KCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\sin^{2} 51^{\circ} + \sin^{2} 39^{\circ}$.
આપણે $39^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 51^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\sin^{2} 39^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ} - 51^{\circ}) = \cos^{2} 51^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sin^{2} 51^{\circ} + \cos^{2} 51^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1$ મળે છે.

(C) આપણને વિધાન $P(n): 2^{n} < n!$ આપેલ છે.
આપણે $n$ ની ધન પૂર્ણાંક કિંમતો માટે ચકાસણી કરીએ:
$n=1$ માટે: $2^{1} = 2$ અને $1! = 1$. $2 < 1$ અસત્ય હોવાથી,$P(1)$ અસત્ય છે.
$n=2$ માટે: $2^{2} = 4$ અને $2! = 2$. $4 < 2$ અસત્ય હોવાથી,$P(2)$ અસત્ય છે.
$n=3$ માટે: $2^{3} = 8$ અને $3! = 6$. $8 < 6$ અસત્ય હોવાથી,$P(3)$ અસત્ય છે.
$n=4$ માટે: $2^{4} = 16$ અને $4! = 24$. $16 < 24$ સત્ય હોવાથી,$P(4)$ સત્ય છે.
તેથી,$n$ ની સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત જેના માટે $P(n)$ સત્ય છે તે $n=4$ છે.

(D) આપેલ છે,$z=x+iy$.
સમીકરણ $|z+1|=|z-1|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|z+1|^2 = |z-1|^2$ મળે.
$z=x+iy$ મુકતા,$|(x+1)+iy|^2 = |(x-1)+iy|^2$ મળે.
આથી $(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + y^2$.
સાદું રૂપ આપતા,$(x+1)^2 - (x-1)^2 = 0$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(x+1-x+1)(x+1+x-1) = 0$.
$(2)(2x) = 0$,જે $4x = 0$ આપે છે,તેથી $x = 0$.
સમીકરણ $x=0$ એ સંકર સમતલમાં $Y$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
$A$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે,જ્યાં $n = 6$,તેથી $2^6 = 64$.
ઓછામાં ઓછા બે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો એટલે કુલ ઉપગણોમાંથી શૂન્ય ઘટક ધરાવતા (ખાલી ગણ) અને બરાબર એક ઘટક ધરાવતા ઉપગણો બાદ કરવા.
શૂન્ય ઘટક ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = ${}^6C_0 = 1$.
એક ઘટક ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = ${}^6C_1 = 6$.
તેથી,ઓછામાં ઓછા બે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $64 - (1 + 6) = 64 - 7 = 57$.

(A) આપેલ છે,$\tan A + \cot A = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan A + \cot A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 \tan A \cot A = 4$
કારણ કે $\tan A \cot A = 1$,તેથી:
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 = 4$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A = 2$
હવે,ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan^{2} A + \cot^{2} A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2 \tan^{2} A \cot^{2} A = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2(1)^{2} = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A = 4 - 2 = 2$.

(B) આપેલ છે,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{3}$.
તેથી,સમસ્યા ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાઓ $P(\bar{A}) = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = \frac{3}{4}, P(\bar{C}) = \frac{2}{3}$ છે.
સમસ્યા બરાબર બે વ્યક્તિઓ દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $= P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$.
$= (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$.
$= \frac{2}{24} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(A) $(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\binom{10+3-1}{3-1} = \binom{12}{2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.

(C) આપેલ છે કે $AP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = n^{2} + n$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ પદ $a_{1} = S_{1} = 1^{2} + 1 = 2$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_{2} = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$.
બીજું પદ $a_{2} = S_{2} - S_{1} = 6 - 2 = 4$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_{2} - a_{1} = 4 - 2 = 2$.

