KCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $1$. $A(7, 0)$ અને $(0, 7)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = 7$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,અસમતા $x + y \leq 7$ મળે.
$2$. $C(0, 2)$ અને $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + 6 = 0$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશમાં આવતા બિંદુ $(3, 0)$ માટે ચકાસતા,$2(3) - 3(0) + 6 = 12 \geq 0$ મળે છે. તેથી,અસમતા $2x - 3y + 6 \geq 0$ છે.
$3$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$4$. આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આપેલ છે,$a < b$.
કારણ કે $x < 0$,અસમતાની બંને બાજુઓને $x$ વડે ભાગતા અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે.
તેથી,$\frac{a}{x} > \frac{b}{x}$.

(C) ધારો કે $z = \frac{(1+i)^2(1+3 i)}{(2-6 i)(2-2 i)}$.
માનાંકના ગુણધર્મ $|\frac{z_1 z_2}{z_3 z_4}| = \frac{|z_1| |z_2|}{|z_3| |z_4|}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|z| = \frac{|1+i|^2 |1+3i|}{|2-6i| |2-2i|}$
$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,તેથી $|1+i|^2 = 2$.
$|1+3i| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$.
$|2-6i| = \sqrt{2^2+(-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$|2-2i| = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$|z| = \frac{2 \times \sqrt{10}}{2\sqrt{10} \times 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

(A) $3$ મહિલાઓ અને $2$ પુરુષો છે.
પ્રથમ,મહિલાઓ $1$ થી $6$ નંબરની ખુરશીઓમાંથી પસંદગી કરે છે.
ખુરશીઓ ક્રમાંકિત હોવાથી,$3$ મહિલાઓ માટે $6$ માંથી $3$ ખુરશીઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}P_{3}$ છે.
ત્યારબાદ,પુરુષો બાકીની ખુરશીઓમાંથી પસંદગી કરે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પુરુષો બાકીની $4$ ખુરશીઓમાંથી પસંદગી કરે છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $^{4}P_{2}$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= ^{6}P_{3} \times ^{4}P_{2}$.

(B) આપેલ પદો $AP$ માં છે: $p(\frac{q+r}{qr}), q(\frac{p+r}{pr}), r(\frac{p+q}{pq})$.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા,શ્રેણી $AP$ માં જ રહે છે:
$\frac{pq+pr+qr}{qr}, \frac{qp+qr+pr}{pr}, \frac{rp+rq+pq}{pq}$ એ $AP$ માં છે.
ધારો કે $S = pq+pr+qr$. તો $\frac{S}{qr}, \frac{S}{pr}, \frac{S}{pq}$ એ $AP$ માં છે.
દરેક પદને $S$ વડે ભાગતા (ધારો કે $S \neq 0$),આપણને $\frac{1}{qr}, \frac{1}{pr}, \frac{1}{pq}$ એ $AP$ માં મળે છે.
દરેક પદને $pqr$ વડે ગુણતા,આપણને $p, q, r$ એ $AP$ માં મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$ છે.
અંશ $1, 3, 5, 7, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આ $AP$ નું $n$મું પદ $T_n(AP) = a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ છે.
છેદ $7^0, 7^1, 7^2, 7^3, \dots$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 7$ છે.
આ $GP$ નું $n$મું પદ $T_n(GP) = ar^{n-1} = 1 \times 7^{n-1} = 7^{n-1}$ છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણીનું $n$મું પદ $T_n = \frac{2n-1}{7^{n-1}}$ છે.

(B) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-1})^r = {}^nC_r x^{2n-3r}$ છે.
$n$ બેકી હોવાથી,મધ્યમ પદ $(\frac{n}{2} + 1)$-મું પદ છે,જ્યાં $r = \frac{n}{2}$ છે.
$r = \frac{n}{2}$ મૂકતા,આપણને $T_{\frac{n}{2}+1} = {}^nC_{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યમ પદ $924 x^6$ છે,તેથી $\frac{n}{2} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n = 12$.
સહગુણક તપાસતા: ${}^{12}C_6 = 924$.
આમ,$n = 12$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે $S = \log _{10} \tan 1^{\circ} + \log _{10} \tan 2^{\circ} + \ldots + \log _{10} \tan 89^{\circ}$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \log _{10} (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 89^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$.
પદોની જોડી બનાવતા: $(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) = 1, (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) = 1, \ldots, (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) = 1$.
વચ્ચેનું પદ $\tan 45^{\circ} = 1$ છે.
આમ,ગુણાકાર $1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 1$ થાય.
તેથી,$S = \log _{10} (1) = 0$.
આમ,$e^S = e^0 = 1$ મળે.

