KCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया कथन $P(n):$ " $2^{2n}-1$ सभी $n \in N$ के लिए $k$ से विभाज्य है ".
हम $2^{2n}-1$ को $(2^2)^n - 1 = 4^n - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$4^n - 1 = (3+1)^n - 1$.
$(3+1)^n$ का प्रसार करने पर: $(3+1)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2}(3^2) + \dots + 3^n$.
अतः,$4^n - 1 = (1 + 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n) - 1 = 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n$.
यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $3$ से विभाज्य है।
अतः,$k$ का मान $3$ है।

(C) दी गई असमिका $|x+5| \geq 10$ है।
निरपेक्ष मान असमिका के गुणधर्म के अनुसार,$|u| \geq a$ का अर्थ है $u \leq -a$ या $u \geq a$।
अतः,$x+5 \leq -10$ या $x+5 \geq 10$।
पहले भाग को हल करने पर: $x \leq -10 - 5 \Rightarrow x \leq -15$।
दूसरे भाग को हल करने पर: $x \geq 10 - 5 \Rightarrow x \geq 5$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \in (-\infty, -15] \cup [5, \infty)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि,$\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{96}=a+ib$.
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
अब,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(-i)^{96} = a+ib$.
चूंकि $96$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-i)^{96} = i^{96}$.
$i^{96} = (i^4)^{24} = (1)^{24} = 1$.
अतः,$1 = a+ib$,जिसे $1+0i = a+ib$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$a=1$ और $b=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(a, b) = (1, 0)$.

(B) मान लीजिए कमरे में कुल व्यक्तियों की संख्या $n$ है।
हाथ मिलाने की कुल संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{2}$ द्वारा दी जाती है,क्योंकि एक हाथ मिलाना $2$ लोगों के बीच होता है।
दिया गया है,${}^{n}C_{2} = 45$.
सूत्र ${}^{n}C_{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
चूंकि व्यक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $n = 10$.

(D) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न हों,हम पहले $5$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $5$ लड़कियों को व्यवस्थित करने के तरीके $5! = 120$ हैं।
$5$ लड़कियों द्वारा $6$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनते हैं: $\_ G_1 \_ G_2 \_ G_3 \_ G_4 \_ G_5 \_$.
हमें इन $6$ स्थानों में से $3$ स्थानों का चयन करके $3$ लड़कों को बैठाना है। $6$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^{6}C_{3} = 20$ हैं।
इन $3$ चुने हुए स्थानों में $3$ लड़कों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5! \times ^{6}C_{3} \times 3! = 120 \times 20 \times 6 = 14400$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं और $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं।
चूंकि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $b-a = c-b = d$,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
इसका अर्थ है $b-c = -d$,$c-a = 2d$,और $a-b = -d$ है।
चूंकि $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
अब,व्यंजक $E = x^{b-c} \cdot y^{c-a} \cdot z^{a-b}$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$E = x^{-d} \cdot y^{2d} \cdot z^{-d}$ प्राप्त होता है।
$E = (xz)^{-d} \cdot (y^2)^d$।
चूंकि $xz = y^2$,इसलिए $E = (y^2)^{-d} \cdot (y^2)^d = (y^2)^0 = 1$।

(A) $(x^2 - x^{-2})^{16}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (x^2)^{16-r} (-x^{-2})^r$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-2r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-4r}$
अचर पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए:
$32 - 4r = 0 \implies 4r = 32 \implies r = 8$
$r = 8$ रखने पर:
$T_{8+1} = ^{16}C_{8} (-1)^8 x^{32-4(8)} = ^{16}C_{8} (1) (1) = ^{16}C_{8}$

(A) $ax + by + c = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $ax + by + k = 0$ के रूप में होता है।
दी गई रेखा $3x - 4y + 2 = 0$ है,इसलिए समांतर रेखा $3x - 4y + k = 0$ होगी।
चूंकि यह रेखा बिंदु $(-2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $x = -2$ और $y = 3$ रखने पर:
$3(-2) - 4(3) + k = 0$
$-6 - 12 + k = 0$
$-18 + k = 0$
$k = 18$
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $3x - 4y + 18 = 0$ है।

