KCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ અસમતા $|3x - 5| \leq 2$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a$.
તેથી,$-2 \leq 3x - 5 \leq 2$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $5$ ઉમેરતા:
$-2 + 5 \leq 3x \leq 2 + 5$
$3 \leq 3x \leq 7$.
$3$ વડે ભાગતા:
$1 \leq x \leq \frac{7}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ છે.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોવાથી,$\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$ થાય.
આપણે $\alpha^{2}+\beta^{2}$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (-1)^{2} - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$x^{2}+x+1=0$ ના બીજ એકમના ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^{2}$ છે.
તેથી,$\alpha^{2}+\beta^{2} = \omega^{2} + (\omega^{2})^{2} = \omega^{2} + \omega^{4} = \omega^{2} + \omega = -1$ (કારણ કે $1+\omega+\omega^{2}=0$).

(C) અંકોનો સમૂહ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ છે.
એકી અંકો $\{1, 3, 5, 7\}$ (કુલ $4$) અને બેકી અંકો $\{2, 4, 6\}$ (કુલ $3$) છે.
આપણે $4$ માંથી $2$ એકી અંકો અને $3$ માંથી $2$ બેકી અંકો પસંદ કરવાના છે.
અંકો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{2} = 6 \times 3 = 18$.
આ $4$ પસંદ કરેલા અંકોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 18 \times 4! = 18 \times 24 = 432$.

(D) ધારો કે $G$.$P$. ના પ્રથમ પાંચ પદો $\frac{a}{r^{2}}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^{2}$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ $a = 9$ છે.
પ્રથમ પાંચ પદોનો ગુણાકાર $\frac{a}{r^{2}} \times \frac{a}{r} \times a \times ar \times ar^{2} = a^{5}$ થાય.
$a = 9$ મૂકતા,આપણને $9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધાન $P(n): 2^{n} < n!$ છે.
આપણે ધન પૂર્ણાંકો $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ માટે ચકાસણી કરીએ.
$n = 1$ માટે: $2^{1} < 1! \implies 2 < 1$,જે ખોટું છે.
$n = 2$ માટે: $2^{2} < 2! \implies 4 < 2$,જે ખોટું છે.
$n = 3$ માટે: $2^{3} < 3! \implies 8 < 6$,જે ખોટું છે.
$n = 4$ માટે: $2^{4} < 4! \implies 16 < 24$,જે સાચું છે.
આમ,$P(n)$ સત્ય હોય તેવો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $4$ છે.

(A) $(a+b)^{n}-(a-b)^{n}$ નું વિસ્તરણ,જ્યાં $n$ એકી પૂર્ણાંક હોય,ત્યારે $\frac{n+1}{2}$ પદો મળે છે.
અહીં,$n = 25$,જે એકી પૂર્ણાંક છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
પદોની સંખ્યા = $\frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
આમ,સાદુંરૂપ આપ્યા પછી $13$ પદો મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ અને $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = 4$

(A) આપેલ છે $\cos x = |\sin x|$.
$|\sin x| \ge 0$ હોવાથી,$\cos x \ge 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x$ પ્રથમ અથવા ચોથા ચરણમાં છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2 x = \sin^2 x$ મળે.
આથી $\tan^2 x = 1$,એટલે કે $\tan x = \pm 1$.
$\tan x = 1$ માટે,$x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ અને $\tan x = -1$ માટે,$x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
આથી $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
પરંતુ,$\cos x \ge 0$ શરત મુજબ,માત્ર $n$ બેકી હોય તેવા ઉકેલો જ માન્ય રહેશે.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ છે.

(B) ધારો કે $X$ અને $Y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $a$ છે. અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = a$ અથવા $y = -x + a$ થાય છે.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -1$ મળે છે.
ઢાળ $m = \tan \theta$ હોવાથી,$\tan \theta = -1$ મળે.
$\tan \theta$ ઋણ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ બીજા ચરણમાં આવે છે.
$\theta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$
$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 25$ અને $b^{2} = 9$ મળે છે.
તેથી,$a = 5$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ છે કે $x = \sum_{r=1}^{n}(2r-1)$.
આ પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $x = n^2$ થાય છે.
તેથી,$x^2 = n^4$.
પદાવલિ $\lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3}{x^2} \right]$ બને છે.
ઘનનો સરવાળો કરવા માટેનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
લિમિટમાં આ કિંમત મૂકતા: $\lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} \right]$.
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n^2 \cdot n^2(1 + \frac{1}{n})^2}{4n^4} \right]$.
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{(1 + \frac{1}{n})^2}{4} \right] = \frac{1}{4}$.