(C) આપેલ રેખા $3x+y=3$ નો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.
$(2,2)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = \frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ છે.
$3$ વડે ગુણતા,$3y - 6 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - 3y = -4$ થાય છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$0 - 3y = -4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$.
તેથી,$y$-અંતઃખંડ $\frac{4}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ હોવાથી,$2a(\sqrt{2}) = 16$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 32$ અને $b^2 = 32$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 32$ થાય છે.

(D) અમે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2+x)-\sin (2-x)}{x} = A \cos B$ છે.
$C = 2+x$ અને $D = 2-x$ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(\frac{2+x+2-x}{2}\right) \sin \left(\frac{2+x-(2-x)}{2}\right)}{x} = A \cos B$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos (2) \sin (x)}{x} = A \cos B$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$2 \cos 2 = A \cos B$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $A = 2$ અને $B = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધાન $P \implies Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P$ એ "બે રેખાઓ એક જ સમતલમાં છેદતી નથી" અને $Q$ એ "તેઓ સમાંતર છે" છે.
$P \implies Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\neg Q \implies \neg P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\neg Q$ એ "બે રેખાઓ સમાંતર નથી" અને $\neg P$ એ "બે રેખાઓ એક જ સમતલમાં છેદે છે" છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: "જો બે રેખાઓ સમાંતર ન હોય,તો તેઓ એક જ સમતલમાં છેદે છે."
આ વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
આપેલ છે:
$n = 100$
$\bar{x} = 50$
$\sigma = 5$
કિંમતો મૂકતા:
$5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$
$\Sigma x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$
આમ,બધા અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો $252500$ છે.

(A) વિકલ્પ $A$ માટે: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x \in \mathbb{R}$ નો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ $(x^2 \ge 0)$ હોય છે,તેથી એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી જે $x^2=-1$ નું સમાધાન કરે. આમ,આ ગણ ખાલી ગણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2-9=0$ $\Rightarrow x^2=9$ $\Rightarrow x = \pm 3$. આ ગણ $\{3, -3\}$ છે,જે ખાલી ગણ નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2-x-2=0$ $\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$ $\Rightarrow x=2, -1$. આ ગણ $\{2, -1\}$ છે,જે ખાલી ગણ નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x = \pm 1$. આ ગણ $\{1, -1\}$ છે,જે ખાલી ગણ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = ax + b$,જ્યાં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક છે.
આપણને $f(-1) = -5$ અને $f(4) = 3$ આપેલ છે.
વિધેયમાં $x = -1$ મૂકતા:
$f(-1) = a(-1) + b = -5$
$-a + b = -5$ (સમીકરણ $i$)
વિધેયમાં $x = 4$ મૂકતા:
$f(4) = a(4) + b = 3$
$4a + b = 3$ (સમીકરણ $ii$)
જો આપણે $f(3)=3$ લઈએ તો:
$3a + b = 3$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(3a + b) - (-a + b) = 3 - (-5)$
$4a = 8 \implies a = 2$
$a = 2$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$-2 + b = -5 \implies b = -3$
આમ,$a = 2$ અને $b = -3$ મળે છે.