(A) પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $lx + my = n$ છે,જેને $y = -\frac{l}{m}x + \frac{n}{m}$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{l}{m}$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ $l'x + m'y = n'$ છે,જેને $y = -\frac{l'}{m'}x + \frac{n'}{m'}$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{l'}{m'}$ છે.
બે રેખાઓ લંબ હોય જો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(-\frac{l}{m}\right) \times \left(-\frac{l'}{m'}\right) = -1$
$\frac{ll'}{mm'} = -1$
$ll' = -mm'$
$ll' + mm' = 0$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^{2} = 4ay$ છે.
પરવલય બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 2$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(2)^{2} = 4a(1)$
$4 = 4a$
પરવલય $x^{2} = 4ay$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
સમીકરણ $4 = 4a$ પરથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધાન એક સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફિકેશન છે: "બધી $x, y \in \mathbb{R}$ માટે,$x+y=y+x$."
"બધા માટે" $(\forall)$ ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન શોધવા માટે,આપણે તેને "અસ્તિત્વ ધરાવે છે" (અથવા "કેટલાક માટે") ક્વોન્ટિફાયર સાથે બદલીએ છીએ અને વિધાનને નકારીએ છીએ.
"બધા $x$ અને $y$ માટે,$P(x, y)$" નું નકારાત્મક વિધાન "એવા $x$ અને $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\neg P(x, y)$ થાય" છે.
અહીં,વિધાન $P(x, y)$ એ $x+y=y+x$ છે.
$x+y=y+x$ નું નકારાત્મક વિધાન $x+y \neq y+x$ છે.
તેથી,આપેલ વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન "કેટલીક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$x+y \neq y+x$" છે.

(D) આપેલ છે કે $n(A) = 2$. ધારો કે $n(B) = m$.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A) \times n(B)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
રકમ મુજબ,$2^{2 \times m} = 1024$.
કારણ કે $1024 = 2^{10}$,તેથી $2^{2m} = 2^{10}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2m = 10$,જેનું સાદું રૂપ $m = 5$ મળે છે.
તેથી,$n(B) = 5$.

(C) કારણ કે $A, B, C$ એ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
આપેલ છે કે $P(A) = 2P(B) = 3P(C)$,તેથી આપણે $P(A)$ અને $P(C)$ ને $P(B)$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$P(A) = 2P(B)$
$P(C) = \frac{2P(B)}{3}$
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2P(B) + P(B) + \frac{2P(B)}{3} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$6P(B) + 3P(B) + 2P(B) = 3$
$11P(B) = 3$
$P(B) = \frac{3}{11}$

(A) આપેલ માહિતી: $6, 7, 8, 9, 10$
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{6+7+8+9+10}{5} = \frac{40}{5} = 8$
પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ = $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{1 / x}-1}{e^{1 / x}+1}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0+h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1}$
અંશ અને છેદને $e^{1/h}$ વડે ભાગતા:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1 - e^{-1/h}}{1 + e^{-1/h}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0-h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1}$
જેમ $h \rightarrow 0^{+}$,તેમ $e^{-1/h} \rightarrow 0$:
$\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$
આમ,$RHL$ $1$ છે અને $LHL$ $-1$ છે.

(A) આપણે સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${ }^{n} C_{r} = { }^{n} C_{n-r}$.
આ ગુણધર્મ ${ }^{16} C_{6}$ અને ${ }^{16} C_{7}$ પદો પર લાગુ કરતા:
${ }^{16} C_{6} = { }^{16} C_{16-6} = { }^{16} C_{10}$
${ }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{16-7} = { }^{16} C_{9}$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
${ }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{6} - { }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{9}$
$= ({ }^{16} C_{9} - { }^{16} C_{9}) + ({ }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10}) = 0 + 0 = 0$.

(C) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,અષ્ટક બિંદુના યામ $(x, y, z)$ ની નિશાનીઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $(1, -3, 4)$ માટે,આપણી પાસે $x > 0$,$y < 0$,અને $z > 0$ છે.
અષ્ટકો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$I: (+, +, +)$
$II: (-, +, +)$
$III: (-, -, +)$
$IV: (+, -, +)$
$V: (+, +, -)$
$VI: (-, +, -)$
$VII: (-, -, -)$
$VIII: (+, -, -)$
અહીં નિશાનીઓ $(+, -, +)$ હોવાથી,બિંદુ $(1, -3, 4)$ એ $IV$ અષ્ટકમાં આવેલું છે.