(D) આપેલ વિધાન "બધા જ $P$ એ $Q$ છે" સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $P$ એ સતત વિધેય છે અને $Q$ એ વિકલનીય હોવાનો ગુણધર્મ છે.
"બધા જ $P$ એ $Q$ છે" વિધાનનું નિષેધ "કેટલાક $P$ એ $Q$ નથી" થાય છે.
તેથી,"બધા જ સતત વિધેયો વિકલનીય છે" નું નિષેધ "કેટલાક સતત વિધેયો વિકલનીય નથી" થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,અને $\sigma = 4$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 16 = 2516$
$\sum x_i^2 = 2516 \times 100 = 251600$.
આમ,બધી વસ્તુઓના વર્ગોનો સરવાળો $251600$ છે.

(B) આપેલ છે: $n(U)=100$,$n(A)=50$,$n(B)=60$,$n(A \cap B)=20$.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 50 + 60 - 20 = 90$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$.
તેથી,$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = n(U) - n(A \cup B)$.
$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 100 - 90 = 10$.

(C) $1$. રેખાઓના અંતઃખંડો પરથી તેમના સમીકરણો મેળવો:
- $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1 \Rightarrow 4x + 5y = 20$.
- $(0, 3)$ અને $(10, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: $\frac{x}{10} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow 3x + 10y = 30$.
- $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા: $x = 6$.
$2$. છાયાંકિત પ્રદેશના આધારે અસમતાઓ નક્કી કરો:
- છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $4x + 5y = 20$ ની ઉપર છે,તેથી અસમતા $4x + 5y \geq 20$ છે.
- છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $3x + 10y = 30$ ની નીચે છે,તેથી અસમતા $3x + 10y \leq 30$ છે.
- છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $x = 6$ ની ડાબી બાજુ છે,તેથી અસમતા $x \leq 6$ છે.
- પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x, y \geq 0$.
આમ,સાચો અસમતાઓનો ગણ $4x + 5y \geq 20, 3x + 10y \leq 30, x \leq 6, x, y \geq 0$ છે.

(B) '$EQUATIONS$' શબ્દમાં $9$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $E, Q, U, A, T, I, O, N, S$.
સ્વરોની સંખ્યા $= 5$ $(E, U, A, I, O)$.
વ્યંજનોની સંખ્યા $= 4$ $(Q, T, N, S)$.
$9$ અક્ષરોમાંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
$1$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_{1} \times ^{4}C_{1} = 5 \times 4 = 20$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ થાય.

(B) આપેલ દ્વિતીય પ્રક્રિયા $a * b = \frac{2ab}{5}$ છે.
પ્રથમ,તટસ્થ ઘટક $e$ શોધો જેથી $a * e = a$ થાય:
$\frac{2ae}{5} = a \implies e = \frac{5}{2}$.
ત્યારબાદ,વ્યસ્ત ઘટક $a^{-1}$ શોધો જેથી $a * a^{-1} = e$ થાય:
$\frac{2a(a^{-1})}{5} = \frac{5}{2} \implies a^{-1} = \frac{25}{4a}$.
$a = 3$ માટે,વ્યસ્ત $3^{-1} = \frac{25}{4(3)} = \frac{25}{12}$ થાય.
હવે,$2 * x = 3^{-1}$ ઉકેલો:
$\frac{2(2x)}{5} = \frac{25}{12} \implies \frac{4x}{5} = \frac{25}{12}$.
$x = \frac{25 \times 5}{12 \times 4} = \frac{125}{48}$.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$3A + 4B' = \begin{bmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & 6 & 31 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2B - 3A' = \begin{bmatrix} -1 & 18 \\ 4 & 0 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લેતા:
$2B' - 3A = \begin{bmatrix} -1 & 4 & 5 \\ 18 & 0 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો ઉપયોગ કરીને $B'$ શોધી શકાય છે.
ઉકેલતા,આપણને $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ થાય.
$PQ - QP$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લઈએ:
$(PQ - QP)^{\prime} = (PQ)^{\prime} - (QP)^{\prime}$
$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(PQ - QP)^{\prime} = Q^{\prime}P^{\prime} - P^{\prime}Q^{\prime}$
$P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$(PQ - QP)^{\prime} = QP - PQ$
$(PQ - QP)^{\prime} = -(PQ - QP)$
શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોવાથી,$PQ - QP$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 2(1 \times 3 - 1 \times 0) - 5(0 \times 3 - 1 \times (-1)) + 0(0 \times 0 - 1 \times (-1))$
$|A| = 2(3) - 5(1) + 0 = 6 - 5 = 1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = 3, C_{12} = -1, C_{13} = 1$
$C_{21} = -15, C_{22} = 6, C_{23} = -5$
$C_{31} = 5, C_{32} = -2, C_{33} = 2$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\text{adj}(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B'$ શોધીએ,જે $B' = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|XYZ| = |X||Y||Z|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A B B'| = |A| |B| |B'|$ મળે છે.
નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરીએ:
$|A| = (1 \times 2) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10$.
$|B| = (2 \times 2) - (-1 \times 1) = 4 + 1 = 5$.
$|B'| = (2 \times 2) - (1 \times -1) = 4 + 1 = 5$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$|A B B'| = (-10) \times (5) \times (5) = -250$.