(D) આપેલ સંબંધ $3 a+2 b=27$ છે જ્યાં $a, b \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ).
$2 b = 27 - 3 a$
$b = \frac{3(9 - a)}{2}$
$b$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $3(9 - a)$ એ બેકી અને ધન હોવી જોઈએ.
$a = 1$ માટે,$b = 12$.
$a = 3$ માટે,$b = 9$.
$a = 5$ માટે,$b = 6$.
$a = 7$ માટે,$b = 3$.
$a = 9$ માટે,$b = 0$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
આમ,$R = \{(1, 12), (3, 9), (5, 6), (7, 3)\}$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(-3, 0)$,$(3, 0)$ અને $(0, k)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $\Delta = 9$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$9 = \frac{1}{2} |-3(0 - k) + 3(k - 0) + 0(0 - 0)|$
$9 = \frac{1}{2} |3k + 3k|$
$9 = \frac{1}{2} |6k|$
$9 = |3k|$
આનો અર્થ એ છે કે $3k = 9$ અથવા $3k = -9$.
તેથી,$k = 3$ અથવા $k = -3$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$x\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
અદિશ $x$ અને $y$ ને શ્રેણિક સાથે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 3x \\ 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y \\ -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 3x + y \\ 2x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$3x + y = 15$ --- $(i)$
$2x - y = 5$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x + y) + (2x - y) = 15 + 5$
$5x = 20 \Rightarrow x = 4$
$x = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$3(4) + y = 15$
$12 + y = 15 \Rightarrow y = 3$
આમ,$x = 4$ અને $y = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$AB = B$ અને $BA = A$.
આપણે $A^2 + B^2$ શોધવાનું છે.
$A^2 = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$.
$B^2 = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$.
તેથી,$A^2 + B^2 = A + B$.

(D) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ અને $AB = I$.
$AB = I$ હોવાથી,$B = A^{-1}$ થાય.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\tan \frac{\alpha}{2})(-\tan \frac{\alpha}{2}) = 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \sec^2 \frac{\alpha}{2}$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$.
$\frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ હોવાથી,$B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
અહીં $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \cdot A^T$ થાય.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ} & -1 \\ \sin ^2 66^{\circ} & -1 & \sin ^2 14^{\circ} \\ -1 & \sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ}\end{array}\right|$,કારણ કે $\tan 135^{\circ} = -1$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin ^2 14^{\circ} + \sin ^2 66^{\circ} - 1 & \sin ^2 66^{\circ} & -1 \\ \sin ^2 66^{\circ} - 1 + \sin ^2 14^{\circ} & -1 & \sin ^2 14^{\circ} \\ -1 + \sin ^2 14^{\circ} + \sin ^2 66^{\circ} & \sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ}\end{array}\right|$
અહીં નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ગણતરી કરતા $0$ મળે છે.

(B) શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર હોય જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| = 0$ હોય.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2-k & 2 \\ 1 & 3-k \end{bmatrix}$.
$|A| = (2-k)(3-k) - (2)(1) = 0$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$6 - 2k - 3k + k^2 - 2 = 0$.
$k^2 - 5k + 4 = 0$.
$k^2 - 5k = -4$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા:
$5k - k^2 = 4$.

(C) આપેલ છે કે,$\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|$ અને $\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
પ્રથમ,આપણે $\Delta$ ની કિંમત મેળવીએ:
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)$.
હવે,$\Delta_1$ માટે,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
આ નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા આપણને મળે છે કે $\Delta_1 = -(a-b)(b-c)(c-a)$.
તેથી,$\Delta_1 = -\Delta$.