(D) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ है।
चूंकि उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है,इसलिए $2a(\sqrt{2}) = 16$,जिसका अर्थ है $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 32$ और $b^2 = 32$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = 32$ हो जाता है।

(D) हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x}$ दिया गया है।
इसका मान ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की जाँच करते हैं।
दाएँ पक्ष की सीमा $(x \rightarrow 0^{+})$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x} = 1$ है।
बाएँ पक्ष की सीमा $(x \rightarrow 0^{-})$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x}{x} = -1$ है।
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $\neq$ दाएँ पक्ष की सीमा,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(A) मान लीजिए $p$ कथन है: "$72$,$2$ और $3$ से विभाज्य है".
इसे $p = q \wedge r$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $q$ है "$72$,$2$ से विभाज्य है" और $r$ है "$72$,$3$ से विभाज्य है".
संयोजन का निषेध डी मॉर्गन के नियम द्वारा दिया जाता है: $\sim(q \wedge r) \equiv \sim q \vee \sim r$.
यहाँ,$\sim q$ है "$72$,$2$ से विभाज्य नहीं है" और $\sim r$ है "$72$,$3$ से विभाज्य नहीं है".
अतः,निषेध है "$72$,$2$ से विभाज्य नहीं है या $72$,$3$ से विभाज्य नहीं है".

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=64$ है।
इसे मानक रूप $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ से तुलना करने पर,त्रिज्या $r = \sqrt{64} = 8$ प्राप्त होती है।
वृत्त के अंतर्गत बने आयत का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब वह एक वर्ग हो।
इस वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,जो $d = 2r = 2 \times 8 = 16$ है।
मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^{2} + a^{2} = d^{2}$।
$2a^{2} = 16^{2} = 256$।
$a^{2} = 128$।
अतः,वर्ग का क्षेत्रफल $a^{2} = 128 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) दिया गया है: $P(A) = 0.5$ और $P(B) = 0.3$.
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$.
$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.3 - 0 = 0.8$ है।
न तो $A$ और न ही $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$ है।
अतः,$P(A' \cap B') = 1 - 0.8 = 0.2$.

(C) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें $7$ से अधिक योग प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$7$ से अधिक योग वाले परिणाम हैं:
योग $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12$: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए प्रायिकता का योग नियम इस प्रकार है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
भिन्न को दशमलव में बदलने पर:
$\frac{4}{5} = 0.8$

(A) बैटरी की कुल संख्या = $10$ है।
खराब बैटरी की संख्या = $4$ है।
हमें बिना प्रतिस्थापन के $3$ बैटरी चुननी हैं।
पहली बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{4}{10}$ है।
एक खराब बैटरी चुनने के बाद,शेष बैटरी की संख्या $9$ है और शेष खराब बैटरी की संख्या $3$ है।
दूसरी बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{3}{9}$ है।
दो खराब बैटरी चुनने के बाद,शेष बैटरी की संख्या $8$ है और शेष खराब बैटरी की संख्या $2$ है।
तीसरी बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{2}{8}$ है।
अतः,तीनों बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $xy + yz = 0$ है।
$y$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $y(x + z) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण तब संतुष्ट होता है यदि $y = 0$ या $x + z = 0$ हो।
$3D$ अंतरिक्ष में,$y = 0$ एक $xz$-समतल को दर्शाता है और $x + z = 0$ एक $y$-अक्ष से गुजरने वाले समतल को दर्शाता है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$ और $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$ हैं।
अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0$ है।
चूंकि अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए समतल लंबवत हैं।
अतः,यह बिंदु पथ लंबवत समतलों के एक युग्म को दर्शाता है।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+4 & -4-4 \\ -4-4 & 4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ -8 & 8 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
अब,$A^3$ की गणना करें:
$A^3 = A^2 \cdot A = (2^2 A) \cdot A = 2^2 A^2 = 2^2 (2^2 A) = 2^4 A$.
इस पैटर्न को देखने पर:
$A^1 = 2^0 A$
$A^2 = 2^2 A$
$A^3 = 2^4 A$
$A^4 = 2^6 A$
सामान्य रूप से,$A^n = 2^{2(n-1)} A$.
इसे $A^n = 2^k A$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2(n-1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$ है।
बाईं ओर आव्यूह का गुणा करने पर:
$\left[\begin{array}{c}1(x) + 1(y) \\ -1(x) + 1(y)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{c}x+y \\ -x+y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$x + y = 2$ (समीकरण $1$)
$-x + y = 4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (-x + y) = 2 + 4$
$2y = 6 \implies y = 3$
समीकरण $1$ में $y = 3$ रखने पर:
$x + 3 = 2 \implies x = -1$
अतः,$x = -1$ और $y = 3$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है कि $ A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $.
अतः $ A $ का परिवर्त आव्यूह $ A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $ है।
अब,गुणनफल $ A A^{\prime} $ की गणना करने पर:
$ A A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $
$ = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} $
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ का उपयोग करने पर:
$ = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I $.

