KCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પ્રથમ અસમતા માટે: $3x + 8 < 17$ $\Rightarrow 3x < 9$ $\Rightarrow x < 3$.
બીજી અસમતા માટે: $2x + 8 \geq 12$ $\Rightarrow 2x \geq 4$ $\Rightarrow x \geq 2$.
આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
સામાન્ય ઉકેલોનો ગણ એ $x < 3$ અને $x \geq 2$ નો છેદગણ છે,જે અંતરાલ $[2, 3)$ છે.
વિધાન $(II)$ માં ગણ $(2, 3)$ આપેલ છે,જેમાં $2$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(D) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણીય અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $Z_1$ અને $Z_2$ માટે,તેમના સરવાળાનું માન તેમના માનના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે,એટલે કે $\left|Z_1+Z_2\right| \leq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$.
તેથી,વિધાન $\left|Z_1+Z_2\right| \geq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$ સામાન્ય રીતે અસત્ય છે.

(B) ચાર અંકની સંખ્યા બેકી હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $2$ હોય. પુનરાવર્તન શક્ય ન હોવાથી,આપણે બે કિસ્સાઓ વિચારીએ:
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $0$ હોય.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(1, 2, 3)$ વડે $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $2$ હોય.
હજારના સ્થાન પર $0$ કે $2$ ન આવી શકે. તેથી,હજારનું સ્થાન $1$ અથવા $3$ વડે ($2$ રીતે) ભરી શકાય.
બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $2$ અંકો વડે $2! = 2$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ રીતો = $2 \times 2 = 4$ રીતો.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ = $6 + 4 = 10$.

(B) અષ્ટકોણમાં $n = 8$ બાજુઓ હોય છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
સૂત્રમાં $n = 8$ મૂકતા:
$\text{વિકર્ણોની સંખ્યા} = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
આમ,વિકર્ણોની સંખ્યા $20$ છે.

(B) ધારો કે $G$.$P$. નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G$.$P$. નું $n^{\text{th}}$ પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$x = T_4 = ar^3$
$y = T_{10} = ar^9$
$z = T_{16} = ar^{15}$
હવે,$xz$ નો ગુણાકાર ધ્યાનમાં લો:
$xz = (ar^3)(ar^{15}) = a^2r^{18} = (ar^9)^2$
કારણ કે $y = ar^9$,તેથી $xz = y^2$ મળે.
તેથી,$y = \sqrt{xz}$.

(C) $(a + b)^m$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $m + 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $(2x + 3)^{3n}$ માટે,પદોની સંખ્યા $(3n + 1)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પદોની સંખ્યા $22$ છે.
તેથી,$3n + 1 = 22$.
$3n = 21$.
$n = 7$.

(A) દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A$: $\cos 5 \pi = -1$ અને $\cos 4 \pi = 1$. કારણ કે $-1 \neq 1$,આ વિધાન ખોટું છે.
$B$: $\sin 2 \pi = 0$ અને $\sin (-2 \pi) = 0$. આ સાચું છે.
$C$: $\sin 4 \pi = 0$ અને $\sin 6 \pi = 0$. આ સાચું છે.
$D$: $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\tan (-315^{\circ}) = \tan (-315^{\circ} + 360^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$. આ સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos x + \cos^2 x = 1$.
તેથી,$\cos x = 1 - \cos^2 x$.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x = \cos x$ મળે.
હવે,આપણે $\sin^2 x + \sin^4 x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin^2 x = \cos x$ મૂકતા,$\sin^2 x + \sin^4 x = \cos x + (\cos x)^2$ મળે.
$\cos x + \cos^2 x = 1$ હોવાથી,જવાબ $1$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $-1 \leq \sin x \leq 1$ છે.
$f(x) = 1 - \sin x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $1$ માંથી $\sin x$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત બાદ કરવી પડશે.
કારણ કે $\sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી:
$f_{\min} = 1 - (\sin x)_{\max} = 1 - 1 = 0$.