(C) ધારો કે $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.
કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x})^2}{(1-\sin x)-(1+\sin x)} = \frac{1-\sin x + 1+\sin x + 2\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{-2\sin x} = -\frac{1+\cos x}{\sin x}$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = -\cot\frac{x}{2}$.
આમ,$y = \cot^{-1}(-\cot\frac{x}{2})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(-z) = \pi - \cot^{-1}(z)$,તેથી $y = \pi - \cot^{-1}(\cot\frac{x}{2})$.
આપેલ છે કે $x \in (0, \frac{\pi}{4})$,તેથી $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{8})$,માટે $y = \pi - \frac{x}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \in (0, 1)$ માટે:
$\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
$\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \tan ^{-1} a + 2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$
$4 \tan ^{-1} a = 2 \tan ^{-1} x$
$2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1} x$
સૂત્ર $2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right) = \tan ^{-1} x$
તેથી,$x = \frac{2 a}{1-a^2}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^2$ અને $g(x) = \sqrt{x}$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ માટે,પ્રદેશ $g(x)$ ના પ્રદેશ દ્વારા મર્યાદિત છે,જે $[0, \infty)$ છે.
તેથી,$(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ જ્યાં $x \ge 0$.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $(f \circ g)(-4)$ અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે $-4$ એ $g(x) = [0, \infty)$ ના પ્રદેશમાં નથી.
$B$: $(f \circ g)(2) = 2$.
$C$: $(g \circ f)(-2) = |-2| = 2$.
$D$: $(g \circ f)(4) = |4| = 4$.
આમ,$(f \circ g)(-4)$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચું નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=3 x^2-5$ અને $g(x)=\frac{x}{x^2+1}$.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ શોધવાનું છે.
$g(x)$ માં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(g \circ f)(x) = g(3 x^2-5) = \frac{3 x^2-5}{(3 x^2-5)^2+1}$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3 x^2-5)^2+1 = (9 x^4 - 30 x^2 + 25) + 1 = 9 x^4 - 30 x^2 + 26$.
તેથી,$(g \circ f)(x) = \frac{3 x^2-5}{9 x^4-30 x^2+26}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin 2x + \cos 2x$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ શોધો:
$g(f(x)) = (\sin 2x + \cos 2x)^2 - 1$
$g(f(x)) = (\sin^2 2x + \cos^2 2x + 2 \sin 2x \cos 2x) - 1$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$:
$g(f(x)) = (1 + \sin 4x) - 1 = \sin 4x$.
કોઈ વિધેય ત્યારે જ વ્યસ્ત હોય જો તે આપેલ પ્રદેશમાં એક-એક (one-to-one) અને વ્યાપ્ત (onto) હોય.
વિધેય $y = \sin \theta$ એ અંતરાલ $\theta \in \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ માં વ્યસ્ત છે.
અહીં,$\theta = 4x$,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$\frac{-\pi}{2} \le 4x \le \frac{\pi}{2}$
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{-\pi}{8} \le x \le \frac{\pi}{8}$.
આમ,$g(f(x))$ એ $x \in \left[\frac{-\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$ પ્રદેશમાં વ્યસ્ત છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{x+2}$ છે.
સંયોજિત વિધેય $y = f(f(x))$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x)$ એ $x = -2$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
હવે,$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x+2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x+2} + 2}$ ની ગણતરી કરીએ.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1}{x+2} + 2 = \frac{1 + 2(x+2)}{x+2} = \frac{1 + 2x + 4}{x+2} = \frac{2x + 5}{x+2}$.
તેથી,$f(f(x)) = \frac{x+2}{2x+5}$.
આ સંયોજિત વિધેય ત્યારે વ્યાખ્યાયિત નથી જ્યારે છેદ $2x+5 = 0$ થાય,જે આપણને $x = -\frac{5}{2}$ આપે છે.
ઉપરાંત,મૂળ વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત હોવું જોઈએ,તેથી $x \neq -2$.
આમ,અસતત બિંદુઓ $x = -2$ અને $x = -\frac{5}{2}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું અસતત બિંદુ $-\frac{5}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $g(x)=x-\frac{1}{x}$.
આપણને $f \circ g(x) = x^3-\frac{1}{x^3}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$,જેનો અર્થ છે કે $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$.
$a=x$ અને $b=\frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે $x^3-\frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x)(\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$.
આમ,$f \circ g(x) = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x-\frac{1}{x})$.
કારણ કે $g(x) = x-\frac{1}{x}$,આપણે લખી શકીએ $f(g(x)) = (g(x))^3 + 3(g(x))$.
$g(x)$ ને $x$ દ્વારા બદલતા,આપણને $f(x) = x^3 + 3x$ મળે છે.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \cot x$ છે.
આપણે તેને $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
સંમેય વિધેય ત્યાં અસતત હોય છે જ્યાં તેનો છેદ શૂન્ય થાય.
તેથી,$f(x)$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં $\sin x = 0$ થાય.
$\sin x = 0$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
આમ,વિધેય $f(x) = \cot x$ એ ગણ $\{x = n\pi ; n \in Z\}$ પર અસતત છે.

(C) આપેલ છે કે $u = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,આપણને મળે $u = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$.
આપેલ છે કે $v = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,આપણને મળે $v = \tan^{-1}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$.
હવે,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{2/(1+x^2)}{2/(1+x^2)} = 1$.

(A) આપેલ છે કે,$f(x)=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3+\ldots+x^n$.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots + x^n$.
આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $f(x) = (1+x)^n$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું પ્રથમ વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1+x)^n = n(1+x)^{n-1}$.
ત્યારબાદ,$f(x)$ નું દ્વિતીય વિકલન કરતા:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[n(1+x)^{n-1}] = n(n-1)(1+x)^{n-2}$.
છેલ્લે,દ્વિતીય વિકલનમાં $x=1$ મૂકતા:
$f''(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2} = n(n-1)2^{n-2}$.