(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है।
सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ के रूप के किसी भी पद के लिए,परिणाम $4(n^x)(n^{-x}) = 4(n^0) = 4$ होता है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार बनता है:
$C_1 = \begin{bmatrix} (5^x + 5^{-x})^2 - (5^x - 5^{-x})^2 \\ (6^x + 6^{-x})^2 - (6^x - 6^{-x})^2 \\ (7^x + 7^{-x})^2 - (7^x - 7^{-x})^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$.
अब सारणिक $\left|\begin{array}{ccc} 4 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$ है।
चूंकि पहले स्तंभ में समान अवयव $(4)$ हैं,हम सारणिक से $4$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$.
चूंकि स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $4 \times 0 = 0$ है।

(C) माना $ \Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a \\ b-c & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{array}\right| $.
स्तंभ संक्रिया $ C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2} $ लागू करने पर:
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a+b+c \\ b-c & c+a & a+b+c \\ c-a & a+b & a+b+c\end{array}\right| $
$ C_{3} $ से $ (a+b+c) $ उभयनिष्ठ लेने पर:
$ \Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & 1 \\ b-c & c+a & 1 \\ c-a & a+b & 1\end{array}\right| $
$ R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2} $ और $ R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{3} $ लागू करने पर:
$ \Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}a-2b+c & b-a & 0 \\ b-2c+a & c-b & 0 \\ c-a & a+b & 1\end{array}\right| $
$ C_{3} $ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$ \Delta = (a+b+c) [ (a-2b+c)(c-b) - (b-a)(b-2c+a) ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ (ac - ab - 2bc + 2b^{2} + c^{2} - bc) - (b^{2} - 2bc + ab - ab + 2ac - a^{2}) ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ ac - ab - 3bc + 2b^{2} + c^{2} - b^{2} + 2bc - 2ac + a^{2} ] $
$ \Delta = (a+b+c) [ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac ] $
$ \Delta = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc $.

(C) शीर्षों $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ और $(x_{3}, y_{3})$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{2} \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = k$
इसका अर्थ है कि $\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = 2k$ है।
अब,दिए गए सारणिक पर विचार करें:
$D = \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 4 \\ x_{2} & y_{2} & 4 \\ x_{3} & y_{3} & 4\end{array}\right|$
तीसरे स्तंभ से $4$ कॉमन लेने पर:
$D = 4 \left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right| = 4(2k) = 8k$।
अतः,सारणिक का वर्ग होगा:
$D^{2} = (8k)^{2} = 64k^{2}$।

(B) हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक का गुणधर्म $|kA| = k^n|A|$ होता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है और अदिश स्थिरांक $k = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$|5A| = 5^3 |A|$
$|5A| = 125|A|$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना $ \theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $. तब $ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} $.
हमें $ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) $ का मान ज्ञात करना है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} $.
$ \cos \theta $ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}} $.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$ \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)^2}{5-4}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2 $.
अतः,मान $ \sqrt{5}-2 $ है.