(B) આપેલી રેખા $x + 6y = 5$ છે,જેને $y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{6}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{6}$ છે.
જરૂરી રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/6} = 6$.
$(-1, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 6$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - (-3) = 6(x - (-1))$
$y + 3 = 6(x + 1)$
$y + 3 = 6x + 6$
$6x - y = -3$.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકીએ છીએ:
$6x - 0 = -3$
$6x = -3$
$x = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2+3y^2=12$
$12$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું ઉપવલય છે,જ્યાં $a^2 = 12$ અને $b^2 = 4$.
તેથી,$a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ અને $b = 2$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈ $= \frac{2 \times 4}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ એકમ.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.
સીમા $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(x^4-\sqrt{x})}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-1)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{4x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} \left( \frac{4x^3}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} - \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} (8x^3\sqrt{x} - 1)$
$L = 8(1)^3\sqrt{1} - 1 = 8 - 1 = 7$.

(B) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક $(\mu)$ શોધો.
$\mu = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
પગલું $2$: મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $\frac{1}{N} \sum |x_i - \mu|$ નો ઉપયોગ કરો.
$|4-10| = 6, |7-10| = 3, |8-10| = 2, |9-10| = 1, |10-10| = 0, |12-10| = 2, |13-10| = 3, |17-10| = 7$.
નિરેપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $= 6+3+2+1+0+2+3+7 = 24$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{24}{8} = 3$.

(C) આપેલ છે $|A| = 3$ અને $|B| = 6$.
$A \cup B$ માટે,સૂત્ર $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ છે.
$|A \cup B|$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $|A \cap B|$ ને મહત્તમ કરવું પડશે. $|A \cap B|$ ની મહત્તમ કિંમત $\min(|A|, |B|) = 3$ છે.
તેથી,$\min |A \cup B| = 3 + 6 - 3 = 6$. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
$A \cap B$ માટે,મહત્તમ કિંમત $\min(|A|, |B|) = 3$ છે.
તેથી,$\max |A \cap B| = 3$. તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(A) પ્રથમ,આપણે દરેક ગણના ઘટકો નક્કી કરીએ:
$A = \{ x : x \text{ એ પૂર્ણાંક છે અને } x^2 - 9 = 0 \} = \{ -3, 3 \}$.
$B = \{ x : x \text{ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને } 2 \leq x < 5 \} = \{ 2, 3, 4 \}$.
$C = \{ x : x \text{ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા } \leq 4 \} = \{ 2, 3 \}$.
હવે,$(B - C)$ ની ગણતરી કરીએ:
$B - C = \{ 2, 3, 4 \} - \{ 2, 3 \} = \{ 4 \}$.
અંતે,$(B - C) \cup A$ ની ગણતરી કરીએ:
$(B - C) \cup A = \{ 4 \} \cup \{ -3, 3 \} = \{ -3, 3, 4 \}$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1. 4x + 6y = 5$
$2. 8x + 12y = 10$
પગલાવાર તપાસ:
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2(4x + 6y) = 2(5) \Rightarrow 8x + 12y = 10$
આ સમીકરણ $(2)$ જેવું જ છે.
નિષ્કર્ષ:
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી આ સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.

(D) $yz$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર તેના $x$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|x|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $P(-3, 4, 5)$ માટે,$x$-યામ $-3$ છે.
તેથી,$yz$-સમતલથી અંતર $|-3| = 3 \text{ એકમ}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બધા પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\frac{1}{6} + a + b + c + \frac{1}{12} = 1$.
$a + b + c = \frac{3}{4}$.
$12a + 12b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{1}{12}$.
તેથી $c = \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{3}$.

