KCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} x^2-1, & 0 < x < 2 \\ 2x+3, & 2 \leq x < 3 \end{cases}$.
પ્રથમ,$x=2$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (x^2-1) = 2^2 - 1 = 3$.
ત્યારબાદ,$x=2$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (2x+3) = 2(2) + 3 = 7$.
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha = 3$ અને $\beta = 7$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \times \beta) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (3 + 7)x + (3 \times 7) = 0$.
આમ,સમીકરણ $x^2 - 10x + 21 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x + i(4x - y) = 6 - i$
$LHS$ અને $RHS$ ના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$3x = 6$ અને $4x - y = -1$
$3x = 6$ પરથી,આપણને $x = 2$ મળે છે.
$x = 2$ ને $4x - y = -1$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(2) - y = -1$
$8 - y = -1$
$y = 8 + 1 = 9$
તેથી,$x = 2$ અને $y = 9$ મળે છે.

(B) $MASK$ શબ્દના અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ $A, K, M, S$ છે.
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$ શબ્દો ($1$ થી $6$).
$K$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$ શબ્દો ($7$ થી $12$).
$M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$ શબ્દો ($13$ થી $18$).
$S$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$SAKM$ ($19$ મો શબ્દ),
$SAMK$ ($20$ મો શબ્દ),
$SKAM$ ($21$ મો શબ્દ),
$SKMA$ ($22$ મો શબ્દ),
$SMAK$ ($23$ મો શબ્દ),
$SMKA$ ($24$ મો શબ્દ).
આમ,$19$ મો શબ્દ $SAKM$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}$ એ પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આપણને $\frac{a_3}{a_1} = 25$ આપેલ છે.
$a_n = ar^{n-1}$ હોવાથી,$a_3 = ar^2$ અને $a_1 = a$ થાય.
તેથી,$\frac{ar^2}{a} = 25$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 25$.
આપણે $\frac{a_9}{a_5}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$n$-માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_9}{a_5} = \frac{ar^8}{ar^4} = r^4$ મળે.
$r^2 = 25$ હોવાથી,$r^4 = (r^2)^2 = (25)^2 = (5^2)^2 = 5^4$ થાય.

(C) રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટેનું સૂત્ર: $\text{અંશ} = \text{રેડિયન} \times \frac{180^{\circ}}{\pi}$.
આપેલ ખૂણો $\frac{\pi}{32}$ રેડિયન છે.
$\text{અંશ માપ} = \frac{\pi}{32} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180}{32}^{\circ} = \frac{45}{8}^{\circ} = 5 \frac{5}{8}^{\circ}$.
હવે,અપૂર્ણાંક ભાગને મિનિટમાં ફેરવતા: $5^{\circ} + (\frac{5}{8} \times 60)^{\prime} = 5^{\circ} + (\frac{300}{8})^{\prime} = 5^{\circ} + 37.5^{\prime} = 5^{\circ} 37^{\prime} + 0.5^{\prime}$.
બાકીના અપૂર્ણાંક ભાગને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $0.5^{\prime} = (0.5 \times 60)^{\prime \prime} = 30^{\prime \prime}$.
આમ,અંતિમ માપ $5^{\circ} 37^{\prime} 30^{\prime \prime}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = \tan x$.
$II$ ચરણમાં,ખૂણો $x$ એ $\frac{\pi}{2}$ થી $\pi$ ની વચ્ચે હોય છે.
જેમ $x$ એ $\frac{\pi}{2}^+$ ની નજીક જાય છે,તેમ $\tan x$ એ $-\infty$ ની નજીક જાય છે.
જેમ $x$ એ $\pi^-$ ની નજીક જાય છે,તેમ $\tan x$ એ $0$ ની નજીક જાય છે.
આમ,$x$ વધતા વિધેયની કિંમત $-\infty$ થી $0$ સુધી વધે છે,તેથી $II$ ચરણમાં $y = \tan x$ એ $-\infty$ થી $0$ સુધી વધે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}$ છે.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} [2 \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{5 \pi}{12} - \frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{5 \pi}{12} + \frac{\pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{4 \pi}{12}) - \cos(\frac{6 \pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{2})]$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - 0] = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે $y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 8 \theta}}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું ક્રમશઃ સાદુંરૂપ આપીએ:
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1 + \cos 8 \theta)}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 4 \theta)}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 4 \theta}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2(1 + \cos 4 \theta)}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 2 \theta)}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 2 \theta}}$
$y = \sqrt{2+2 \cos 2 \theta}$
$y = \sqrt{2(1 + \cos 2 \theta)}$
$y = \sqrt{2(2 \cos^2 \theta)}$
$y = \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$.