(B) दिया गया है कि,$\sin^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{2\pi}{5} \quad (1)$
हम जानते हैं कि मूलभूत सर्वसमिकाएँ: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ और $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ होती हैं।
इनसे,हम लिख सकते हैं कि $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$ और $\cos^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y$।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\pi - (\cos^{-1} x + \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{3\pi}{5}$

(C) दिए गए फलन $f(x) = |x| + x$ और $g(x) = |x| - x$ हैं।
$x < 0$ के लिए,हमारे पास $|x| = -x$ है।
अतः,$g(x) = -x - x = -2x$।
अब,हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।
$g(x) = -2x$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(-2x) = |-2x| + (-2x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x < 0$,इसलिए $-2x > 0$,जिसका अर्थ है $|-2x| = -2x$।
अतः,$f(-2x) = -2x - 2x = -4x$।

(A) दिया गया फलन:
$f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$
$f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद का अलग-अलग मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $f(-1)$ के लिए: चूँकि $-1 \leq 1$,हम तीसरी शर्त $f(x) = 3x$ का उपयोग करेंगे। अतः,$f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ के लिए: चूँकि $1 < 2 \leq 3$,हम दूसरी शर्त $f(x) = x^2$ का उपयोग करेंगे। अतः,$f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ के लिए: चूँकि $4 > 3$,हम पहली शर्त $f(x) = 2x$ का उपयोग करेंगे। अतः,$f(4) = 2(4) = 8$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(C) मान लीजिए कि $ A $ एक समुच्चय है जिसमें $ n = 6 $ अवयव हैं।
$ A $ से $ A $ तक के कुल फलनों की संख्या $ n^{n} = 6^{6} $ होती है।
एक फलन आच्छादक (bijection) होता है यदि वह एकैकी और आच्छादक दोनों हो। $ n $ अवयवों वाले एक परिमित समुच्चय $ A $ के लिए,$ A $ से $ A $ तक के आच्छादक फलनों की संख्या $ n ! = 6 ! $ होती है।
उन फलनों की संख्या जो आच्छादक नहीं हैं,कुल फलनों की संख्या में से आच्छादक फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।
अतः,अभीष्ट फलनों की संख्या $ 6^{6} - 6 ! $ है।

(B) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$x=0$ पर बायां सीमा $(LHL)$ और दायां सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।
सबसे पहले,$LHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$
अंश और हर को $(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})$ से गुणा करने पर:
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx) - (1-kx)}{x(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2k}{\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx}} = \frac{2k}{1+1} = k$.
अब,$RHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{2(0)+1}{0-1} = -1$.
चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $LHL$ = $RHL$ रखने पर:
$k = -1$.

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x=a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $f(x) = \frac{\log_{e} x}{x-1}$ जब $x \neq 1$ और $f(1) = k$ दिया गया है।
हमें $\lim_{x \to 1} \frac{\log_{e} x}{x-1}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम ला-हॉस्पिटल नियम ($L$'$H$ôpital's Rule) का उपयोग करेंगे:
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log_{e} x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
चूंकि फलन $x=1$ पर सतत है,इसलिए $k = \lim_{x \to 1} f(x) = 1$ होगा।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x - \frac{1}{x}$ है।
अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(x^{-1})$
$f^{\prime}(x) = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$.
अब,अवकलज में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(-1) = 1 + \frac{1}{(-1)^{2}}$
$f^{\prime}(-1) = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$.

(B) दिया गया समीकरण: $ \cos y = x \cos (a+y) $
हम $ x $ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $ x = \frac{\cos y}{\cos (a+y)} $
$ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर,भागफल नियम का उपयोग करते हुए: $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $
$ 1 = \frac{\cos (a+y) \cdot (-\sin y \frac{dy}{dx}) - \cos y \cdot (-\sin (a+y) \frac{dy}{dx})}{\cos^2 (a+y)} $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y) \cos y - \cos (a+y) \sin y}{\cos^2 (a+y)} \right] $
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ का उपयोग करने पर:
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y-y)}{\cos^2 (a+y)} \right] $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin a}{\cos^2 (a+y)} \right] $
अतः,$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a} $

(A) दिया गया फलन $f(x) = |\cos x - \sin x|$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ के निकट,$\cos x > \sin x$ होता है,इसलिए $f(x) = \cos x - \sin x$ होगा।
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\cos x - \sin x) = -\sin x - \cos x$.
अब $x = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ और $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$.