(B) પાસા પરની કુલ બાજુઓની સંખ્યા $2 + 3 + 1 = 6$ છે.
$1$ મેળવવાની સંભાવના $P(1) = \frac{2}{6}$ છે.
$3$ મેળવવાની સંભાવના $P(3) = \frac{1}{6}$ છે.
ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(1 \text{ or } 3) = P(1) + P(3) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $A \subset B$,જેનો અર્થ છે કે $A \cap B = A$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$A \cap B = A$ મૂકતા,આપણને $P(A \mid B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ મળે છે.
$A \subset B$ હોવાથી,$P(A) \leq P(B)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{P(B)} \leq \frac{1}{P(A)}$.
બંને બાજુ $P(A)$ વડે ગુણતા (ધારો કે $P(A) > 0$),આપણને $\frac{P(A)}{P(B)} \leq 1$ મળે છે.
વળી,$P(B) \leq 1$ હોવાથી,$\frac{P(A)}{P(B)} \geq P(A)$ થાય.
આમ,$P(A \mid B) \geq P(A)$.

(C) $A = \{a, b, c\}$ પરનો સામ્ય સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ. કારણ કે $(b, c) \in R$ અને $R$ સંમિત છે,તેથી $(c, b) \in R$. સ્વવાચકતા માટે,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$.
પરંપરિતતા માટે,$(b, c) \in R$ અને $(c, b) \in R$ હોવાથી,$(b, b) \in R$ અને $(c, c) \in R$ હોવું જોઈએ (જે સત્ય છે).
કિસ્સો $1$: જો $a$ માત્ર પોતાની સાથે જ સંબંધિત હોય,તો $R_1 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}$. આ એક સામ્ય સંબંધ છે.
કિસ્સો $2$: જો $a$ એ $b$ અને $c$ સાથે સંબંધિત હોય,તો સંમિતતા અને પરંપરિતતા દ્વારા,$a$ એ બધા ઘટકો સાથે સંબંધિત હોવો જોઈએ. $R_2 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)\}$. આ સાર્વત્રિક સંબંધ છે,જે સામ્ય સંબંધ પણ છે.
આમ,આવા $2$ સામ્ય સંબંધો શક્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $A^2=A$.
આપણે $(I-A)^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(I-A)^3 = I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3$.
કારણ કે $I^n = I$ અને $A^2 = A$ છે,તેથી $A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(I-A)^3 = I - 3A + 3A - A$.
$(I-A)^3 = I - A$.

(C) ગુણાકાર $AB$ એક એકમ શ્રેણિક $I$ બને તે માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $B$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ,અને પરિણામી શ્રેણિક $AB$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $3 \times 4$ છે,ધારો કે શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $m \times n$ છે.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $(n)$ એ $B$ માં હારની સંખ્યા $(3)$ જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$n = 3$.
પરિણામી શ્રેણિક $AB$ નો ક્રમ $m \times 4$ થશે.
કારણ કે $AB$ એક એકમ શ્રેણિક છે,તે ચોરસ શ્રેણિક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે હારની સંખ્યા સ્તંભોની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$m = 4$.
આમ,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $4 \times 3$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ ના ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2^1 A$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 6$ માટે,$A^6 = 2^{6-1} A = 2^5 A = 32 A$.
$A^6 = k A$ અને $A^6 = 32 A$ ની સરખામણી કરતા,$k = 32$ મળે છે.