(B) $(7, 17)$ અને $(15, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ છે.
આપેલ રેખા $2x - 3y + 17 = 0$ છે,જેને $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{3}$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \cdot m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,$\left(\frac{\beta - 17}{8}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3+y^3}-\sqrt{3}}{y^3}$
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim _{y}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{3+y^3}-\sqrt{3})}{y^3} \times \frac{(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}{(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}$
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{3+y^3-3}{y^3(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}$
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^3}{y^3(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}$
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3}}$
$y = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{1}{\sqrt{3+0}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

(D) આપેલ સંખ્યાઓ $-1, 0, 1, k$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન,$\sigma = \sqrt{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$.
અહીં,$n = 4$.
$\sigma^2 = 5 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2}{4} - \left(\frac{-1 + 0 + 1 + k}{4}\right)^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \left(\frac{k}{4}\right)^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$.
સમીકરણને $16$ વડે ગુણતા:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$.
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$.
$72 = 3k^2$.
$k^2 = 24$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(A) આપેલ છે,$n(A)=p, n(B)=q$ અને $n(A \times B)=7$.
કારણ કે,$n(A \times B)=n(A) \times n(B)$,તેથી $p \times q = 7$.
$p$ અને $q$ એ ગણના ઘટકોની સંખ્યા હોવાથી,તે ધન પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ. $7$ ના અવયવો $1$ અને $7$ છે.
આમ,$(p, q)$ માટે શક્ય કિંમતો $(7, 1)$ અથવા $(1, 7)$ છે.
બંને કિસ્સામાં,$p^2+q^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$.

(A) આપેલ છે,$A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$.
$A$ માં રહેલી એકી સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n = 2^5 = 32$ થાય.
પ્રશ્નમાં માત્ર એકી સંખ્યાઓ ધરાવતા ઉપગણો પૂછ્યા હોવાથી,આપણે ખાલી ગણ (જેમાં કોઈ ઘટક નથી) ને બાદ કરીશું.
તેથી,અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ થાય.

(D) આપેલ સંબંધ $3 a+2 b=27$ છે જ્યાં $a, b \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ).
$2 b = 27 - 3 a$
$b = \frac{3(9 - a)}{2}$
$b$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $3(9 - a)$ એ બેકી અને ધન હોવી જોઈએ.
$a = 1$ માટે,$b = 12$.
$a = 3$ માટે,$b = 9$.
$a = 5$ માટે,$b = 6$.
$a = 7$ માટે,$b = 3$.
$a = 9$ માટે,$b = 0$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
આમ,$R = \{(1, 12), (3, 9), (5, 6), (7, 3)\}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. નોંધો કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
અહીં આપણે શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું. કારણ કે $I$ અને $A$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(IA = AI = A)$,તેથી:
$(aI + bA)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (aI)^{n-k} (bA)^k$.
કારણ કે $k \ge 2$ માટે $A^k = O$ થાય છે,તેથી માત્ર $k=0$ અને $k=1$ વાળા પદો જ શૂન્યતર રહેશે:
$(aI + bA)^n = \binom{n}{0} (aI)^n (bA)^0 + \binom{n}{1} (aI)^{n-1} (bA)^1$.
$(aI + bA)^n = 1 \cdot a^n I \cdot I + n \cdot a^{n-1} I \cdot bA$.
$(aI + bA)^n = a^n I + n a^{n-1} b A$.