(D) ધારો કે $A$ એ $n = 3$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક છે,જ્યાં $|A| = 16$ છે.
$A$ ના દરેક ઘટકને તેના સહઅવયવ દ્વારા બદલીને બનતા શ્રેણિકને સહઅવયવ શ્રેણિક કહેવાય છે,જેને $C$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\operatorname{adj} A$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,એટલે કે $\operatorname{adj} A = C^T$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકના નિશ્ચાયક જેટલો જ હોય છે,તેથી $|C| = |C^T| = |\operatorname{adj} A|$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $|C| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
તેથી,$|C| = 16^2 = 256$.

(B) નિશ્ચાયકના વિસ્તરણમાં અચળ પદ શોધવા માટે,આપણે $ x = 0 $ લઈએ છીએ.
$ x = 0 $ ને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 3(0)+1 & 2(0)-1 & 0+2 \\ 5(0)-1 & 3(0)+2 & 0+1 \\ 7(0)-2 & 3(0)+1 & 4(0)-1 \end{array}\right| $
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{array}\right| $
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$ \Delta = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| - (-1) \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -2 & -1 \end{array}\right| + 2 \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right| $
$ \Delta = 1 \cdot (-2 - 1) + 1 \cdot (1 - (-2)) + 2 \cdot (-1 - (-4)) $
$ \Delta = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot (3) + 2 \cdot (3) $
$ \Delta = -3 + 3 + 6 = 6 $
આમ,અચળ પદ $ 6 $ છે.

(C) ધારો કે $ x = \sin ^{-1} \frac{3}{4} $. તેથી $\sin x = \frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,પદાવલિ $ \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + (\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4})\right] $ બને છે.
$= \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \frac{\pi}{2}\right]$.
નિત્યસમ $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \frac{3}{4}\right)$.
$= -\frac{3}{4}$.

(A) આપેલ અસમતા: $ a + \frac{\pi}{2} < 2 \tan^{-1} x + 3 \cot^{-1} x < b $.
આપણે જાણીએ છીએ કે $ \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} $,તેથી $ \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x $.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $ 2(\frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x) + 3 \cot^{-1} x = \pi - 2 \cot^{-1} x + 3 \cot^{-1} x = \pi + \cot^{-1} x $.
હવે અસમતા આ મુજબ બને છે: $ a + \frac{\pi}{2} < \pi + \cot^{-1} x < b $.
બધા ભાગમાંથી $ \pi $ બાદ કરતા: $ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $.
$ \cot^{-1} x $ નો વિસ્તાર $ (0, \pi) $ હોવાથી,$ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ મળે.
$ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $ ની સરખામણી $ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ સાથે કરતા:
$ a - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2} $.
$ b - \pi = \pi \Rightarrow b = 2\pi $.
આમ,$ a = \frac{\pi}{2} $ અને $ b = 2\pi $.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{x^{2}-7x+12}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$x^{2}-7x+12 \geq 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x-4)(x-3) \geq 0$
અસમતા માટે સાઇન સ્કીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ જ્યારે $x \leq 3$ અથવા $x \geq 4$ હોય ત્યારે અ-ઋણ રહે છે.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, 3] \cup [4, \infty)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^2$ અને $g(x) = \sqrt{x}$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ માટે,પ્રદેશ $g(x)$ ના પ્રદેશ દ્વારા મર્યાદિત છે,જે $[0, \infty)$ છે.
તેથી,$(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ જ્યાં $x \ge 0$.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $(f \circ g)(-4)$ અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે $-4$ એ $g(x) = [0, \infty)$ ના પ્રદેશમાં નથી.
$B$: $(f \circ g)(2) = 2$.
$C$: $(g \circ f)(-2) = |-2| = 2$.
$D$: $(g \circ f)(4) = |4| = 4$.
આમ,$(f \circ g)(-4)$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચું નથી.