(A) આપણી પાસે છે,$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\tan x}{\sqrt{2x+4}-2} \right)$.
આ લક્ષની કિંમત શોધવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x (\sqrt{2x+4}+2)}{(\sqrt{2x+4}-2)(\sqrt{2x+4}+2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x (\sqrt{2x+4}+2)}{(2x+4)-4}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x (\sqrt{2x+4}+2)}{2x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right) \times \frac{\sqrt{2x+4}+2}{2}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 \times \frac{\sqrt{2(0)+4}+2}{2}$
$= \frac{\sqrt{4}+2}{2} = \frac{2+2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

(A) કારણ કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ નિદર્શાવકાશ $S$ નું વિભાજન કરે છે,તેથી $P(E_{1}) + P(E_{2}) = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $P(E_{1}) = P(E_{2}) = \frac{1}{2}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_{1} | A) + P(E_{2} | A) = 1$ થાય,કારણ કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ નિઃશેષ અને પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે કે $P(E_{2} | A) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P(E_{1} | A) = 1 - P(E_{2} | A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે $AP$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તેથી $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$.
હારની પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ લાગુ કરતા:
પ્રથમ હારના ઘટકો નીચે મુજબ થશે:
$a_{1} + a_{7} - 2a_{4} = (a_{1}) + (a_{1} + 6d) - 2(a_{1} + 3d) = 0$.
$a_{2} + a_{8} - 2a_{5} = (a_{1} + d) + (a_{1} + 7d) - 2(a_{1} + 4d) = 0$.
$a_{3} + a_{9} - 2a_{6} = (a_{1} + 2d) + (a_{1} + 8d) - 2(a_{1} + 5d) = 0$.
પ્રથમ હારના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $P(A)=\frac{1}{3}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ અને $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$.
આપણે $P(A^{\prime} | B)$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્ર મુજબ,$P(A^{\prime} | B) = \frac{P(A^{\prime} \cap B)}{P(B)}$.
કારણ કે $P(A^{\prime} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$,
તેથી $P(A^{\prime} | B) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A^{\prime} | B) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3-1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$.

(D) ગણ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયા એ $A \times A$ થી $A$ પરનું વિધેય છે.
જો ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n$ હોય,તો $A \times A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n^{2}$ થાય.
ગણ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયાઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $n^{(n^{2})}$ છે.
અહીં,ગણ $A = \{a, b, c\}$ છે,તેથી ઘટકોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને દ્વિ-ક્રિયાઓની સંખ્યા $3^{(3^{2})} = 3^{9}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} A = I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$. તેથી $BA = I$,જેનો અર્થ છે કે $A = B^{-1}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$ad-bc = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$.
તેથી,$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $x \in [-1, 1]$ છે.
અહીં,દલીલ (argument) $\frac{\pi}{3}$ છે.
$\pi \approx 3.14159$ હોવાથી,$\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ થાય.
$1.047 > 1$ હોવાથી,$\frac{\pi}{3}$ ની કિંમત પ્રદેશ $[-1, 1]$ ની બહાર છે.
તેથી,$\sin ^{-1} \left(\frac{\pi}{3}\right)$ અને $\cos ^{-1} \left(\frac{\pi}{3}\right)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,પદાવલિ $\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\pi}{3}+\cos ^{-1} \frac{\pi}{3}\right)$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^{2} = A \cdot A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
હવે,આપણે $A^{4} = A^{2} \cdot A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{4} = I \cdot I = I$.
તેથી,$A^{4} = I$.