(D) આપેલ છે કે,$A^T = -A$.
ધારો કે $P = A^{2021}$.
તેથી,$P^T = (A^{2021})^T = (A^T)^{2021}$.
$A^T = -A$ મૂકતા,આપણને મળે છે $P^T = (-A)^{2021} = (-1)^{2021} A^{2021}$.
કારણ કે $2021$ એ એકી સંખ્યા છે,તેથી $(-1)^{2021} = -1$.
આમ,$P^T = -A^{2021} = -P$.
$P^T = -P$ હોવાથી,$A^{2021}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n \times n$ શ્રેણિક $M$ માટે,$|kM| = k^n |M|$ થાય.
આ ગુણધર્મ $|5 \times \text{adj}(A)| = 5$ પર લાગુ પાડતા,આપણને $5^3 |\text{adj}(A)| = 5$ મળે છે.
આથી $|\text{adj}(A)| = \frac{5}{5^3} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ થાય.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ થાય.
$n = 3$ માટે,$|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ થાય.
$|\text{adj}(A)|$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $|A|^2 = \frac{1}{25}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|A| = \pm \frac{1}{5}$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $A$ માટે,શ્રેણિકની ઘાતનો વ્યસ્ત $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગુણધર્મને આપેલ પદાવલિ પર લાગુ કરતા:
$(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A^{-1})^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,$A^2$ શોધીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-3 & -2+2 \\ 6-6 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^2 = I$ હોવાથી,$A^3$ શોધી શકાય:
$A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$.
આપણે $A^3$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $(A^3)^{-1}$ શોધવાનો છે.
$A^3 = A$ હોવાથી,$(A^3)^{-1} = A^{-1}$ થાય.
$A^2 = I$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A = I$,જેનો અર્થ છે કે $A^{-1} = A$.
તેથી,$(A^3)^{-1} = A$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5 \\ 2 & a & -1 \\ 0 & 4 & 2a\end{array}\right|=86$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(a(2a) - (-1)(4)) - (-2)(2(2a) - (-1)(0)) + 5(2(4) - a(0)) = 86$
$1(2a^2 + 4) + 2(4a) + 5(8) = 86$
$2a^2 + 4 + 8a + 40 = 86$
$2a^2 + 8a + 44 = 86$
$2a^2 + 8a - 42 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$a^2 + 4a - 21 = 0$
આ $Aa^2 + Ba + C = 0$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે. બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=1$ અને $B=4$ છે,તેથી '$a$' ના મૂલ્યોનો સરવાળો $-\frac{4}{1} = -4$ થાય.

(B) આપેલ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-2, 6)$,$(x_2, y_2) = (3, -6)$ અને $(x_3, y_3) = (1, 5)$ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નિશ્ચાયકની મદદથી નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-6 - 5) + 3(5 - 6) + 1(6 - (-6))|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-11) + 3(-1) + 1(12)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |22 - 3 + 12|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |31| = 15.5 \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) આપેલ છે,$A_n = \begin{bmatrix} 1-n & n \\ n & 1-n \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A_n|$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$|A_n| = (1-n)(1-n) - (n)(n)$
$|A_n| = 1 - 2n + n^2 - n^2 = 1 - 2n$.
હવે,આપણે સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{2021} |A_n| = \sum_{n=1}^{2021} (1 - 2n)$ શોધવો છે.
આને નીચે મુજબ વિસ્તૃત કરી શકાય:
$S = (1-2) + (1-4) + (1-6) + \dots + (1 - 2 \times 2021)$
$S = (1 + 1 + \dots + 1) - 2(1 + 2 + 3 + \dots + 2021)$
અહીં $1$ ના $2021$ પદો છે,તેથી પ્રથમ ભાગ $2021$ છે.
બીજો ભાગ એ સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો છે: $2 \times \frac{2021(2021+1)}{2} = 2021 \times 2022$.
આમ,$S = 2021 - 2021 \times 2022$.
$S = 2021(1 - 2022) = 2021(-2021) = -(2021)^2$.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1-x)} + \sqrt{x+2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ: $x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$3$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log_{10}(1-x) \neq 0 \implies 1 - x \neq 10^0 \implies 1 - x \neq 1 \implies x \neq 0$.
આ શરતોને જોડતા: $x \geq -2$,$x < 1$,અને $x \neq 0$.
આમ,પ્રદેશ $x \in [-2, 0) \cup (0, 1)$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \cos^{-1}[x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $u \in [-1, 1]$ છે.
તેથી,$\cos^{-1}[x]$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$-1 \leq [x] \leq 1$ હોવું જોઈએ.
અહીં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,$[x]$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-1, 0, 1$ છે.
જો $[x] = -1$,તો $-1 \leq x < 0$.
જો $[x] = 0$,તો $0 \leq x < 1$.
જો $[x] = 1$,તો $1 \leq x < 2$.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $-1 \leq x < 2$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $x \in [-1, 2)$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 2x & : x > 3 \\ x^2 & : 1 < x \leq 3 \\ 3x & : x \leq 1 \end{cases}$ છે.
$f(-1) + f(2) + f(4)$ શોધવા માટે,આપણે આપેલી શરતોના આધારે દરેક પદની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $f(-1)$ માટે,કારણ કે $-1 \leq 1$,આપણે ત્રીજી શરતનો ઉપયોગ કરીશું: $f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ માટે,કારણ કે $1 < 2 \leq 3$,આપણે બીજી શરતનો ઉપયોગ કરીશું: $f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ માટે,કારણ કે $4 > 3$,આપણે પ્રથમ શરતનો ઉપયોગ કરીશું: $f(4) = 2(4) = 8$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(A) બે ગણ વચ્ચે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય (bijection) ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો બંને ગણના ઘટકોની સંખ્યા સમાન હોય.
અહીં ગણ $x$ માં $7$ ઘટકો છે અને ગણ $y$ માં $8$ ઘટકો છે,તેથી તેમની સંખ્યા સમાન નથી.
તેથી,$x$ થી $y$ પર કોઈ પણ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય નહીં.
આમ,એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$x=e^{\theta} \sin \theta$ અને $y=e^{\theta} \cos \theta$.
બંનેનું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = e^{\theta} \sin \theta + e^{\theta} \cos \theta = e^{\theta}(\sin \theta + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = e^{\theta} \cos \theta - e^{\theta} \sin \theta = e^{\theta}(\cos \theta - \sin \theta)$
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{e^{\theta}(\cos \theta - \sin \theta)}{e^{\theta}(\cos \theta + \sin \theta)} = \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ મળે.
$(x, y) = (1, 1)$ બિંદુએ,$x = e^{\theta} \sin \theta = 1$ અને $y = e^{\theta} \cos \theta = 1$.
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા,$\frac{y}{x} = \frac{e^{\theta} \cos \theta}{e^{\theta} \sin \theta} = \cot \theta = 1$,તેથી $\tan \theta = 1$.
$\tan \theta = 1$ ની કિંમત $\frac{dy}{dx}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$.