(B) આપેલ છે,$s = \frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}) = 2 t^2 - 18$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2 t^2 - 18) = 4 t$.
જ્યારે કણ સ્થિર થાય ત્યારે $v = 0$ થાય.
$2 t^2 - 18 = 0 \Rightarrow 2 t^2 = 18 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \ s$ (કારણ કે $t > 0$).
હવે,પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 3$ મૂકતા:
$a = 4(3) = 12 \ m/s^2$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{16} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{x}{8} \frac{dx}{dt} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે અબસીસાના ફેરફારનો દર $(\frac{dx}{dt})$ એ ઓર્ડિનેટના ફેરફારના દર $(\frac{dy}{dt})$ કરતા $4$ ગણો છે,એટલે કે $\frac{dx}{dt} = 4 \frac{dy}{dt}$.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{8} (4 \frac{dy}{dt}) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
$(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{dy}{dt} \neq 0$ હોવાથી,$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = -y$.
$x = -y$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(-y)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$\frac{y^2}{16} + \frac{4y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{5y^2}{16} = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{16}{5}$.
આમ,$y = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$x = -y$ હોવાથી,જો $y = \frac{4}{\sqrt{5}}$,તો $x = -\frac{4}{\sqrt{5}}$ (બીજું ચરણ).
જો $y = -\frac{4}{\sqrt{5}}$,તો $x = \frac{4}{\sqrt{5}}$ (ચોથું ચરણ).
તેથી,કણ $II$ અથવા $IV$ ચરણમાં હશે.

(C) ધારો કે $r$ એ વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ કોઈપણ સમયે તેનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.05 \text{ cm/s}$ છે.
જ્યારે $r = 5.2 \text{ cm}$ હોય ત્યારે આપણે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર શોધવાનો છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 5.2 \times 0.05$.
$\frac{dA}{dt} = 10.4 \times 0.05 \times \pi = 0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,જ્યારે ત્રિજ્યા $5.2 \text{ cm}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ છે.

(C) ધારો કે જેટનું સ્થાન $P(x, y)$ છે અને સૈનિક $A(3, 2)$ પર છે.
અંતર $AP = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેટ $y = x^2 + 2$ વક્ર પર હોવાથી,$y - 2 = x^2$ થાય.
આ કિંમત અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા,ધારો કે $z = (AP)^2 = (x - 3)^2 + (x^2)^2 = (x - 3)^2 + x^4$.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $z$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dz}{dx} = 2(x - 3) + 4x^3$.
$\frac{dz}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $4x^3 + 2x - 6 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^3 + x - 3 = 0$ થાય છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $2(1)^3 + 1 - 3 = 0$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2z}{dx^2} = 12x^2 + 2$. $x = 1$ પર,$\frac{d^2z}{dx^2} = 14 > 0$,તેથી $x = 1$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
$x = 1$ માટે,$y = (1)^2 + 2 = 3$.
ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ એકમ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x - \sin x} \, dx$
$I = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} - \sin x} \, dx = \int \sqrt{\frac{1 - \sin^2 x}{\sin x}} \, dx$
$I = \int \frac{\sqrt{\cos^2 x}}{\sqrt{\sin x}} \, dx = \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} \, dx$
ધારો કે $u = \sin x$,તેથી $du = \cos x \, dx$
$I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} \, du$
$I = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$
$u = \sin x$ મૂકતા,આપણને $I = 2\sqrt{\sin x} + C$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1}{1+3 \sin ^2 x+8 \cos ^2 x} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos ^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$I = \int \frac{\sec ^2 x}{\sec ^2 x+3 \tan ^2 x+8} d x$.
$\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$ હોવાથી:
$I = \int \frac{\sec ^2 x}{1 + \tan ^2 x + 3 \tan ^2 x + 8} d x = \int \frac{\sec ^2 x}{4 \tan ^2 x + 9} d x$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec ^2 x d x = d t$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{d t}{4 t^2 + 9} = \frac{1}{4} \int \frac{d t}{t^2 + (3/2)^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3/2} \tan^{-1}(\frac{t}{3/2}) + C = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{2t}{3}) + C$.
$I = \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{2 \tan x}{3}) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \sqrt{5-2x+x^2} dx$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે $5-2x+x^2 = (x-1)^2 + 4 = (x-1)^2 + 2^2$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x$ ની જગ્યાએ $(x-1)$ અને $a=2$ લેતા:
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{(x-1)^2 + 2^2} + \frac{2^2}{2} \log |(x-1) + \sqrt{(x-1)^2 + 2^2}| + C$.
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{5-2x+x^2} + 2 \log |(x-1) + \sqrt{5-2x+x^2}| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_{-2}^0 ((x+1)^3 + 2 + (x+1) \cos(x+1)) \, dx$.
$t = x+1$ આદેશ લેતા,$dt = dx$ મળે.
જ્યારે $x = -2$,ત્યારે $t = -1$ અને જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 (t^3 + 2 + t \cos t) \, dt$.
સંકલનને અલગ પાડતા:
$I = \int_{-1}^1 t^3 \, dt + \int_{-1}^1 2 \, dt + \int_{-1}^1 t \cos t \, dt$.
અહીં $f(t) = t^3$ અને $g(t) = t \cos t$ એ અયુગ્મ વિધેયો છે,તેથી $[-1, 1]$ અંતરાલ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = 0 + [2t]_{-1}^1 + 0 = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$.