(D) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને $B = \{x \in Z \mid x^{2} - 5x + 6 = 0\}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - 5x + 6 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(x - 2)(x - 3) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 2$ અથવા $x = 3$.
આમ,$B = \{2, 3\}$.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 5$ છે અને ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k} \binom{m}{k} k^{n}$ છે.
અહીં $n = 5$ અને $m = 2$ હોવાથી,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^{n} - 2 = 2^{5} - 2$ થશે.
$2^{5} - 2 = 32 - 2 = 30$.
તેથી,વ્યાપ્ત વિધેયોની કુલ સંખ્યા $30$ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{e^{2x}-1} = k-2$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{e^{2x}-1}{x}} = k-2$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3}{2} = k-2$
$k = \frac{3}{2} + 2$
$k = \frac{3+4}{2} = \frac{7}{2}$

(D) રોલના પ્રમેય માટે વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[a, b]$ પર ત્રણ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(a) = f(b)$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $D$ તપાસીએ: $f(x) = |x|$ અંતરાલ $[-2, 2]$ પર.
વિધેય $f(x) = |x|$ એ $[-2, 2]$ પર સતત છે,પરંતુ તે $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે અંતરાલ $(-2, 2)$ ની અંદર આવે છે.
રોલના પ્રમેયની બીજી શરત (વિકલનીયતા) $x = 0$ આગળ સંતોષાતી નથી,તેથી $[-2, 2]$ અંતરાલમાં $f(x) = |x|$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt[3]{y} \sqrt{x} = \sqrt[6]{(x+y)^{5}}$
બંને બાજુ $6$ ઘાત લેતા:
$(y^{1/3} x^{1/2})^6 = ((x+y)^{5/6})^6$
$y^2 x^3 = (x+y)^5$
ધારો કે $y = vx$,તેથી $dy = v dx + x dv$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(vx)^2 x^3 = (x + vx)^5$
$v^2 x^5 = x^5(1+v)^5$
$v^2 = (1+v)^5$
આ દર્શાવે છે કે $v$ અચળ છે. સમઘાત વિધેયો માટે,જો $f(y/x) = c$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$y^2 x^3 = (x+y)^5$ નું વિકલન કરતા:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5(x+y)^4 (1+y')$
$(x+y)^5 = y^2 x^3$ હોવાથી,$(x+y)^4 = \frac{y^2 x^3}{x+y}$ મૂકતા:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5 \frac{y^2 x^3}{x+y} (1+y')$
$x^2 y$ વડે ભાગતા:
$2x y' + 3y = \frac{5xy}{x+y} (1+y')$
$(2x y' + 3y)(x+y) = 5xy + 5xy y'$
$2x^2 y' + 2xy y' + 3xy + 3y^2 = 5xy + 5xy y'$
$y'(2x^2 + 2xy - 5xy) = 5xy - 3xy - 3y^2$
$y'(2x^2 - 3xy) = 2xy - 3y^2$
$y' x(2x - 3y) = y(2x - 3y)$
$2x - 3y \neq 0$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x - [x] - \cos x$ છે.
$x = \frac{\pi}{2}$ ની આસપાસના વિસ્તારમાં,$[x]$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે કારણ કે $[x] = [1.57...] = 1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{\pi}{2}$ ની આસપાસના અંતરાલમાં આપણે $f(x) = x - 1 - \cos x$ લખી શકીએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x - 1 - \cos x) = 1 - 0 - (-\sin x) = 1 + \sin x$ મળે છે.
હવે,વિકલનમાં $x = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}\right]$.
ધારો કે $2^x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(2^x)$.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા:
$f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right]$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(2^x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x)$
$f'(x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log_e 2$.
$x = 0$ આગળ કિંમત શોધતા:
$f'(0) = \frac{2}{1 + 4^0} \cdot 2^0 \log_e 2 = \frac{2}{1 + 1} \cdot 1 \cdot \log_e 2 = \frac{2}{2} \log_e 2 = \log_e 2$.

