$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + by + c}$,જ્યાં $a, b, c$ બધા શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તે

જો $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} = \left(\left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 - y\right) \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $-2 \leq x \leq 2$ અને $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ હોય,તો $y^2(0)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y=\sin(2x)$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0)=\frac{3}{4}$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y=y_{1}(x)$ અને $y=y_{2}(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=x+y$ ના બે ભિન્ન ઉકેલો છે,જ્યાં $y_{1}(0)=0$ અને $y_{2}(0)=1$ છે. તો $y=y_{1}(x)$ અને $y=y_{2}(x)$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા કેટલી થાય?