(D) दिया गया है,$ y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}} $
चूंकि वर्गमूल के नीचे का व्यंजक अनंत तक दोहराया जाता है,हम लिख सकते हैं:
$ y=\sqrt{x+y} $
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ y^{2}=x+y $
दोनों पक्षों का $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(x+y) $
$ 2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} $
$ \frac{dy}{dx} $ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$ 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 $
$ \frac{dy}{dx}(2y - 1) = 1 $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1} $

(A) माना घन की भुजा $x$ मीटर है।
घन का आयतन $V = x^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dV = 3x^{2} dx$।
दिया गया है कि भुजा में $3\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{dx}{x} \times 100 = 3$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{x} = 0.03$,या $dx = 0.03x$।
$dV$ के व्यंजक में $dx$ का मान रखने पर:
$dV = 3x^{2} (0.03x) = 0.09x^{3} \text{ m}^{3}$।
अतः,आयतन में अनुमानित परिवर्तन $0.09x^{3} \text{ m}^{3}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^{x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
अतः,$f'(x) = f(x)(\ln x + 1) = x^{x}(\ln x + 1)$.
स्टेशनरी बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x > 0$ के लिए $x^{x} > 0$ होता है,इसलिए $\ln x + 1 = 0$ रखने पर।
$\ln x = -1$.
अतः,$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।

(C) समाकलन $ I = \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ का मूल्यांकन करने के लिए:
अंश और हर को $ e^{-x} $ से गुणा करने पर:
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x})} d x $
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} d x $
माना $ u = e^{-x} + 1 $. तब $ du = -e^{-x} d x $,जिसका अर्थ है $ e^{-x} d x = -du $.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$ I = \int \frac{-du}{u} $
$ I = -\ln |u| + C $
$ I = -\ln |e^{-x} + 1| + C $
लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$ I = -\ln \left| \frac{1}{e^{x}} + 1 \right| + C $
$ I = -\ln \left| \frac{1+e^{x}}{e^{x}} \right| + C $
गुणधर्म $ -\ln(a/b) = \ln(b/a) $ का उपयोग करने पर:
$ I = \ln \left| \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \right| + C $
अतः,सही विकल्प $ C $ है।

(C) समाकलन $ I = \int \frac{1}{\sqrt{3-6 x-9 x^{2}}} d x $ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
$ 3-6 x-9 x^{2} = 3 - (9 x^{2} + 6 x) = 3 - ((3 x)^{2} + 2(3 x)(1) + 1^{2} - 1) = 3 - ((3 x+1)^{2} - 1) = 4 - (3 x+1)^{2} $.
अब,समाकलन $ I = \int \frac{1}{\sqrt{4-(3 x+1)^{2}}} d x $ बन जाता है।
मान लीजिए $ u = 3x+1 $,तो $ du = 3 dx $,जिसका अर्थ है $ dx = \frac{du}{3} $.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ I = \int \frac{1}{\sqrt{2^{2}-u^{2}}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2}-u^{2}}} du $ प्राप्त होता है।
मानक सूत्र $ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C $ का उपयोग करते हुए,हमें $ I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{u}{2}) + C $ प्राप्त होता है।
$ u = 3x+1 $ वापस रखने पर,हमें $ I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{3x+1}{2}) + C $ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x$.
चूंकि $\frac{1}{\sec x} = \cos x$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{\sin x} (\sin x + 1) \cos x \, dx$.
माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^u (u + 1) \, du$.
$I = \int (u e^u + e^u) \, du$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र $\int (f(u) + f'(u)) e^u \, du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(u) = u$ और $f'(u) = 1$ है:
$I = e^u \cdot u + C$.
$u = \sin x$ वापस रखने पर:
$I = \sin x \cdot e^{\sin x} + C$.