(D) આપેલ છે કે $B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $B^{\prime} = -B$.
$A^{\prime} B A$ સંમિત છે કે વિસંમિત તે ચકાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લઈએ:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} (A^{\prime})^{\prime}$
ગુણધર્મ $(XYZ)^{\prime} = Z^{\prime} Y^{\prime} X^{\prime}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} A$
કારણ કે $B^{\prime} = -B$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} (-B) A = -(A^{\prime} B A)$
જેથી,શ્રેણિક $A^{\prime} B A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોવાથી,$A^{\prime} B A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x + 5$ છે જેનો પ્રદેશ $[2, \infty)$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને આપણે વિધેયને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$f(x) = (x^{2} - 4x + 4) + 1$
$f(x) = (x - 2)^{2} + 1$
અહીં પ્રદેશ $x \in [2, \infty)$ હોવાથી,$x - 2 \geq 0$ થાય.
તેથી,$(x - 2)^{2} \geq 0$ થાય.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$(x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ મળે.
આમ,$f(x) \geq 1$.
તેથી,વિધેય $f$ નો વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે.

(C) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$.
$R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(2, 2) \notin R$ અને $(3, 3) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 1) \in R$ માટે $(1, 1) \in R$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં માત્ર એક જ ઘટક $(1, 1)$ હોવાથી,આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સંમિત અને પરંપરિત છે.

(A) આપણી પાસે વિધેય $f(x) = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$ છે.
વિધેય $\cos^{-1}(u)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો ચલ $u$ એ $u \in [-1, 1]$ હોવો જોઈએ.
અહીં $\sqrt{x-1}$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,શરત $0 \leq \sqrt{x-1} \leq 1$ બને છે.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને $0 \leq x-1 \leq 1$ મળે છે.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા,આપણને $1 \leq x \leq 2$ મળે છે.
તેથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[1, 2]$ છે.

(C) આપણી પાસે છે,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$.
$f(0)$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકીએ છીએ:
$f(0) = \left| \begin{array}{ccc} 0^3 - 0 & a + 0 & b + 0 \\ 0 - a & 0^2 - 0 & c + 0 \\ 0 - b & 0 - c & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right|$.
ધારો કે $A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right]$.
અહીં $A^T = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array} \right] = -A$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત (skew-symmetric) શ્રેણિક છે.
એકી કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
તેથી,$f(0) = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $A \text{ adj. } A = |A| I$ છે,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A \text{ adj. } A| = | |A| I |$ મળે છે.
$n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $|kI| = k^n |I|$ હોવાથી,આપણને $|A \text{ adj. } A| = |A|^n |I|$ મળે છે.
$|I| = 1$ હોવાથી,સૂત્ર $|A \text{ adj. } A| = |A|^n$ બને છે.
અહીં $n = 3$ અને $|A| = 5$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$|A \text{ adj. } A| = (5)^3 = 125$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2^{x}+2^{y}=2^{x+y} \quad ...(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2^{x}) + \frac{d}{dx}(2^{y}) = \frac{d}{dx}(2^{x+y})$
$2^{x} \ln 2 + 2^{y} \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} \ln 2 \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\ln 2$ વડે ભાગતા:
$2^{x} + 2^{y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} + 2^{x+y} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2^{y} \frac{dy}{dx} - 2^{x+y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - 2^{x+y}) = 2^{x+y} - 2^{x}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $2^{x+y} = 2^{x} + 2^{y}$. આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - (2^{x} + 2^{y})) = (2^{x} + 2^{y}) - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (-2^{x}) = 2^{y}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{y}}{2^{x}} = -2^{y-x}$

