ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(-1) + f(2) + f(4)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x^2-2x-3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ

List-$I$ ના વિધેયોને List-$II$ માં તેમના સ્વભાવ સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

$A$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત	$I$. એક-એક પણ વ્યાપ્ત નથી
$B$. $f: A \rightarrow B$,$f(x) = x|x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત,જ્યાં $A = [-2, 2]$ અને $B = [-4, 4]$	$II$. વ્યાપ્ત પણ એક-એક નથી
$C$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત	$III$. એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન)
$D$. $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત	$IV$. એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી
	$V$. સંયોજિત વિધેય

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $\mathbb{R}$ માં અરિક્ત ગણો છે અને $f : A \to B$ એક એક-વ્યાપ્ત (bijective) વિધેય છે.
વિધાન $1$ : $f$ એક વ્યાપ્ત (onto) વિધેય છે.
વિધાન $2$ : એવું વિધેય $g : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = I_B$ થાય.

ધારો કે $X$ એ બરાબર $5$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે અને $Y$ એ બરાબર $7$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. જો $\alpha$ એ $X$ થી $Y$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા હોય અને $\beta$ એ $Y$ થી $X$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા હોય,તો $\frac{1}{5!}(\beta-\alpha)$ ની કિંમત શોધો.

તદેવ વિધેય $I_{N}: N \rightarrow N$ ધ્યાનમાં લો,જે $I_{N}(x) = x$ દરેક $x \in N$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. દર્શાવો કે જોકે $I_{N}$ વ્યાપ્ત (onto) છે,પરંતુ $I_{N} + I_{N}: N \rightarrow N$ જે $(I_{N} + I_{N})(x) = I_{N}(x) + I_{N}(x) = x + x = 2x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે વ્યાપ્ત નથી.