(A) माना $ I = \int_{0}^{1/2} \frac{dx}{(1+x^{2}) \sqrt{1-x^{2}}} $.
प्रतिस्थापन $ x = \sin \theta $ लेने पर,$ dx = \cos \theta d\theta $.
जब $ x = 0, \theta = 0 $. जब $ x = 1/2, \theta = \pi/6 $.
समाकलन $ I = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos \theta d\theta}{(1+\sin^{2} \theta) \sqrt{1-\sin^{2} \theta}} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos \theta d\theta}{(1+\sin^{2} \theta) \cos \theta} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{d\theta}{1+\sin^{2} \theta} $ हो जाता है।
अंश और हर को $ \cos^{2} \theta $ से विभाजित करने पर: $ I = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sec^{2} \theta d\theta}{\sec^{2} \theta + \tan^{2} \theta} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sec^{2} \theta d\theta}{1 + 2\tan^{2} \theta} $.
माना $ u = \sqrt{2} \tan \theta $,तब $ du = \sqrt{2} \sec^{2} \theta d\theta $,अर्थात $ \sec^{2} \theta d\theta = \frac{du}{\sqrt{2}} $.
सीमाएँ: $ \theta = 0 \implies u = 0 $; $ \theta = \pi/6 \implies u = \sqrt{2} \tan(\pi/6) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $.
अतः,$ I = \int_{0}^{\sqrt{2/3}} \frac{1}{1+u^{2}} \cdot \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\tan^{-1} u]_{0}^{\sqrt{2/3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}} $.

(B) समाकल $ I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} $ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $ e^{x} $ से गुणा करके समाकल्य को सरल बनाते हैं:
$ I = \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{2x}+1} dx $
माना $ u = e^{x} $. तब $ du = e^{x} dx $ होगा।
जब $ x = 0 $,तब $ u = e^{0} = 1 $.
जब $ x = 1 $,तब $ u = e^{1} = e $.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$ I = \int_{1}^{e} \frac{du}{u^{2}+1} $
$ \frac{1}{u^{2}+1} $ का समाकल $ \tan^{-1}(u) $ है।
निश्चित समाकल का मान प्राप्त करने पर:
$ I = [\tan^{-1}(u)]_{1}^{e} $
$ I = \tan^{-1}(e) - \tan^{-1}(1) $
चूंकि $ \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} $,इसलिए:
$ I = \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4} $

(A) माना $I = \int_{-2}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$. चूँकि $f(x) = |x \cos \pi x|$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$.
फलन $x \cos \pi x$ अंतराल $[0, 2]$ में $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{2}$ पर अपना चिह्न बदलता है।
अतः,$I = 2 \left[ \int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx - \int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx + \int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx \right]$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \cos \pi x \, dx = \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2}$.
समाकलन का मान निकालने पर:
$1$. $\int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}$.
$2$. $\int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{1/2}^{3/2} = -\frac{2}{\pi}$.
$3$. $\int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{3/2}^{2} = \frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.
इन मानों को रखने पर: $I = 2 [(\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}) - (-\frac{2}{\pi}) + (\frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2})] = 2 [\frac{4}{\pi}] = \frac{8}{\pi}$.

(C) $x = 0$ से $x = \pi$ तक वक्र $y = \cos x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx$
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\cos x \ge 0$ और $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$= [\sin x]_{0}^{\pi/2} + [-\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + (-(\sin(\pi) - \sin(\pi/2)))$
$= (1 - 0) + (-(0 - 1))$
$= 1 + 1 = 2 \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) वक्र $y=x$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=-1$ तथा $x=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,$y$ के निरपेक्ष मान का $x$ के सापेक्ष समाकलन है:
$Area = \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं क्योंकि फलन का चिह्न बदलता है:
$Area = \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{2} |x| \, dx$
चूंकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ है:
$Area = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
$Area = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$Area = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$Area = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sqrt[3]{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}$
घात ज्ञात करने के लिए,हमें करणी को हटाना होगा। समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$
अवकल समीकरण की कोटि उसमें मौजूद उच्चतम अवकलज होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,घात $3$ है और कोटि $2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = 3$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x \frac{dy}{dx} = y + 3$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\ln|y + 3| = \ln|x| + \ln|c|$ है,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $y + 3 = cx$ या $y = cx - 3$ प्राप्त होता है।
यह बिंदु $(0, -3)$ से गुजरने वाली सरल रेखाओं का एक परिवार है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण:
$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$
पदों को मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} + y(1 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$
यहाँ,$P = 1 - \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार दिया जाता है:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx}$
$I.F. = e^{x - \ln|x|} = e^{x} \cdot e^{-\ln|x|} = e^{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