(B) વિકર્ણ શ્રેણિક એ એક ચોરસ શ્રેણિક છે જેમાં મુખ્ય વિકર્ણ સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય છે. વિકર્ણના ઘટકો પોતે કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે છે,જેમાં શૂન્યનો પણ સમાવેશ થાય છે,પરંતુ તે બધા શૂન્ય હોવા જરૂરી નથી. તેથી,વિકર્ણ શ્રેણિકના તમામ વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ અને નિશ્ચાયક વચ્ચેનો સંબંધ $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n=2$ અને $|A|=2$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{2-1} = |A|^1 = 2$.
આપેલ છે કે $\operatorname{adj}(A) = B = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & \alpha\end{array}\right]$,આપણે $B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = (1)(\alpha) - (3)(1) = \alpha - 3$.
કારણ કે $|\operatorname{adj}(A)| = |B|$,તેથી $\alpha - 3 = 2$.
આમ,$\alpha = 2 + 3 = 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $A^2 - 5A + 7I = 0$.
$A^2 - 5A + 7I = 0$ હોવાથી,આપણને મળે $7I = 5A - A^2$.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા (ધારો કે $|A| \neq 0$):
$A^{-1}(A^2 - 5A + 7I) = A^{-1}(0)$.
$A^{-1}A^2 - 5A^{-1}A + 7A^{-1}I = 0$.
$A - 5I + 7A^{-1} = 0$.
$7A^{-1} = 5I - A$.
$A^{-1} = \frac{1}{7}(5I - A)$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (k \times k) - (2 \times 2) = k^2 - 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|A^n| = |A|^n$ છે.
આપેલ છે કે $|A^3| = 125$,તેથી આપણે તેને $|A|^3 = 125$ તરીકે લખી શકીએ.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા:
$(k^2 - 4)^3 = 125$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$k^2 - 4 = 5$.
$k^2 = 9$.
$k = \pm 3$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે અને $\operatorname{det}(A) = 3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ $k$ અને $n \times n$ શ્રેણિક $A$ માટે,$\operatorname{det}(kA) = k^n \operatorname{det}(A)$ થાય.
વળી,$\operatorname{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$ થાય.
તેથી,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 3^3 \operatorname{det}(A^{-1})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 27 \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)} = 27 \times \frac{1}{3} = 9$ મળે.

(D) ધારો કે $x = \cos \theta$,જ્યાં $\theta = \cos^{-1} x$. $x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$\theta \in [0, \pi]$ છે.
જમણી બાજુમાં $x = \cos \theta$ મૂકતા:
$\sin^{-1} (2 \cos \theta \sqrt{1 - \cos^2 \theta}) = \sin^{-1} (2 \cos \theta \sin \theta) = \sin^{-1} (\sin 2 \theta)$.
આ પદ $2 \cos^{-1} x = 2 \theta$ બરાબર થાય તે માટે,$\sin^{-1} (\sin 2 \theta) = 2 \theta$ હોવું જરૂરી છે.
આ શરત ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $2 \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,એટલે કે $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
અહીં $\theta \in [0, \pi]$ હોવાથી,છેદગણ $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ મળે.
$\theta = \cos^{-1} x$ હોવાથી,$0 \leq \cos^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા (અહીં કોસાઇન ઘટતું વિધેય હોવાથી અસમતા બદલાશે):
$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$,
જેથી $1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ અથવા $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ મળે.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અનુક્રમે $\theta = \tan ^{-1} 2$ અને $\theta = \cot ^{-1} 3$ મૂકતા:
$= (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + (\tan(\tan ^{-1} 2))^2) + (1 + (\cot(\cot ^{-1} 3))^2)$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x - 2)(x - 5)}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
$\Rightarrow (x - 2)(x - 5) > 0$
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = 5$ છે.
અંતરાલો $(-\infty, 2)$,$(2, 5)$,અને $(5, \infty)$ ચકાસતા:
$x < 2$ માટે,$(x - 2)(x - 5) > 0$.
$2 < x < 5$ માટે,$(x - 2)(x - 5) < 0$.
$x > 5$ માટે,$(x - 2)(x - 5) > 0$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin([\pi^2]x) - \sin([-\pi^2]x)$.
$\pi^2 \approx 9.869$ હોવાથી,$[\pi^2] = 9$.
$-\pi^2 \approx -9.869$ હોવાથી,$[-\pi^2] = -10$.
તેથી,$f(x) = \sin(9x) + \sin(10x)$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) f(0) = 0$ (સત્ય).
$B) f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{9\pi}{2}) + \sin(5\pi) = 1 + 0 = 1$ (સત્ય).
$C) f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{9\pi}{4}) + \sin(\frac{5\pi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$ (સત્ય).
$D) f(\pi) = \sin(9\pi) + \sin(10\pi) = 0$. તેથી $f(\pi) = -1$ એ અસત્ય છે.