(D) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x} = \frac{1}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{Kx}{2})}{x \sin x} = \frac{1}{2}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \left(\frac{\sin(Kx/2)}{x}\right)^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$.
અંશમાં $(\frac{K}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (\frac{K}{2})^2 \cdot (\frac{\sin(Kx/2)}{Kx/2})^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી:
$2 \cdot \frac{K^2}{4} \cdot \frac{1^2}{1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{K^2}{2} = \frac{1}{2} \implies K^2 = 1$.
આમ,$K = \pm 1$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$.
ધારો કે $x=\tan \theta$,તેથી $\theta=\tan ^{-1} x$.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા,આપણને મળે $f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$,તેથી $f(x)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{2}{1+x^{2}}$.
હવે $x=\sqrt{3}$ મૂકતા,$f^{\prime}(\sqrt{3}) = \frac{2}{1+(\sqrt{3})^{2}} = \frac{2}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(C) રેખા $y=2x+1$ એ $X$-અક્ષને $x=-\frac{1}{2}$ આગળ છેદે છે.
$x \in [-1, -\frac{1}{2}]$ માટે,$y \le 0$ અને $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ માટે,$y \ge 0$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{-1/2} -(2x+1) dx + \int_{-1/2}^{1} (2x+1) dx$
$= -[x^2+x]_{-1}^{-1/2} + [x^2+x]_{-1/2}^{1}$
$= -[(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (1 - 1)] + [(1+1) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})]$
$= -[-\frac{1}{4}] + [2 - (-\frac{1}{4})]$
$= \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે,$y = 2 x^{n+1} + 3 x^{-n} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(n+1)x^n + 3(-n)x^{-n-1} = 2(n+1)x^n - 3nx^{-n-1}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2(n+1)(n)x^{n-1} - 3n(-n-1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2n(n+1)x^{n-1} + 3n(n+1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n-1} + 3x^{-n-2}]$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n+1} + 3x^{-n}]$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$

(A) આપેલ સમીકરણ $(x e)^{y}=e^{x}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$y \log(x e) = x \log e$
કારણ કે $\log(x e) = \log x + \log e$ અને $\log e = 1$,તેથી:
$y(\log x + 1) = x$
$y = \frac{x}{\log x + 1}$
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x + 1)(1) - x(\frac{1}{x} + 0)}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x + 1 - 1}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(\log x + 1)^2}$

(D) આપેલ વક્રો $2x = y^2$ $(i)$ અને $2xy = K$ $(ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,$2x = y^2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$y^2 \cdot y = K \Rightarrow y^3 = K \Rightarrow y = K^{1/3}$.
તેથી $2x = (K^{1/3})^2 = K^{2/3} \Rightarrow x = \frac{K^{2/3}}{2}$.
છેદબિંદુ $(\frac{K^{2/3}}{2}, K^{1/3})$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
છેદબિંદુ પર ઢાળ $m_1 = \frac{1}{K^{1/3}}$.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2(y + x \frac{dy}{dx}) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
છેદબિંદુ પર ઢાળ $m_2 = -\frac{K^{1/3}}{K^{2/3}/2} = -2K^{-1/3}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$(\frac{1}{K^{1/3}}) \cdot (-2K^{-1/3}) = -1$.
$-2K^{-2/3} = -1 \Rightarrow K^{-2/3} = \frac{1}{2}$.
$K^{2/3} = 2 \Rightarrow (K^{2/3})^3 = 2^3 \Rightarrow K^2 = 8$.

(D) ધારો કે ઘનની બાજુ $x$ છે. ઘનનું પૃષ્ઠફળ $S = 6x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બાજુ $x$ માં $5 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી બાજુ $x' = x + 0.05x = 1.05x$ થાય છે.
નવું પૃષ્ઠફળ $S' = 6(1.05x)^2$ દ્વારા મળે છે.
$S' = 6(1.1025x^2) = 1.1025(6x^2) = 1.1025S$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{S' - S}{S} \times 100 \%$ છે.
$= \frac{1.1025S - S}{S} \times 100 \% = 0.1025 \times 100 \% = 10.25 \%$.

(A) આપેલ છે,$I = \int e^{\sin x} \sin 2x \, dx$
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^{\sin x} (2 \sin x \cos x) \, dx = 2 \int e^{\sin x} \sin x \cos x \, dx$
ધારો કે $\sin x = t$,તેથી $\cos x \, dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = 2 \int e^t \cdot t \, dt$
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = t$ અને $dv = e^t \, dt$:
$I = 2 [t e^t - \int e^t \, dt] = 2 [t e^t - e^t] + C$
$I = 2 e^t (t - 1) + C$
$t = \sin x$ પાછું મૂકતા:
$I = 2 e^{\sin x} (\sin x - 1) + C$