(A) આપેલ છે,$y = (1 + x^2) \tan^{-1} x - x$.
પ્રથમ પદ માટે ગુણાકારનો નિયમ અને બાકીના પદો માટે ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(1 + x^2) \tan^{-1} x] - \frac{d}{dx} (x)$
$\frac{dy}{dx} = [(1 + x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) + \tan^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)] - 1$
$\frac{dy}{dx} = [(1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2} + \tan^{-1} x \cdot (2x)] - 1$
$\frac{dy}{dx} = [1 + 2x \tan^{-1} x] - 1$
$\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x$.

(C) આપેલ છે,$y=x^{\sin x}+(\sin x)^x$.
ધારો કે $u=x^{\sin x}$ અને $v=(\sin x)^x$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$.
$u=x^{\sin x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = \sin x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \sin x \cdot \frac{1}{x} + \cos x \log x$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x \right)$.
$v=(\sin x)^x$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log v = x \log(\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \log(\sin x) = x \cot x + \log(\sin x)$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^x (x \cot x + \log(\sin x))$.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\frac{du}{dx} = (\frac{\pi}{2})^{\sin(\pi/2)} (\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} + \cos(\pi/2) \log(\pi/2)) = (\frac{\pi}{2})^1 (\frac{1}{\pi/2} + 0) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{\pi} = 1$.
$\frac{dv}{dx} = (\sin(\pi/2))^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} \cot(\pi/2) + \log(\sin(\pi/2))) = (1)^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} \cdot 0 + \log(1)) = 1 \cdot (0 + 0) = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 1 + 0 = 1$.

(A) આપેલ છે કે,$y=e^{\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}}, x>1$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log _e y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}} \log _e e = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}$.
વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ પુનરાવર્તિત થતી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\log _e y = \sqrt{x \log _e y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\log _e y)^2 = x \log _e y$.
$\log _e y$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x>1$,$y>1$,તેથી $\log _e y \neq 0$):
$\log _e y = x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 \implies \frac{d y}{d x} = y$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} = y$.
$x = \log _e 3$ આગળ,આપણી પાસે $\log _e y = \log _e 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 3$.
તેથી,$\frac{d^2 y}{d x^2} = y = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $e^y + xy = e$ છે.
$x = 0$ આગળ,$e^y + 0 = e \Rightarrow e^y = e \Rightarrow y = 1$.
$e^y + xy = e$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{e^y + x}$.
$x = 0$ અને $y = 1$ મુકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^1 + 0} = -\frac{1}{e}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + \frac{dy}{dx} (e^y \frac{dy}{dx} + 1) = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{dx} = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ મુકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e + 0) + e \left(-\frac{1}{e}\right)^2 + 2 \left(-\frac{1}{e}\right) = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left(\frac{1}{e^2}\right) - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $\left(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2}\right)$ છે.