(A) $[0, \frac{\pi}{2}]$ પર $f(x) = \sin x$ માટે,વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે.
$[0, \frac{\pi}{2}]$ પર $g(x) = \cos x$ માટે,વિધેય ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે.
આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
હવે,$(f+g)(x) = \sin x + \cos x$ ધ્યાનમાં લો.
અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય તપાસીએ:
$(f+g)(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$(f+g)(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$.
અહીં $(f+g)(0) = (f+g)(\frac{\pi}{2})$ છે પરંતુ $0 \neq \frac{\pi}{2}$,તેથી વિધેય $f+g$ એક-એક નથી.
આમ,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(C) $f(x) = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$. વિકલિત $f'(x) = 2|x|$ એ તમામ $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી તે $(-1, 1)$ માં વિકલનીય છે. આમ,$(a) \to (ii)$.
$(b)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$. $x=0$ આગળ,ડાબી બાજુનું વિકલિત $\lim_{h \to 0^-} \frac{\sqrt{-h}-0}{h} = -\infty$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $\infty$ છે. આમ,તે $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે $(-1, 1)$ માં આવેલું છે. આમ,$(b) \to (iv)$.
$(c)$ $f(x) = x+[x]$. આ વિધેય $(-1, 1)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે કારણ કે $x$ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે અને $[x]$ એ અ-ઘટતું વિધેય છે. આમ,$(c) \to (iii)$.
$(d)$ $f(x) = |x-1|+|x+1|$. $(-1, 1)$ માં,$f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$,જે એક અચળ વિધેય છે અને તેથી $(-1, 1)$ માં સતત છે. આમ,$(d) \to (i)$.
સાચી જોડ $a-(ii), b-(iv), c-(iii), d-(i)$ છે.

(B) $x=0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ.
$LHL$ માટે: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/(0-h)}-1}{e^{1/(0-h)}+1} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1}$. જેમ $h \to 0^+$,તેમ $e^{-1/h} \to 0$,તેથી $LHL$ $= \frac{0-1}{0+1} = -1$.
$RHL$ માટે: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1} = \lim_{h \to 0} \frac{1-e^{-1/h}}{1+e^{-1/h}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$.
અહીં $LHL$ $\neq$ $RHL$ હોવાથી,$x=0$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,વિધેય $x=0$ આગળ સતત નથી.

(C) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે સૌ પ્રથમ $x = 0$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^x + ax) = e^0 + a(0) = 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} b(x - 1)^2 = b(0 - 1)^2 = b$.
વિધેય સતત હોવાથી,$LHL = RHL$,તેથી $b = 1$.
હવે,વિકલનીયતા માટે,$x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$LHD = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^x + a) = e^0 + a = 1 + a$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2b(x - 1) = 2b(0 - 1) = -2b$.
$LHD$ અને $RHD$ ને સરખાવતા: $1 + a = -2b$.
$b = 1$ મૂકતા: $1 + a = -2(1) \Rightarrow 1 + a = -2 \Rightarrow a = -3$.
આમ,$a = -3$ અને $b = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $y = \frac{\cos x}{1+\sin x}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(-\sin x)(1+\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-(\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x)}{(1+\sin x)^2}$
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} = \frac{-1}{1+\sin x}$. આ વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.
હવે,ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{-1}{1+\sin x}$ ને સરળ બનાવતા:
$1+\sin x = 1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)} = -\frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$. આ વિકલ્પ $(c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $y=a \sin ^3 t$ અને $x=a \cos ^3 t$.
પ્રથમ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d y}{d t} = 3a \sin ^2 t \cos t$.
ત્યારબાદ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d x}{d t} = 3a \cos ^2 t (-\sin t) = -3a \cos ^2 t \sin t$.
હવે,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{3a \sin ^2 t \cos t}{-3a \cos ^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$.
$t = \frac{3 \pi}{4}$ માટે,$\frac{d y}{d x} = -\tan(\frac{3 \pi}{4}) = -(-1) = 1$.

