5 + 7 - 1 = 11$.
સદિશ $a$ નું માન $|a| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{11}{\sqrt{3}}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ છે,અને $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ એ વિકર્ણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$.
તેથી,$\vec{a} = \frac{\vec{d_1} + \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) + (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 10 \hat{k}}{2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
બાજુ $\vec{a}$ ની લંબાઈ $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$ છે.
તે જ રીતે,$\vec{b} = \frac{\vec{d_1} - \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) - (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
બાજુ $\vec{b}$ ની લંબાઈ $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$ છે.
$\sqrt{30}$ અને $\sqrt{29}$ ની સરખામણી કરતા,ટૂંકી બાજુ $\sqrt{29}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$a \cdot b = 0$ અને $(a + b)$ એ $a$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બે સદિશો વચ્ચેના ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 60^{\circ} = \frac{(a + b) \cdot a}{|a + b||a|}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a \cdot a + b \cdot a}{|a + b||a|}$
કારણ કે $a \cdot b = 0$,તેથી $b \cdot a = 0$ થાય.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{|a|^2}{|a + b||a|} = \frac{|a|}{|a + b|}$
$\Rightarrow |a + b| = 2|a|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|a + b|^2 = 4|a|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 4|a|^2$
$a \cdot b = 0$ હોવાથી:
$|a|^2 + |b|^2 = 4|a|^2$
$|b|^2 = 3|a|^2$
$|b| = \sqrt{3}|a|$

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $a$ અને $b$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|a \times b| = 15$ ચોરસ એકમ છે.
હવે,$(3a+2b)$ અને $(a+3b)$ બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું થાય:
ક્ષેત્રફળ $= |(3a+2b) \times (a+3b)|$
$= |3a \times a + 9a \times b + 2b \times a + 6b \times b|$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$,તેથી:
$= |9(a \times b) + 2(b \times a)|$
$b \times a = -(a \times b)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= |9(a \times b) - 2(a \times b)|$
$= |7(a \times b)|$
$= 7 |a \times b|$
આપેલ કિંમત $|a \times b| = 15$ મૂકતા:
$= 7 \times 15 = 105$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,4,1)$,$B(2,3,-1)$,$C(4,5,0)$ અને $D(2,6,2)$ છે.
આપણે ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણ $\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$ માં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ આ બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AD} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 6^2} = 9$.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$.
$\vec{BC} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{BD} = 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} \times \vec{BD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{BC} \times \vec{BD}| = 9$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $4.5 + 4.5 = 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ છે કે,રેખા $1$ ના દિશા કોસાઇન $(l_{1}, m_{1}, n_{1}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
રેખા $2$ ના દિશા કોસાઇન $(l_{2}, m_{2}, n_{2}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2}|$ છે.
કિંમતો મુકતા:
$\cos \theta = \left|\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3 + 1 - 12}{16}\right| = \left|-\frac{8}{16}\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A(-3, 4, 11)$ અને $B(1, -2, 7)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-3), -2 - 4, 7 - 11) = (4, -6, -4)$ છે.
તેને $-2$ વડે ભાગતા,આપણને સાદું રૂપ $(-2, 3, 2)$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(-3, 4, 11)$ અને દિકગુણોત્તર $(-2, 3, 2)$ મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-3)}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 3}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ છે.

(B) ધારો કે સમતલ યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \dots (i)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(a, 0, 0)$,$(0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ છે,તેથી યામોને સરખાવતા:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
$a, b$ અને $c$ ની કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$P(B) = \frac{3}{5}$,$P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{1}{2}$ અને $P(A \cup B) = \frac{4}{5}$.
$P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ હોવાથી:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{3}{5} - \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} + \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $E_{A}$ એ ઘટના છે કે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $6$ કરતા ઓછો છે.
$E_{A}$ માટેના શક્ય પરિણામો:
$E_{A} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
તેથી,$n(E_{A}) = 10$.
ધારો કે $E_{B}$ એ ઘટના છે કે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $3$ છે.
$E_{B}$ માટેના શક્ય પરિણામો:
$E_{B} = \{(1,2), (2,1)\}$
તેથી,$n(E_{B}) = 2$.
જરૂરી શરતી સંભાવના $P(E_{B}|E_{A}) = \frac{n(E_{B} \cap E_{A})}{n(E_{A})} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A)=P(B)=P(C)=P$.
$A, B$ અને $C$ માંથી ઓછામાં ઓછી બે ઘટનાઓ બને તેની સંભાવના નીચે મુજબના પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$1$. બરાબર બે ઘટનાઓ બને: $(A \cap B \cap C') \cup (A \cap B' \cap C) \cup (A' \cap B \cap C)$
$2$. ત્રણેય ઘટનાઓ બને: $(A \cap B \cap C)$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી, $P(A \cap B \cap C') = P(A)P(B)P(C') = P \times P \times (1-P) = P^{2}(1-P)$.
તેવી જ રીતે, $P(A \cap B' \cap C) = P^{2}(1-P)$ અને $P(A' \cap B \cap C) = P^{2}(1-P)$.
તેમજ, $P(A \cap B \cap C) = P \times P \times P = P^{3}$.
તેથી, $P(\text{ઓછામાં ઓછી બે ઘટનાઓ બને}) = 3 \times P^{2}(1-P) + P^{3}$.
$= 3P^{2} - 3P^{3} + P^{3} = 3P^{2} - 2P^{3}$.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે કાર પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની છે. ધારો કે $A_{1}$ એ ઘટના છે કે કાર પ્લાન્ટ $X$ માં ઉત્પાદિત થાય છે,અને $A_{2}$ એ ઘટના છે કે કાર પ્લાન્ટ $Y$ માં ઉત્પાદિત થાય છે.
આપેલી સંભાવનાઓ છે:
$P(A_{1}) = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$
$P(A_{2}) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$P(E|A_{1}) = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$
$P(E|A_{2}) = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,જો કાર પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની હોય તો તે પ્લાન્ટ $X$ માંથી આવી હોય તેની સંભાવના:
$P(A_{1}|E) = \frac{P(A_{1}) \times P(E|A_{1})}{P(A_{1}) \times P(E|A_{1}) + P(A_{2}) \times P(E|A_{2})}$
$P(A_{1}|E) = \frac{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10}}{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10} + \frac{3}{10} \times \frac{9}{10}}$
$P(A_{1}|E) = \frac{56/100}{56/100 + 27/100} = \frac{56}{56 + 27} = \frac{56}{83}$
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{56}{83}$ છે.