(B) ધારો કે $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$.
$x = 1$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1) \cdot f^{\prime}(1)$.
આપેલ છે કે $f(1) = 1$ અને $f^{\prime}(1) = 3$:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot 3 + 2(1)(3)$.
કારણ કે $f(1) = 1$,તેથી $f(f(1)) = f(1) = 1$.
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot 3 + 6$.
$f^{\prime}(1) = 3$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\sqrt{x}+\sqrt{y}=6$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
આથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
સ્પર્શક અક્ષો સાથે સમાન નમેલો હોવાથી,તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \pm 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{y} = \pm \sqrt{x}$.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી $\sqrt{y} = \sqrt{x}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x$.
$y = x$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} = 6
2\sqrt{x} = 6
\sqrt{x} = 3
x = 9$.
$y = x$ હોવાથી,$y = 9$ મળે છે.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(9, 9)$ છે.

(C) આપેલ છે,$f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$1+x > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x > -1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{(2+x)(1) - x(1)}{(2+x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{2+x-x}{(2+x)^2} \right] = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+x^2+4x-4-4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
અહીં $x^2 \ge 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ હોવાથી,$f^{\prime}(x)$ ની નિશાની $\frac{1}{1+x}$ પર આધાર રાખે છે.
વિધેય વધતું હોવા માટે $f^{\prime}(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$x > -1$ માટે $1+x > 0$ થાય છે,તેથી $x \in (-1, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ મળે છે.
આમ,વિધેય $(-1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે,$f(x)=4 \sin ^3 x-6 \sin ^2 x+12 \sin x+100$.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 12 \sin^2 x \cos x - 12 \sin x \cos x + 12 \cos x$.
$12 \cos x$ સામાન્ય લેતા:
$f'(x) = 12 \cos x (\sin^2 x - \sin x + 1)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $g(t) = t^2 - t + 1$ ધ્યાનમાં લો જ્યાં $t = \sin x$.
વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$.
$t^2$ નો સહગુણક ધન હોવાથી અને $D < 0$ હોવાથી,$\sin^2 x - \sin x + 1$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હંમેશા ધન છે.
આમ,$f'(x)$ ની નિશાની માત્ર $\cos x$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે $\cos x > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$,જે $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં થાય છે.
જ્યારે $\cos x < 0$ હોય ત્યારે $f'(x) < 0$,જે $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ માં ચુસ્તપણે ઘટતું વિધેય છે.

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = 2(\sin x + x \cos \alpha) + c$