(B) ધારો કે $u = \sin x$ અને $v = \log x$.
આપણે $v$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું વિકલન શોધવાનું છે,જે $\frac{du}{dv}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું વિકલન શોધો: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
ત્યારબાદ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $v$ નું વિકલન શોધો: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{du}{dv} = \frac{\cos x}{1/x} = x \cos x$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \tan x - x$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ મળે છે.
આમ,$f'(x) = \tan^2 x$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $\tan^2 x \geq 0$ થાય.
તેથી,$f'(x) \geq 0$,જે દર્શાવે છે કે વિધેય $f(x)$ હંમેશા વધતું વિધેય છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4+1)^{3/4}}$.
કૌંસમાંથી $x^4$ સામાન્ય લેતા: $I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot (x^4)^{3/4} (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$.
ધારો કે $t = 1 + \frac{1}{x^4} = 1 + x^{-4}$.
તેથી $dt = -4x^{-5} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{-5} dx = -\frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (1 + x^{-4})^{-3/4} (x^{-5} dx) = \int t^{-3/4} \left(-\frac{1}{4} dt\right) = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = -\frac{1}{4} \left(\frac{t^{1/4}}{1/4}\right) + c = -t^{1/4} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4} = \frac{x^4+1}{x^4}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\left(\frac{x^4+1}{x^4}\right)^{1/4} + c$.

(A) સંકલન $\int \frac{dx}{(x+1)(x+2)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$
$1 = A(x+2) + B(x+1)$
$x = -1$ લેતા,આપણને $A = 1$ મળે છે.
$x = -2$ લેતા,આપણને $B = -1$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{x+2} dx$
$= \log |x+1| - \log |x+2| + c$
$= \log \left| \frac{x+1}{x+2} \right| + c$