(C) ધારો કે $I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}} + 5^{\sqrt{10-x}}} dx$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-(2+8-x)}}}{5^{\sqrt{2+8-x}} + 5^{\sqrt{10-(2+8-x)}}} dx$
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-10+x}}}{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{10-10+x}}} dx$
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{x}}}{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{x}}} dx$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{x}}}{5^{\sqrt{x}} + 5^{\sqrt{10-x}}} dx$
$2I = \int_2^8 1 dx$
$2I = [x]_2^8 = 8 - 2 = 6$
$I = \frac{6}{2} = 3$

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x \cdot \operatorname{cosec} x} d x$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x) \operatorname{cosec}(\pi-x)} d x$
કારણ કે $\tan(\pi-x) = -\tan x$,$\sec(\pi-x) = -\sec x$,અને $\operatorname{cosec}(\pi-x) = \operatorname{cosec} x$,તેથી:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{(-\sec x)(\operatorname{cosec} x)} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x$ (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x$
કારણ કે $\frac{\tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} = \sin^2 x$ હોવાથી:
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^2 x d x = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} d x$
$2I = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2} [(\pi - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi^2}{2}$
$I = \frac{\pi^2}{4}$

(D) વક્ર $y=f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f(x) = x+1$,$a=3$,અને $b=5$ છે.
$\therefore$ માંગેલ ક્ષેત્રફળ,$A = \int_{3}^{5} (x+1) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{3}^{5}$
$= \left( \frac{5^2}{2} + 5 \right) - \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25}{2} + 5 \right) - \left( \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25+10}{2} \right) - \left( \frac{9+6}{2} \right)$
$= \frac{35}{2} - \frac{15}{2}$
$= \frac{20}{2} = 10 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્રો $y = \tan x$ અને $y = \cot x$ છે. તેઓ જ્યાં $\tan x = \cot x$ થાય ત્યાં છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x = 1$,તેથી $\tan x = 1$ (કારણ કે $x \in (0, \pi / 2)$),જે $x = \pi / 4$ આપે છે.
અંતરાલ $(0, \pi / 2)$ માં વક્રો $y = \tan x$,$y = \cot x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ બે ભાગોનો સરવાળો છે:
$1$. $x = 0$ થી $x = \pi / 4$ સુધી,ક્ષેત્રફળ $y = \tan x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$2$. $x = \pi / 4$ થી $x = \pi / 2$ સુધી,ક્ષેત્રફળ $y = \cot x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\pi / 4} \tan x \, dx + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \cot x \, dx$
$= [\log |\sec x|]_0^{\pi / 4} + [\log |\sin x|]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$
$= (\log \sec(\pi / 4) - \log \sec 0) + (\log \sin(\pi / 2) - \log \sin(\pi / 4))$
$= (\log \sqrt{2} - \log 1) + (\log 1 - \log(1 / \sqrt{2}))$
$= \log \sqrt{2} + \log \sqrt{2} = 2 \log \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log 2 = \log 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2=\left(\frac{d^2y}{dx^2}+1\right)^{1/3}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન (cube) કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right]^3 = \frac{d^2y}{dx^2}+1$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ $(a+b+c)^3$ નો ઉપયોગ કરીને કરતા,સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ ની મહત્તમ ઘાત $\left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right)^3 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^6$ પદમાંથી મળશે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે અને સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી તેની મહત્તમ ઘાત $6$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણની ઘાત $6$ છે.