(A) આપેલ છે કે,$\int \frac{d x}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=a \log \left|1+x^2\right|+b \tan ^{-1} x+\frac{1}{5} \log |x+2|+c$.
ધારો કે $\frac{1}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B x+C}{\left(x^2+1\right)}$.
તેથી $1=A(x^2+1)+(x+2)(Bx+C) = (A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A+B=0$,$2B+C=0$,અને $A+2C=1$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A=\frac{1}{5}$,$B=-\frac{1}{5}$,અને $C=\frac{2}{5}$ મળે છે.
આમ,$\int \frac{d x}{(x+2)\left(x^2+1\right)} = \int \left( \frac{1}{5(x+2)} - \frac{x}{5(x^2+1)} + \frac{2}{5(x^2+1)} \right) dx$.
$= \frac{1}{5} \log |x+2| - \frac{1}{10} \log |x^2+1| + \frac{2}{5} \tan^{-1} x + c$.
આપેલ પદ સાથે સરખાવતા,$a=-\frac{1}{10}$ અને $b=\frac{2}{5}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\sin \theta} \cos^3 \theta d \theta$.
આદેશ લો: $\sin \theta = t$,તેથી $\cos \theta d \theta = dt$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $t = 0$. જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = 1$.
અહીં $\cos^3 \theta d \theta = \cos^2 \theta (\cos \theta d \theta) = (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta d \theta = (1 - t^2) dt$.
તેથી,$I = \int_0^1 \sqrt{t} (1 - t^2) dt = \int_0^1 (t^{1/2} - t^{5/2}) dt$.
સંકલન કરતા: $I = \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} - \frac{t^{7/2}}{7/2} \right]_0^1$.
$I = \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{7} t^{7/2} \right]_0^1$.
$I = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{7} \right) - 0 = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x \sin x}{1+\sin x} d x$.
અંશને $\cos x(1+\sin x - 1)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x(1+\sin x) - \cos x}{1+\sin x} d x$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $I = \int_0^{\pi / 2} \cos x d x - \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x} d x$ મળે.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_0^{\pi / 2} \cos x d x = [\sin x]_0^{\pi / 2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $t = 1 + \sin x$,તો $dt = \cos x dx$.
જ્યારે $x = 0, t = 1$; જ્યારે $x = \pi/2, t = 2$.
તેથી,$\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x} d x = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\log |t|]_1^2 = \log 2 - \log 1 = \log 2$.
આમ,$I = 1 - \log 2$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^8 [x] dx$.
કારણ કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તે $[n, n+1)$ અંતરાલો પર અચળ પૂર્ણાંક કિંમતો લે છે.
આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \int_3^4 3 dx + \int_4^5 4 dx + \int_5^6 5 dx + \int_6^7 6 dx + \int_7^8 7 dx$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = 0 + 1(2-1) + 2(3-2) + 3(4-3) + 4(5-4) + 5(6-5) + 6(7-6) + 7(8-7)$.
$I = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7$.
$I = \frac{7(7+1)}{2} = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.

(D) આપણે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ સરવાળાની મર્યાદા તરીકે કરીએ છીએ: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{h \to 0} h \sum_{r=0}^{n-1} f(a+rh)$,જ્યાં $nh = b-a$.
અહીં,$a=2$,$b=3$,અને $f(x)=x^2$. તેથી,$nh = 3-2 = 1$.
$I = \lim_{h \to 0} h \sum_{r=0}^{n-1} (2+rh)^2 = \lim_{h \to 0} h \sum_{r=0}^{n-1} (4 + 4rh + r^2h^2)$.
$I = \lim_{h \to 0} [4nh + 4h^2 \sum_{r=0}^{n-1} r + h^3 \sum_{r=0}^{n-1} r^2]$.
સૂત્રો $\sum_{r=0}^{n-1} r = \frac{(n-1)n}{2}$ અને $\sum_{r=0}^{n-1} r^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \lim_{h \to 0} [4nh + 4h^2 \frac{(n-1)n}{2} + h^3 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}]$.
કારણ કે $nh=1$,આપણને મળે છે $I = \lim_{h \to 0} [4(1) + 2(nh-h)(nh) + \frac{(nh-h)(nh)(2nh-h)}{6}]$.
$nh=1$ અને $h \to 0$ મૂકતા:
$I = 4 + 2(1)(1) + \frac{(1)(1)(2)}{6} = 4 + 2 + \frac{1}{3} = 6 + \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$.

(D) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(2+x)^3} d x$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ ફરીથી લખીએ છીએ:
$\frac{x}{(2+x)^3} = \frac{(x+2)-2}{(2+x)^3} = \frac{1}{(2+x)^2} - \frac{2}{(2+x)^3}$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(2+x)^2}$. તો $f'(x) = -2(2+x)^{-3} = -\frac{2}{(2+x)^3}$.
આમ,સંકલન $\int_0^1 e^x [f(x) + f'(x)] d x$ બને છે.
પ્રમાણિત પરિણામ $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = [e^x \cdot \frac{1}{(2+x)^2}]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = (e^1 \cdot \frac{1}{(2+1)^2}) - (e^0 \cdot \frac{1}{(2+0)^2}) = \frac{e}{9} - \frac{1}{4}$.