(D) આપેલ છે કે $x = a \sec^{2} \theta$ અને $y = a \tan^{2} \theta$.
$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \cdot 2 \sec \theta \cdot (\sec \theta \tan \theta) = 2a \sec^{2} \theta \tan \theta$.
$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cdot 2 \tan \theta \cdot (\sec^{2} \theta) = 2a \tan \theta \sec^{2} \theta$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2a \tan \theta \sec^{2} \theta}{2a \sec^{2} \theta \tan \theta} = 1$.
છેલ્લે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(1) = 0$.

(D) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = xy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{1}{y} dy = x dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{1}{y} dy = \int x dx$,જે $\log y = \frac{x^{2}}{2} + C$ આપે છે.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\log(1) = \frac{1^{2}}{2} + C \implies 0 = \frac{1}{2} + C \implies C = -\frac{1}{2}$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં પાછી મૂકતા,આપણને $\log y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 \log y = x^{2} - 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $x$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે બાજુના ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x \cdot \frac{dx}{dt}$
આપેલ કિંમતો $x = 14 \text{ cm}$ અને $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = \sqrt{3} \cdot 7 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = 28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(C) $\sqrt{24.99}$ ની આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન (differentials) નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $f(x) = \sqrt{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $24.99 = 25 - 0.01$. અહીં,$x = 25$ અને $\Delta x = -0.01$ છે.
આશરે કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ છે.
પ્રથમ,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ શોધો.
$x = 25$ માટે,$f(25) = \sqrt{25} = 5$ અને $f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} = 0.1$ થાય.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(24.99) \approx f(25) + f'(25) \times \Delta x$
$f(24.99) \approx 5 + (0.1) \times (-0.01)$
$f(24.99) \approx 5 - 0.001$
$f(24.99) \approx 4.999$.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 10$
વિકલિત શોધો: $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$
વિકલિતના અવયવ પાડો: $f'(x) = 3(x^{2} - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$
વિધેય વધતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે:
$3(x - 1)(x - 3) > 0$
$(x - 1)(x - 3) > 0$
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $x < 1$ અથવા $x > 3$ હોય.
આમ,વિધેય $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે $ I = \int \frac{1}{\sqrt{x} + x \sqrt{x}} dx $.
છેદમાંથી $ \sqrt{x} $ સામાન્ય લેતા: $ I = \int \frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)} dx $.
કારણ કે $ x = (\sqrt{x})^2 $,તેથી $ I = \int \frac{1}{\sqrt{x}(1 + (\sqrt{x})^2)} dx $.
ધારો કે $ t = \sqrt{x} $. તો $ dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx $,જેનો અર્થ છે કે $ \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt $.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $ I = \int \frac{2}{1 + t^2} dt $.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $ I = 2 \tan^{-1}(t) + C $.
$ t = \sqrt{x} $ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે $ I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x}) + C $.

(D) સંકલન $ I = \int x^{3} \sin 3 x \, dx $ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલન (Integration by Parts) અથવા ટેબ્યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૂત્ર $ \int u v \, dx = u v_1 - u' v_2 + u'' v_3 - u''' v_4 + \dots $ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $ u = x^3 $ અને $ v = \sin 3x $:
$ u = x^3, u' = 3x^2, u'' = 6x, u''' = 6, u'''' = 0 $
$ v_1 = \int \sin 3x \, dx = -\frac{\cos 3x}{3} $
$ v_2 = \int -\frac{\cos 3x}{3} \, dx = -\frac{\sin 3x}{9} $
$ v_3 = \int -\frac{\sin 3x}{9} \, dx = \frac{\cos 3x}{27} $
$ v_4 = \int \frac{\cos 3x}{27} \, dx = \frac{\sin 3x}{81} $
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$ I = x^3 \left( -\frac{\cos 3x}{3} \right) - (3x^2) \left( -\frac{\sin 3x}{9} \right) + (6x) \left( \frac{\cos 3x}{27} \right) - (6) \left( \frac{\sin 3x}{81} \right) + C $
$ I = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27} + C $