(B) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
दिए गए सदिश $\vec{u} = a\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i}+b\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{w} = \hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}$ हैं।
समतलीयता की शर्त है:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0$
$abc - a - b - c + 2 = 0$
$abc - (a + b + c) = -2$

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\mu \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश लंबकोणीय हैं,उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\mu) + (\lambda)(1) + (2)(-1) = 0$
$\mu + \lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda + \mu = 2 \Rightarrow \mu = 2 - \lambda$ (समीकरण $1$)
दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}|$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$
$1^2 + \lambda^2 + 2^2 = \mu^2 + 1^2 + (-1)^2$
$1 + \lambda^2 + 4 = \mu^2 + 1 + 1$
$\lambda^2 + 3 = \mu^2$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में $\mu = 2 - \lambda$ रखने पर:
$\lambda^2 + 3 = (2 - \lambda)^2$
$\lambda^2 + 3 = 4 - 4\lambda + \lambda^2$
$3 = 4 - 4\lambda$
$4\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{4}$
अब,$\mu = 2 - \lambda$ का उपयोग करके $\mu$ ज्ञात करें:
$\mu = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
अतः,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{1}{4}, \frac{7}{4}\right)$।

(C) दिया गया है कि,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=144$ और $|\vec{a}|=4$ है।
हम सदिशों के लिए लैग्रेंज की सर्वसमिका जानते हैं:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$.
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$144 = (4)^{2} |\vec{b}|^{2}$.
$144 = 16 |\vec{b}|^{2}$.
$|\vec{b}|^{2} = \frac{144}{16} = 9$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $|\vec{b}| = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।
इसका अर्थ है कि $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,और $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ है।
हमें अदिश गुणनफल की गणना करनी है:
$(3\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) = 3\bar{a} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) + 2\bar{b} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b})$
$= 15(\bar{a} \cdot \bar{a}) - 18(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 12(\bar{b} \cdot \bar{b})$
$= 15|\bar{a}|^2 - 18(0) + 10(0) - 12|\bar{b}|^2$
$= 15(1)^2 - 12(1)^2$
$= 15 - 12 = 3$.

(A) माना दी गई रेखा $ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda $ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $ R $ को $ R(\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda) $ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $ P $ बिंदु $ (1,6,3) $ है। सदिश $ \vec{PR} $ का मान $ (\lambda-1, 2\lambda-5, 3\lambda-1) $ है।
चूंकि $ PR $ रेखा के लंबवत है जिसके दिक अनुपात $ (1,2,3) $ हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$ 1(\lambda-1) + 2(2\lambda-5) + 3(3\lambda-1) = 0 $
$ \lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 $
$ 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 $.
$ R $ में $ \lambda = 1 $ रखने पर,हमें $ R(1, 3, 5) $ प्राप्त होता है।
चूंकि $ R $,$ PQ $ का मध्य बिंदु है,जहाँ $ Q(x_1, y_1, z_1) $ बिंदु $ P $ का प्रतिबिंब है,
$ \frac{x_1+1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = 1 $
$ \frac{y_1+6}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 0 $
$ \frac{z_1+3}{2} = 5 \Rightarrow z_1 = 7 $.
अतः,प्रतिबिंब $ Q $ का मान $ (1,0,7) $ है।