(B) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{3}$ સુધીના વિધેય $y = \tan x$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_0^{\pi / 3} \tan x \, dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x$ નું સંકલન $\log |\sec x|$ થાય છે.
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = [\log |\sec x|]_0^{\pi / 3}$
હવે,સીમાઓ મૂકતા:
$= \log |\sec \frac{\pi}{3}| - \log |\sec 0|$
કારણ કે $\sec \frac{\pi}{3} = 2$ અને $\sec 0 = 1$ છે:
$= \log |2| - \log |1|$
$= \log 2 - 0 = \log 2 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y_1^2)^{2/3} = y_2$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે.
સમીકરણની બંને બાજુએ ઘન લેતા:
$((1+y_1^2)^{2/3})^3 = (y_2)^3$
$(1+y_1^2)^2 = y_2^3$.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $y_2$ છે,જે દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ કરણી અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત હોય.
$y_2$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ $(i)$
ધારો કે $x+y = t$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{dt}{dx} - 1 = t^2$
$\frac{dt}{dx} = t^2 + 1$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dt}{t^2 + 1} = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \int dx$
$\tan^{-1}(t) = x + C$
$t = x+y$ પાછું મૂકતા:
$\tan^{-1}(x+y) = x + C$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot x = \int x^2 \cdot x dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$.
હવે,$y(2) = \frac{2^3}{4} + \frac{C}{2} = 2 + \frac{C}{2}$.
અને $y(1) = \frac{1^3}{4} + \frac{C}{1} = \frac{1}{4} + C$.
$2y(2) - y(1) = 2(2 + \frac{C}{2}) - (\frac{1}{4} + C) = 4 + C - \frac{1}{4} - C = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
$x \log x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = 2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
$x = e$ મુકતા:
$y(e) \log e = 2(e \log e - e) + C$.
$y(e) = 2(e - e) + C = C$.
આમ,$y(e) = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha=\hat{i}-3 \hat{j}$ અને $\beta=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$.
કારણ કે $\beta_1$ એ $\alpha$ ને સમાંતર છે,આપણે લખી શકીએ $\beta_1 = \lambda \alpha = \lambda(\hat{i}-3 \hat{j}) = \lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}$.
આપણી પાસે $\beta = \beta_1 + \beta_2$ છે,તેથી $\beta_2 = \beta - \beta_1 = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) - (\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}$.
કારણ કે $\beta_2$ એ $\alpha$ ને લંબ છે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\beta_2 \cdot \alpha = 0$.
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j}) = 0$.
$(1-\lambda)(1) + (2+3\lambda)(-3) + (-1)(0) = 0$.
$1 - \lambda - 6 - 9\lambda = 0$.
$-5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\beta_1 = -\frac{1}{2}(\hat{i} - 3\hat{j}) = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ ગણતરી કરેલ પરિણામ સાથે મેળ ખાતો નથી.

(NONE) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|a|=2$,$|b|=3$,અને $\theta = 120^{\circ}$.
$a \cdot b = (2)(3) \cos 120^{\circ} = 6 \times (-1/2) = -3$.
હવે,આપણે $\left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$ નું માન શોધવાનું છે.
ધારો કે $X = \left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$. તો $X^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)$.
$X^2 = \frac{1}{4}|a|^2 + \frac{1}{9}|b|^2 - 2 \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) (a \cdot b)$.
$X^2 = \frac{1}{4}(4) + \frac{1}{9}(9) - \frac{1}{3}(-3)$.
$X^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$X = \sqrt{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 36$ અને $|a| = 3$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$|a|^2 |b|^2 = 36$
$(3)^2 |b|^2 = 36$
$9 |b|^2 = 36$
$|b|^2 = \frac{36}{9} = 4$
$|b| = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$|b|$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) આઠ અષ્ટમાંશમાં યામ $(x, y, z)$ ના ચિહ્નો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલા છે:
| અષ્ટમાંશ | $I$ | $II$ | $III$ | $IV$ | $V$ | $VI$ | $VII$ | $VIII$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $z$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
આપેલ બિંદુ $(2, -4, -7)$ માટે,આપણી પાસે છે:
$x = 2$ (ધન,$+$)
$y = -4$ (ઋણ,$-$)
$z = -7$ (ઋણ,$-$)
કોષ્ટક જોતા,જે અષ્ટમાંશમાં $x$ ધન,$y$ ઋણ અને $z$ ઋણ હોય તે $VIII$ અષ્ટમાંશ છે.