(B) $A, B, C$ શોધવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$\frac{2x-1}{(x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3}$
બંને બાજુ $(x-1)(x+2)(x-3)$ વડે ગુણતા:
$2x-1 = A(x+2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+2)$
$x=1$ લેતા: $2(1)-1 = A(1+2)(1-3) \implies 1 = A(3)(-2) \implies A = -\frac{1}{6}$
$x=-2$ લેતા: $2(-2)-1 = B(-2-1)(-2-3) \implies -5 = B(-3)(-5) \implies -5 = 15B \implies B = -\frac{1}{3}$
$x=3$ લેતા: $2(3)-1 = C(3-1)(3+2) \implies 5 = C(2)(5) \implies 5 = 10C \implies C = \frac{1}{2}$
આમ,$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $ I = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx $.
સંકલિતનું સંમેયીકરણ કરતા:
$ I = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{(1+x)^2}{(1-x)(1+x)}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $.
સંકલનને અલગ પાડતા:
$ I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય:
$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = [\sin^{-1} x]_{0}^{1} = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} $.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય:
ધારો કે $ 1-x^2 = t $,તેથી $ -2x \, dx = dt $,એટલે કે $ x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt $.
જ્યારે $ x=0, t=1 $ અને જ્યારે $ x=1, t=0 $.
$ \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{1}^{0} \frac{-1/2}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (2) = 1 $.
તેથી,$ I = \frac{\pi}{2} + 1 $.

(C) ધારો કે $ I = \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx $.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx $ નો ઉપયોગ કરતા,
$ I = \int_{-3}^{3} \cot^{-1}(-x) \, dx $ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $ \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x $.
તેથી,$ I = \int_{-3}^{3} (\pi - \cot^{-1} x) \, dx $.
$ I = \int_{-3}^{3} \pi \, dx - \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx $.
$ I = \pi [x]_{-3}^{3} - I $.
$ 2I = \pi (3 - (-3)) $.
$ 2I = 6\pi $.
$ I = 3\pi $.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{0}^{2} [x^{2}] \, dx$ ધ્યાનમાં લો.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x^2]$ ની કિંમત $x^2 = 1, 2, 3$ પર બદલાય છે,તેથી આપણે અંતરાલ $[0, 2]$ ને $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ ના આધારે વિભાજિત કરીએ છીએ.
$x \in [0, 1)$ માટે,$x^2 \in [0, 1)$,તેથી $[x^2] = 0$.
$x \in [1, \sqrt{2})$ માટે,$x^2 \in [1, 2)$,તેથી $[x^2] = 1$.
$x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માટે,$x^2 \in [2, 3)$,તેથી $[x^2] = 2$.
$x \in [\sqrt{3}, 2]$ માટે,$x^2 \in [3, 4]$,તેથી $[x^2] = 3$.
આમ,$I = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 \, dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 \, dx$.
$I = 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}} + [2x]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} + [3x]_{\sqrt{3}}^{2}$.
$I = (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$.
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$.
$I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^{2}=x$ (પરવલય) અને $x^{2}+y^{2}=2x$ (વર્તુળ) છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ તરીકે લખી શકાય,જેનું કેન્દ્ર $(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા: $x^{2}+x=2x \implies x^{2}-x=0 \implies x(x-1)=0$. આમ,$x=0$ અને $x=1$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
આપણે $X$-અક્ષની ઉપરનું ક્ષેત્રફળ જોઈએ છે,તેથી પરવલય માટે $y = \sqrt{x}$ અને ઉપરના અર્ધવર્તુળ માટે $y = \sqrt{1-(x-1)^{2}}$ લઈશું.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} (\sqrt{1-(x-1)^{2}} - \sqrt{x}) dx$ છે.
$= \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^{2}} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(0) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1) \right) - \frac{2}{3}$
$= 0 - (-\frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આ પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$,$y = \cos x$ અને $y = \sin x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આ વક્રો ત્યારે છેદે છે જ્યારે $\cos x = \sin x$,જે અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં $x = \frac{\pi}{4}$ પર થાય છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં,$\cos x \geq \sin x$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$
$= [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$= \sqrt{2} - 1 \text{ ચોરસ એકમ}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = c_{1} e^{c_{2}+x} + c_{3} e^{c_{4}+x}$
ઘાતાંકના નિયમ $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = c_{1} e^{c_{2}} e^{x} + c_{3} e^{c_{4}} e^{x}$
$e^{x}$ સામાન્ય લેતા:
$y = (c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}) e^{x}$
અહીં $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ અચળાંકો હોવાથી,પદ $(c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}})$ પણ એક અચળાંક છે. ધારો કે $A = c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}$.
તેથી સમીકરણ સરળ બનીને મળે છે:
$y = A e^{x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = A e^{x}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $y = A e^{x}$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = y$
આ પ્રથમ ક્રમનું વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,તેનો ક્રમ $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2x + 3y^2) dy = y dx$ છે.
બંને બાજુ $y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{2x + 3y^2}{y}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = 3y$ મળે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{2}{y}$ અને $Q(y) = 3y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = e^{\ln|y^{-2}|} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,લેગ્રાન્જની નિત્યસમ મુજબ $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ થાય છે.
અહીં $|\vec{a}| = 16$ અને $|\vec{b}| = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sqrt{|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}} = \sqrt{|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}}$
$= |\vec{a}| |\vec{b}|$
$= (16) \times (4)$
$= 64$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\vec{b}$ ની દિશામાં $\vec{a}$ નો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = -2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
આ કિંમત પ્રક્ષેપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}{|\vec{b}|} = -2$
$|\vec{a}| \cos \theta = -2$
$\theta = \frac{2\pi}{3}$ મૂકતા:
$|\vec{a}| \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2$
$|\vec{a}| \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$
$|\vec{a}| = (-2) \times (-2)$
$|\vec{a}| = 4$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) અદિશ ત્રિગુણકને $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ધારો કે $\vec{x} = \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}$,$\vec{y} = \vec{a}-\vec{b}$,અને $\vec{z} = \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$.
આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{y} \times \vec{z} = (\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$ ની ગણતરી કરીએ.
$= \vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,આપણને મળે છે:
$= 0 - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{a} \times \vec{b}) + 0 + (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$ ની ગણતરી કરો.
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] - 0 + 0 - 2[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] - 0 + 0$.
કારણ કે $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$,આપણને મળે છે:
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] - 2(-[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + 2[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.