(C) दी गई रेखाएँ $2x = 3y = -z$ और $6x = -y = -4z$ हैं।
सबसे पहले,हम समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा $2x = 3y = -z$ के लिए,$6$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ हैं।
दूसरी रेखा $6x = -y = -4z$ के लिए,$12$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ हैं।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके दिक सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(D) दी गई रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ है।
चूंकि रेखा समतल $2x-4y+z=7$ पर स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
रेखा पर एक बिंदु $(4, 2, k)$ है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $2x-4y+z=7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
इसके अतिरिक्त,रेखा का दिशा सदिश $(1, 1, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $(2, -4, 1)$ के लंबवत होना चाहिए।
डॉट प्रोडक्ट की जांच करने पर: $(1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ है।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,रेखा समतल के समानांतर है। बिंदु $(4, 2, 7)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए पूरी रेखा समतल पर स्थित है।

(A) सुसंगत क्षेत्र $(5, 5)$,$(0, 10)$,$(0, 20)$,और $(15, 15)$ शीर्षों वाला एक बहुभुज है।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z = 3x + 9y$ का मान ज्ञात करते हैं:
बिंदु $(5, 5)$ पर: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
बिंदु $(0, 10)$ पर: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
बिंदु $(0, 20)$ पर: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
बिंदु $(15, 15)$ पर: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का न्यूनतम मान $60$ है,जो बिंदु $(5, 5)$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया उद्देश्य फलन $z=x+4y$ और बाधाएं हैं:
$1) x+2y \leq 2$
$2) x+2y \geq 8$
$3) x, y \geq 0$
बाधाओं का विश्लेषण:
बाधा $(1)$ रेखा $x+2y=2$ के नीचे या उस पर के क्षेत्र को दर्शाती है,जो $(2,0)$ और $(0,1)$ से होकर गुजरती है। चूंकि $0+2(0) \leq 2$ सत्य है,इसलिए क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल है।
बाधा $(2)$ रेखा $x+2y=8$ के ऊपर या उस पर के क्षेत्र को दर्शाती है,जो $(8,0)$ और $(0,4)$ से होकर गुजरती है। चूंकि $0+2(0) \geq 8$ असत्य है,इसलिए क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल नहीं है।
बाधा $(3)$ हल को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करती है।
$(1)$ और $(2)$ द्वारा परिभाषित क्षेत्रों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $x+2y \leq 2$ और $x+2y \geq 8$ को संतुष्ट करने वाले क्षेत्र अलग-अलग हैं। ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$LPP$ का कोई सुसंगत हल नहीं है।

(A) कुल टिकटों की संख्या $ 17 $ है।
सम संख्या वाले टिकट $ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 $ हैं।
अतः,सम संख्या वाले टिकटों की कुल संख्या $ 8 $ है।
मान लीजिए $ E_1 $ पहली टिकट के सम होने की घटना है और $ E_2 $ दूसरी टिकट के सम होने की घटना है।
पहली टिकट के सम होने की प्रायिकता $ P(E_1) = \frac{8}{17} $ है।
चूंकि टिकट को वापस नहीं रखा जाता है,इसलिए शेष टिकटों की संख्या $ 16 $ है और शेष सम टिकटों की संख्या $ 7 $ है।
दूसरी टिकट के सम होने की सप्रतिबंध प्रायिकता $ P(E_2|E_1) = \frac{7}{16} $ है।
दोनों टिकटों के सम संख्या होने की प्रायिकता $ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{8}{17} \times \frac{7}{16} = \frac{7}{34} $ है।

(B) प्रायिकता वितरण का माध्य $(\mu) = \sum x_{i} P_{i}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu = (0 \times \frac{25}{36}) + (1 \times \frac{5}{18}) + (2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
प्रसरण $(\sigma^2) = \sum x_{i}^2 P_{i} - \mu^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\sum x_{i}^2 P_{i} = (0^2 \times \frac{25}{36}) + (1^2 \times \frac{5}{18}) + (2^2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{4}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
अब,$\sigma^2 = \frac{7}{18} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{7}{18} - \frac{1}{9} = \frac{7-2}{18} = \frac{5}{18}$.
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{5}{18}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}$.
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।