(B) આપણી પાસે $I = \int \frac{1+x^{4}}{1+x^{6}} dx$ છે.
અહીં,$1+x^6 = (1+x^2)(1-x^2+x^4)$ નો ઉપયોગ કરીને,
$\int \frac{1+x^{4}}{1+x^{6}} dx = \int \frac{1+x^{2}+x^{4}-x^{2}}{1+x^{6}} dx$
આ પદને બે ભાગમાં વહેંચતા:
$\int \frac{1+x^{2}}{1+x^{6}} dx + \int \frac{x^{4}-x^{2}}{1+x^{6}} dx$
સરળ રીતે ગણતરી કરતા:
$\int \frac{1+x^{4}}{1+x^{6}} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx + \int \frac{x^2}{1+(x^3)^2} dx$.
ધારો કે $t = x^3$,તેથી $dt = 3x^2 dx$ અથવા $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
તેથી,સંકલન $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \int \frac{dt}{1+t^2} = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} t + C$ થશે.
છેલ્લે,$t = x^3$ મૂકતા,જવાબ $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + C$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\log _{e} x}{x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x) - \log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^{2}} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log _{e} x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \log _{e} x}{x^{2}}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - \log _{e} x = 0 \Rightarrow \log _{e} x = 1 \Rightarrow x = e$.
હવે,મહત્તમ કિંમતની પુષ્ટિ કરવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ તપાસીએ:
$f''(x) = \frac{x^{2}(-\frac{1}{x}) - (1 - \log _{e} x)(2x)}{x^{4}} = \frac{-x - 2x(1 - \log _{e} x)}{x^{4}}$.
$x = e$ આગળ,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^{4}} = \frac{-e}{e^{4}} = -\frac{1}{e^{3}} < 0$.
કારણ કે $f''(e) < 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = e$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log _{e} e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(D) આપણી પાસે સંકલન $\int \frac{3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\frac{3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.
બંને બાજુ $(x-1)(x-2)(x-3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$3x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$.
$x=1$ લેતા: $3(1)+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 4 = A(-1)(-2) \Rightarrow 4 = 2A \Rightarrow A = 2$.
$x=2$ લેતા: $3(2)+1 = B(2-1)(2-3) \Rightarrow 7 = B(1)(-1) \Rightarrow 7 = -B \Rightarrow B = -7$.
$x=3$ લેતા: $3(3)+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 10 = C(2)(1) \Rightarrow 10 = 2C \Rightarrow C = 5$.
આમ,સંકલન $\int (\frac{2}{x-1} - \frac{7}{x-2} + \frac{5}{x-3}) dx$ બને છે.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને $2 \log |x-1| - 7 \log |x-2| + 5 \log |x-3| + K$ મળે છે.
આને $A \log |x-1| + B \log |x-2| + C \log |x-3| + K$ સાથે સરખાવતા,$A=2, B=-7, C=5$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે છે,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \cos ^{-1} x \, dx$.
ગુણધર્મ $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) \, dx$.
$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \frac{\pi}{2} \, dx - \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sin^{-1} x \, dx$.
$\sin^{-1} x$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,સંકલન $\int_{-a}^{a} \sin^{-1} x \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$I = \frac{\pi}{2} [x]_{-1 / 2}^{1 / 2} - 0$.
$I = \frac{\pi}{2} (\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})) = \frac{\pi}{2} (1) = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{1+e^{x}} + \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} \right) d x$.
કારણ કે $\cos(-x) = \cos x$ અને $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,તેથી પદ આ મુજબ થશે:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{1+e^{x}} + \frac{e^x \cos x}{1+e^{x}} \right) d x$.
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x (1+e^x)}{1+e^x} d x$.
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \cos x d x$.