(B) $XY$-સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે.
ધારો કે $XY$-સમતલ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતી રેખાને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન બિંદુનો $z$-યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $z = \frac{kz_2 + z_1}{k + 1}$.
આ બિંદુ $XY$-સમતલ પર હોવાથી,$z = 0$ થાય.
તેથી,$0 = \frac{k(-3) + (-5)}{k + 1}$.
આના પરથી $-3k - 5 = 0$ મળે,એટલે કે $3k = -5$,જેનો અર્થ છે $k = -\frac{5}{3}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બાહ્ય છે.
આમ,ગુણોત્તર $5:3$ બાહ્ય છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A = (2\lambda + 1, \lambda + 2, 2\lambda + 3)$ છે.
સદિશ $\vec{PA} = (2\lambda + 1 - 1)\hat{i} + (\lambda + 2 - 2)\hat{j} + (2\lambda + 3 - 1)\hat{k} = 2\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} + (2\lambda + 2)\hat{k}$.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$\vec{PA}$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,$\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$.
$(2\lambda)(2) + (\lambda)(1) + (2\lambda + 2)(2) = 0$.
$4\lambda + \lambda + 4\lambda + 4 = 0 \implies 9\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{9}$.
$\lambda = -\frac{4}{9}$ ને $A$ માં મૂકતા,$A = (2(-\frac{4}{9}) + 1, -\frac{4}{9} + 2, 2(-\frac{4}{9}) + 3) = (\frac{1}{9}, \frac{14}{9}, \frac{19}{9})$.
અંતર $PA = \sqrt{(\frac{1}{9} - 1)^2 + (\frac{14}{9} - 2)^2 + (\frac{19}{9} - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{8}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + (\frac{10}{9})^2}$.
$PA = \sqrt{\frac{64 + 16 + 100}{81}} = \sqrt{\frac{180}{81}} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(1, 3, 4)$ છે અને સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ છે. ધારો કે $A(x_1, y_1, z_1)$ એ $P$ માંથી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા $PA$ ના દિકગુણોત્તર $(x_1 - 1, y_1 - 3, z_1 - 4)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 1)$ છે.
$PA$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,$PA$ ના દિકગુણોત્તર અભિલંબ સદિશના પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 - 3}{-1} = \frac{z_1 - 4}{1} = \lambda$
આથી $x_1 = 2\lambda + 1$,$y_1 = -\lambda + 3$,અને $z_1 = \lambda + 4$ મળે છે.
બિંદુ $A$ એ સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ પર હોવાથી,આ યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 3) + (\lambda + 4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0$
$6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ની કિંમત $x_1, y_1, z_1$ માં મૂકતા:
$x_1 = 2(-1) + 1 = -1$
$y_1 = -(-1) + 3 = 4$
$z_1 = (-1) + 4 = 3$
આમ,લંબપાદના યામ $(-1, 4, 3)$ છે.