(C) આપેલ છે,$y=a \sin x+b \cos x$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d y}{d x} = a \cos x - b \sin x$
હવે,પદ $y^2 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ ને ધ્યાનમાં લો:
$y^2 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (a \sin x + b \cos x)^2 + (a \cos x - b \sin x)^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x + 2ab \sin x \cos x) + (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x - 2ab \sin x \cos x)$
પદોને જૂથમાં લેતા:
$= a^2(\sin^2 x + \cos^2 x) + b^2(\sin^2 x + \cos^2 x)$
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$= a^2(1) + b^2(1) = a^2 + b^2$
અહીં $a$ અને $b$ અચળાંકો હોવાથી,$a^2 + b^2$ એ અચળ છે.
આમ,આ પદ એક અચળ છે.

(D) ધારો કે વક્રનું સમીકરણ $y=f(x)$ છે.
વક્ર બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $f(1)=1$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર,તેના સ્પર્શકનો ઢાળ $(\frac{dy}{dx})$ અને $x$-યામનો ગુણાકાર એ $y$-યામ જેટલો છે.
તેથી,$x \cdot \frac{dy}{dx} = y$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$,જે $\ln|y| = \ln|x| + C$ આપે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $y = kx$ મળે,જ્યાં $k = e^C$.
શરત $f(1)=1$ નો ઉપયોગ કરીને,$x=1$ અને $y=1$ ને $y=kx$ માં મૂકતા $1 = k(1)$ મળે,તેથી $k=1$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y=x$ છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(2,2)$ એ સમીકરણ $y=x$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ છે કે $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 144$ અને $|a| = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ અને $|a \cdot b| = |a||b| \cos \theta$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$|a|^2|b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2|b|^2 \cos^2 \theta = 144$
$|a|^2|b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 144$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$|a|^2|b|^2 = 144$
અહીં $|a| = 4$ આપેલ છે,તેથી $|a|^2 = 16$.
$16 \times |b|^2 = 144$
$|b|^2 = \frac{144}{16} = 9$
$|b| = \sqrt{9} = 3$.

(C) આપેલ સમીકરણ $a+2b+3c=0$ છે.
સમીકરણનો $c$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$(a+2b+3c) \times c = 0 \times c = 0$
$a \times c + 2(b \times c) + 3(c \times c) = 0$
કારણ કે $c \times c = 0$,તેથી $a \times c + 2(b \times c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c \times a = 2(b \times c)$.
સમીકરણનો $b$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$(a+2b+3c) \times b = 0 \times b = 0$
$a \times b + 2(b \times b) + 3(c \times b) = 0$
કારણ કે $b \times b = 0$,તેથી $a \times b - 3(b \times c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \times b = 3(b \times c)$.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(a \times b) + (b \times c) + (c \times a) = 3(b \times c) + (b \times c) + 2(b \times c) = 6(b \times c)$.
આને $\lambda(b \times c)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 6$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|a+b|=|a-b|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a+b|^2 = |a-b|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $a \cdot a + b \cdot b + 2(a \cdot b) = a \cdot a + b \cdot b - 2(a \cdot b)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$,જેનો અર્થ છે કે $4(a \cdot b) = 0$.
તેથી,$a \cdot b = 0$.
બે શૂન્યતર સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય તો જ તેઓ પરસ્પર લંબ હોય છે,તેથી $a$ અને $b$ લંબ છે.