$I = [\sin x]_{0}^{\pi / 2} = \sin(\pi / 2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$d x = \sec^{2} \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$,અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\log (1+\tan \theta)}{1+\tan^{2} \theta} (\sec^{2} \theta) d \theta = \int_{0}^{\pi/4} \log (1+\tan \theta) d \theta \quad ...(i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right] d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right] d \theta = \int_{0}^{\pi/4} \log \left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/4} [\log 2 - \log (1+\tan \theta)] d \theta \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi/4} \log 2 d \theta = \log 2 [\theta]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} \log 2$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(B) આપેલ વક્ર અને રેખાના સમીકરણો $y^{2}=8x$ અને $y=2x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=2x$ ને $y^{2}=8x$ માં મૂકતા:
$(2x)^{2}=8x$
$4x^{2}=8x$
$4x^{2}-8x=0$
$4x(x-2)=0$
તેથી,$x=0$ અને $x=2$ મળે છે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $y=0$. જ્યારે $x=2$,ત્યારે $y=4$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ છે.
આવૃત પ્રદેશનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેની રેખા બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{0}^{2} (\sqrt{8x} - 2x) dx$
$A = \int_{0}^{2} (2\sqrt{2}x^{1/2} - 2x) dx$
$A = 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx - 2 \int_{0}^{2} x dx$
$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} - 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{2} - [x^{2}]_{0}^{2}$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2^{3/2}) - (2^{2})$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2\sqrt{2}) - 4$
$A = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2}{3} - 4 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16-12}{3} = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણ: $c_{1} y = (c_{2} + c_{3}) e^{x + c_{4}}$
અચળાંકોને એકસાથે લેતા: $y = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}} \cdot e^{x}$
ધારો કે $C = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}}$,જ્યાં $C$ એ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
તેથી,સમીકરણ $y = C e^{x}$ બને છે.
અહીં માત્ર એક જ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંક $C$ હોવાથી,તેને દૂર કરવાથી મળતા વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ થશે.
$y = C e^{x}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = C e^{x}$ મળે છે.
$y = C e^{x}$ ને વિકલનમાં મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = y$ મળે છે.
આ પ્રથમ ક્રમનું વિકલ સમીકરણ છે,તેથી તેનો ક્રમ $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $y \, dy = 3x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y \, dy = \int 3x \, dx$,જે $\frac{y^2}{2} = \frac{3x^2}{2} + C$ આપે છે.
$2$ વડે ગુણતા,$y^2 = 3x^2 + 2C$ મળે,અથવા $y^2 - 3x^2 = K$ જ્યાં $K = 2C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ મૂકતા: $2^2 - 3(1)^2 = K$,એટલે કે $4 - 3 = K$,જેનો અર્થ છે $K = 1$.
વક્રનું સમીકરણ $y^2 - 3x^2 = 1$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે,જે અતિવલય (Hyperbola) દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$.
બંને બાજુ $x^{2} dx$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^{2} \cos x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{2}{x}$ અને $Q = x^{2} \cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = e^{\ln |x^{-2}|} = \frac{1}{x^{2}}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \frac{1}{x^{2}} = \int (x^{2} \cos x) \cdot \frac{1}{x^{2}} dx + c$.
$\frac{y}{x^{2}} = \int \cos x dx + c$.
$\frac{y}{x^{2}} = \sin x + c$.
$x^{2}$ વડે ગુણતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ મળે છે:
$y = x^{2} \sin x + cx^{2}$.