(D) રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b} = (2, -1, 1)$ છે.
સમતલ $3x - 4y - z + 5 = 0$ ના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, -4, -1)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(3) + (-1)(-4) + (1)(-1) = 6 + 4 - 1 = 9$.
માન: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{9}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} = \frac{9}{\sqrt{156}} = \frac{9}{2\sqrt{39}}$.
હવે,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{81}{156}} = \sqrt{\frac{75}{156}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{2\sqrt{13}}\right)$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = -2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3 - (-2)) + \hat{k}(1 - (-4)) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25+25+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \pm \frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ એ $\frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ દર્શાવે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A)=0.2$,$P(B)=0.6$ અને $P(A \mid B)=0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.5 = \frac{P(A \cap B)}{0.6}$.
તેથી,$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.6 = 0.3$.
આપણે $P(A^{\prime} \mid B)$ શોધવાની જરૂર છે.
શરતી સંભાવનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - P(A \mid B)$.
આમ,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. આ ગણમાં $3$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6\}$ અને $4$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7\}$ છે.
ધારો કે $E_1$ એ બેકી સંખ્યા પસંદ થવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ એકી સંખ્યા પસંદ થવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = \frac{3}{7}$ અને $P(E_2) = \frac{4}{7}$.
ધારો કે $E$ એ માણસ દ્વારા બેકી સંખ્યા જણાવવાની ઘટના છે.
જો સંખ્યા બેકી હોય,તો તે $\frac{2}{3}$ સંભાવના સાથે સાચું બોલે છે,તેથી $P(E \mid E_1) = \frac{2}{3}$.
જો સંખ્યા એકી હોય,તો તે $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ સંભાવના સાથે જૂઠું બોલે છે,તેથી $P(E \mid E_2) = \frac{1}{3}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે $P(E_1 \mid E)$ શોધવાનું છે:
$P(E_1 \mid E) = \frac{P(E \mid E_1) P(E_1)}{P(E \mid E_1) P(E_1) + P(E \mid E_2) P(E_2)}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7})}{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7}) + (\frac{1}{3})(\frac{4}{7})}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{\frac{6}{21}}{\frac{6}{21} + \frac{4}{21}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=r) = {}^{n}C_{r} q^{n-r} p^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી:
$P(X=2) = {}^{6}C_{2} q^{4} p^{2} = 15 q^{4} p^{2} = 12$ (સમીકરણ $1$)
$P(X=3) = {}^{6}C_{3} q^{3} p^{3} = 20 q^{3} p^{3} = 5$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{15 q^{4} p^{2}}{20 q^{3} p^{3}} = \frac{12}{5}$
$\frac{3q}{4p} = \frac{12}{5}$
$15q = 48p$
$5q = 16p$
કારણ કે $q = 1-p$,તેથી:
$5(1-p) = 16p$
$5 - 5p = 16p$
$5 = 21p$
$p = \frac{5}{21}$

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\Sigma P(X) = 1$.
$(k-1) + 3k + k + 3k + 3k^2 + k^2 + (k^2+k) = 1$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$5k^2 + 9k - 1 = 1$
$5k^2 + 9k - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$5k^2 + 10k - k - 2 = 0$
$5k(k+2) - 1(k+2) = 0$
$(5k-1)(k+2) = 0$
આથી $k = \frac{1}{5}$ અથવા $k = -2$ મળે.
સંભાવના $P(X)$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $k$ ધન હોવો જોઈએ. $k = -2$ માટે,$P(X=1) = -3$ થાય,જે શક્ય નથી.
તેથી,$k = \frac{1}{5}$.