(D) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_1} = \langle 3, 5, 4 \rangle$ છે.
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_2} = \langle 1, 4, 2 \rangle$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $\langle a_1, b_1, c_1 \rangle$ અને $\langle a_2, b_2, c_2 \rangle$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(1) + (5)(4) + (4)(2)}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3 + 20 + 8}{\sqrt{9 + 25 + 16} \sqrt{1 + 16 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{31}{\sqrt{50} \sqrt{21}} \right| = \frac{31}{5 \sqrt{2} \sqrt{21}} = \frac{31}{5 \sqrt{42}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{31}{5 \sqrt{42}} \right)$.
આ કિંમત આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે,સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 4z = 29$ છે.
કારણ કે $OP$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી $OP$ ના દિકગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબ સદિશ સમાન હશે,જે $\langle 2, -3, 4 \rangle$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $\langle 2, -3, 4 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $OP$ નું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-3} = \frac{z - 0}{4} = \lambda$
આમ,રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના સામાન્ય યામ $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ થશે.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $2x - 3y + 4z = 29$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29$
$29\lambda = 29$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P = (2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$.
તેથી,લંબના લંબપાદના યામ $(2, -3, 4)$ છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $r \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=4$ આપેલ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $r \cdot n = d$ સાથે સરખાવતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $n = \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $d = 4$ મળે છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $a = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
સમતલ $r \cdot n = d$ થી બિંદુ $a$ નું લંબ અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $a \cdot n$ શોધો:
$a \cdot n = (2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}) = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$.
ત્યારબાદ,અભિલંબ સદિશનું માન $|n|$ શોધો:
$|n| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.
હવે,આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = \frac{|-4 - 4|}{\sqrt{21}} = \frac{|-8|}{\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$.
આમ,અંતર $\frac{8}{\sqrt{21}}$ છે.

(B) $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ:
$(0,2)$ પર: $z = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3,0)$ પર: $z = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6,0)$ પર: $z = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6,8)$ પર: $z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$(0,5)$ પર: $z = 4(0) + 6(5) = 30$
અહીં ન્યૂનતમ કિંમત $12$ એ બે શિરોબિંદુઓ $(0,2)$ અને $(3,0)$ પર મળે છે.
તેથી,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા પરના દરેક બિંદુએ મળે છે.
રેખાખંડ પર અનંત બિંદુઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ ખોરાક $X$ અને $Y$ ના પેકેટની સંખ્યા છે. શરતો નીચે મુજબ છે:
$12x + 3y \geq 240 \Rightarrow 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \Rightarrow x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \Rightarrow 3x + 2y \leq 150$
$x \geq 0, y \geq 0$
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ છીએ:
$1$. $4x + y = 80$ અને $x + 5y = 115$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 15, y = 20$ મળે છે.
$2$. $4x + y = 80$ અને $3x + 2y = 150$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 2, y = 72$ મળે છે.
$3$. $x + 5y = 115$ અને $3x + 2y = 150$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 40, y = 15$ મળે છે.
આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(2,72), (40,15), (15,20)$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$P(A)=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ અને $P(A \mid B)=\frac{1}{4}$.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{4} = \frac{P(A \cap B)}{1/2}$.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
આમ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.

(B) આપેલ છે કે,$P(\bar{A})=0.75$,$P(A \cup B)=0.65$ અને $P(B)=x$.
સૌ પ્રથમ,$P(A)$ શોધો: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.25x$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.65 = 0.25 + x - 0.25x$.
$0.65 - 0.25 = x(1 - 0.25)$.
$0.40 = 0.75x$.
$x = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(A) ધારો કે ઘટના $E_1$ એ લોકડાઉન થવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ લોકડાઉન ન થવાની ઘટના છે. ધારો કે $A$ એ એક મહિનામાં રોગચાળો નિયંત્રિત થવાની ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.7$
$P(E_2) = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(A \mid E_1) = 0.8$
$P(A \mid E_2) = 0.3$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) = P(E_1) \times P(A \mid E_1) + P(E_2) \times P(A \mid E_2)$
$P(A) = (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.3)$
$P(A) = 0.56 + 0.09 = 0.65$
આમ,રોગચાળો એક મહિનામાં નિયંત્રિત થાય તેની સંભાવના $0.65$ છે.

(A) આપેલ છે કે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH\}$
તેથી,$n(S) = 8$.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તો $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $1/8$ | $3/8$ | $3/8$ | $1/8$ |
મધ્યક $\mu$ એ $\Sigma X_i P(X_i)$ દ્વારા મળે છે:
$\mu = 0 \times \left(\frac{1}{8}\right) + 1 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 2 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 3 \times \left(\frac{1}{8}\right)$
$\mu = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$
$\mu = \frac{12}{8} = 1.5$