(D) ધારો કે $\vec{AB} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{AC} = \hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$.
ધારો કે $M$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાને સદિશ $\vec{AM}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$\triangle ABC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$A$ ની સાપેક્ષમાં $BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ નો સ્થાન સદિશ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ સદિશોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}((\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}))$
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k})$
$\vec{AM} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
મધ્યગાની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AM}$ નું માન છે:
$|\vec{AM}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (3)^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{1 + 4 + 9}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{14}$

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a-b|^2 = (a-b) \cdot (a-b) = |a|^2 - 2(a \cdot b) + |b|^2$.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,તેથી $|a-b|^2 = 1^2 - 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 2 - 2 \cos \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|a-b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|a-b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{|a-b|}{2}$.

(NONE) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલા સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = \lambda \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત મુજબ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \\ \lambda & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(1(2) - (-1)(-1)) - 3(2(2) - (-1)(\lambda)) + 4(2(-1) - 1(\lambda)) = 0$
$2(2 - 1) - 3(4 + \lambda) + 4(-2 - \lambda) = 0$
$2(1) - 12 - 3\lambda - 8 - 4\lambda = 0$
$2 - 12 - 8 - 7\lambda = 0$
$-18 - 7\lambda = 0$
$-7\lambda = 18$
$\lambda = -\frac{18}{7}$

(C) આપેલ છે કે $|a+b|^{2}+|a \cdot b|^{2}=144$ અને $|a|=6$.
અહીં આપેલ સમીકરણ $|a|^{2}|b|^{2} = 144$ ના સ્વરૂપમાં છે તેમ માનતા,
$|6|^{2}|b|^{2} = 144$.
$36|b|^{2} = 144$.
$|b|^{2} = \frac{144}{36} = 4$.
તેથી,$|b| = 2$.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $A(1, 2, -4)$ છે અને રેખા $\frac{x-3}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z+5}{6} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda+3, 3\lambda+3, 6\lambda-5)$ છે.
રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તર $(2\lambda+3-1, 3\lambda+3-2, 6\lambda-5-(-4))$ એટલે કે $(2\lambda+2, 3\lambda+1, 6\lambda-1)$ છે.
કારણ કે $AP$ એ આપેલ રેખા (દિકગુણોત્તર $2, 3, 6$) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda+2) + 3(3\lambda+1) + 6(6\lambda-1) = 0$
$4\lambda + 4 + 9\lambda + 3 + 36\lambda - 6 = 0$
$49\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{49}$.
અંતર $AP$ નો વર્ગ $AP^2 = (2\lambda+2)^2 + (3\lambda+1)^2 + (6\lambda-1)^2$ છે.
$\lambda = -\frac{1}{49}$ મૂકતા:
$AP^2 = 49\lambda^2 + 2\lambda + 6 = 49(-\frac{1}{49})^2 + 2(-\frac{1}{49}) + 6$
$AP^2 = \frac{1}{49} - \frac{2}{49} + 6 = 6 - \frac{1}{49} = \frac{294-1}{49} = \frac{293}{49}$.
તેથી,$AP = \sqrt{\frac{293}{49}} = \frac{\sqrt{293}}{7}$.

(D) આપેલ રેખા $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $2x - 2y + z = 5$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણાનો સાઈન $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\sin \theta = \left| \frac{3}{(5\sqrt{2})(3)} \right| = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{5\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(A) ધારો કે રેખાની દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. આપેલ છે કે રેખા $X$ અને $Y$-અક્ષ સાથે $\alpha = \frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $m = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + n^2 = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + n^2 = 1$ $\Rightarrow n^2 = \frac{1}{2}$.
આમ,$n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$Z$-અક્ષ સાથેના લઘુકોણ $\gamma$ માટે,$\cos \gamma = |n| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\gamma = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ છે.
જો $z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે ભિન્ન બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળતું હોય,તો આ બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(1, 1)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $z$ ના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$p(3) + q(0) = p(1) + q(1)$
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$

(D) આપેલ છે,$z=11x+7y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. $x+y=5$ અને $x+3y=9$ નું છેદબિંદુ સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મેળવી શકાય છે: $(x+3y)-(x+y) = 9-5 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$. $y=2$ ને $x+y=5$ માં મૂકતા $x=3$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $B$ એ $(3,2)$ છે.
$2$. $x+3y=9$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $(0,3)$ છે. તેથી,બિંદુ $A$ એ $(0,3)$ છે.
$3$. $x+y=5$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $(0,5)$ છે. તેથી,બિંદુ $C$ એ $(0,5)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર $z=11x+7y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$A(0,3)$ પર: $z = 11(0) + 7(3) = 21$.
$B(3,2)$ પર: $z = 11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$.
$C(0,5)$ પર: $z = 11(0) + 7(5) = 35$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $47$ છે,જે $(3,2)$ બિંદુએ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$n=10$.
એક પાસાને ફેંકતા એકી સંખ્યા મળે તેની સંભાવના,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
એકી સંખ્યા ન મળે તેની સંભાવના,$q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે એકી સંખ્યા ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે,જે $P(X \geq 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{10} = 1 \times 1 \times \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.