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Component} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(2) = 1$ ગણો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\hat{i}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે દિશાના ખૂણાઓ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{3}$ છે.
ધારો કે રેખા $Z$-અક્ષ સાથે $\gamma$ ખૂણો બનાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનનો ગુણધર્મ: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ખૂણો $\gamma$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(3, -1, 11)$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $L$ છે.
રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} = t$ પર $L$ આવેલું હોવાથી,$L$ ના યામ $(2t, 3t+2, 4t+3)$ થાય.
રેખા $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(2t-3, 3t+2-(-1), 4t+3-11)$ એટલે કે $(2t-3, 3t+3, 4t-8)$ છે.
$PL$ એ રેખા $(2, 3, 4)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2t-3) + 3(3t+3) + 4(4t-8) = 0$.
$4t - 6 + 9t + 9 + 16t - 32 = 0$.
$29t - 29 = 0 \implies t = 1$.
$t=1$ મુકતા,$L$ ના યામ $(2, 5, 7)$ મળે.
લંબ $PL$ ની લંબાઈ એ $P(3, -1, 11)$ અને $L(2, 5, 7)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PL = \sqrt{(2-3)^2 + (5-(-1))^2 + (7-11)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}$.

(C) ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપે નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ બિંદુઓ $(2,1,0)$,$(3,2,-2)$ અને $(3,1,7)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 3-2 & 2-1 & -2-0 \\ 3-2 & 1-1 & 7-0 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(7 - 0) - (y-1)(7 - (-2)) + z(0 - 1) = 0$
$(x-2)(7) - (y-1)(9) - z = 0$
$7x - 14 - 9y + 9 - z = 0$
$7x - 9y - z - 5 = 0$

(B) લંબપાદ $P(2,3,-1)$ છે અને જે બિંદુમાંથી લંબ દોરવામાં આવ્યો છે તે $A(4,2,1)$ છે.
રેખાખંડ $AP$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર એ રેખા $AP$ ના દિક-ગુણોત્તર સમાન થશે.
અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર $(4-2, 2-3, 1-(-1)) = (2, -1, 2)$ છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z + d = 0$ સ્વરૂપમાં મળે.
સમતલ બિંદુ $(2,3,-1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - (3) + 2(-1) + d = 0$
$4 - 3 - 2 + d = 0$
$-1 + d = 0$
$d = 1$.
આમ,સમતલનું જરૂરી સમીકરણ $2x - y + 2z + 1 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $\frac{x+1}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{-(z-2)}{2}=k$.
આમ,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, y, z)$ નીચે મુજબ થશે:
$x = k-1$
$y = 3k-3$
$z = -2k+2$
આ રેખા સમતલ $3x+4y+5z=10$ ને છેદે છે.
$x, y, z$ ની કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(k-1) + 4(3k-3) + 5(-2k+2) = 10$
$3k - 3 + 12k - 12 - 10k + 10 = 10$
$5k - 5 = 10$
$5k = 15$
$k = 3$
હવે,$k=3$ ને યામના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = 3-1 = 2$
$y = 3(3)-3 = 6$
$z = -2(3)+2 = -4$
તેથી,છેદબિંદુ $(2, 6, -4)$ છે.

(D) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|} = 2^4 = 16$ છે.
વ્યાપ્ત વિધેય એટલે કે $B$ ના દરેક ઘટક માટે $A$ માં ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ.
જે વિધેયો વ્યાપ્ત નથી તે માત્ર અચળ વિધેયો છે: $f(x) = a$ બધા $x \in A$ માટે અને $f(x) = b$ બધા $x \in A$ માટે.
આવા $2$ અચળ વિધેયો છે.
વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $= 16 - 2 = 14$.
વ્યાપ્ત વિધેયની સંભાવના $= \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$ અને $P(B|A) = \frac{2}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(E_1|E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$ છે.
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{P(A \cap B)}{1/4}$
$P(A \cap B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{1/6}{P(B)}$
$P(B) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ અસામાન્ય સિક્કો (બંને બાજુ છાપવાળો) પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $= 2n+1$.
અસામાન્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $= n$,તેથી $P(E_1) = \frac{n}{2n+1}$.
સામાન્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $= n+1$,તેથી $P(E_2) = \frac{n+1}{2n+1}$.
ધારો કે $H$ એ સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળવાની ઘટના છે.
અસામાન્ય સિક્કા માટે,$P(H|E_1) = 1$.
સામાન્ય સિક્કા માટે,$P(H|E_2) = \frac{1}{2}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H) = P(E_1)P(H|E_1) + P(E_2)P(H|E_2)$
$\frac{31}{42} = \left(\frac{n}{2n+1}\right)(1) + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$
$\frac{31}{42} = \frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{3n+1}{4n+2}$
$31(4n+2) = 42(3n+1)$
$124n + 62 = 126n + 42$
$2n = 20$
$n = 10$.