(D) ધારો કે $f(x) = \sin^5 x \cos^4 x$.
આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે ચકાસીએ.
$f(-x) = \sin^5(-x) \cos^4(-x) = (-\sin x)^5 (\cos x)^4 = -\sin^5 x \cos^4 x = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx = 0$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$.
$\theta = \frac{x}{2}$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} = |\cos \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{4}|$ મળે છે.
$x \in [0, 2\pi]$ હોવાથી,$\frac{x}{4} \in [0, \frac{\pi}{2}]$,જ્યાં $\sin \frac{x}{4}$ અને $\cos \frac{x}{4}$ બંને ધન છે.
તેથી,સંકલન $\int_0^{2\pi} (\cos \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{4}) dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $[4 \sin \frac{x}{4} - 4 \cos \frac{x}{4}]_0^{2\pi}$.
$= (4 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2}) - (4 \sin 0 - 4 \cos 0)$.
$= (4(1) - 4(0)) - (4(0) - 4(1)) = 4 - (-4) = 8$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) d x$
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{x}{1-x}\right) d x$
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^1 \left[ \log \left(\frac{1-x}{x}\right) + \log \left(\frac{x}{1-x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^1 \log \left( \frac{1-x}{x} \times \frac{x}{1-x} \right) d x$
$2I = \int_0^1 \log(1) d x$
કારણ કે $\log(1) = 0$,તેથી $2I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $I = 0$.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 3\pi$ સુધીના વિધેય $y = \sin \left(\frac{x}{3}\right)$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_0^{3 \pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(kx)$ નું સંકલન $-\frac{1}{k} \cos(kx)$ થાય છે. અહીં $k = \frac{1}{3}$ છે,તેથી સંકલન $-3 \cos \left(\frac{x}{3}\right)$ થશે.
$A = \left[ -3 \cos \left(\frac{x}{3}\right) \right]_0^{3 \pi}$
$A = -3 \left[ \cos \left(\frac{3 \pi}{3}\right) - \cos \left(\frac{0}{3}\right) \right]$
$A = -3 [ \cos(\pi) - \cos(0) ]$
કારણ કે $\cos(\pi) = -1$ અને $\cos(0) = 1$ છે:
$A = -3 [ -1 - 1 ] = -3 [ -2 ] = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્ર $y=x^2$ છે અને રેખા $y=16$ છે. છેદબિંદુઓ $x^2=16$ મૂકીને મેળવી શકાય છે,જે $x = \pm 4$ આપે છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = 2 \int_0^{16} x \, dy = 2 \int_0^{16} \sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^{16}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^{16}$
$A = \frac{4}{3} \left( 16^{3/2} - 0^{3/2} \right)$
$A = \frac{4}{3} \times (4^2)^{3/2} = \frac{4}{3} \times 4^3$
$A = \frac{4}{3} \times 64 = \frac{256}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+x^4=0$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં હાજર રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $a = 2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $b = 2$ છે.
તેથી,$a - b = 2 - 2 = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \sec x = \int \sec x \cdot \sec x dx + c$
$y \sec x = \int \sec^2 x dx + c$
$y \sec x = \tan x + c$.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{a} + \lambda\vec{b}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a} + \lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
પ્રથમ,$\vec{a} + \lambda\vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} + \lambda\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}$
હવે,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(1 + \lambda)(1) + (2 - \lambda)(1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$
$1 + \lambda + 2 - \lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$4 + 4\lambda = 0$
$4\lambda = -4$
$\lambda = -1$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $12 = 10 \times 2 \times \cos \theta$.
$12 = 20 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 10 \times 2 \times \frac{4}{5} = 20 \times \frac{4}{5} = 16$.

(A) વિધાન $(I)$ : બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $|\vec{a}|=0$ અથવા $|\vec{b}|=0$ હોય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \times |\vec{b}| \cos \theta = 0$ અથવા $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \times 0 \times \cos \theta = 0$ થાય. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$ : બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ હોય,તો $\sin \theta = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$. આનો અર્થ એ છે કે સદિશો સમાંતર અથવા સમરેખ છે,લંબ નથી. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(A) રેખાના દિક્કોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x, y, z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
અહીં,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = \theta$ છે.
દિક્કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે,તેથી $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 90^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$.
$(0)^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$0 + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{6}$ રેડિયન.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખા બિંદુ $P(0,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{a} = \frac{y-1}{b} = \frac{z-2}{c}$ છે.
આપેલ રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{-2}$ છે,જેના દિકગુણોત્તર $(2, 3, -2)$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2a + 3b - 2c = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: દિકગુણોત્તર $(3, 4, 3)$ છે.
$2(3) + 3(4) - 2(3) = 6 + 12 - 6 = 12 \neq 0$.
વિકલ્પ $B$ માટે: દિકગુણોત્તર $(-3, 4, 3)$ છે.
$2(-3) + 3(4) - 2(3) = -6 + 12 - 6 = 0$.
આમ,રેખા $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ એ આપેલ રેખાને લંબ છે.

(A) સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન $(LPP)$ માં વિધાન $(I)$ અને વિધાન $(II)$ બંને સાચા છે:
વિધાન $(I)$:
$LPP$ માં ઉદ્દેશ્ય વિધેય હંમેશા સુરેખ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $1$ ઘાત ધરાવતા ચલ સાથેના સુરેખ સમીકરણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
વિધાન $(II)$:
$LPP$ માં ચલને મર્યાદિત કરતી સુરેખ અસમતાઓને મર્યાદાઓ (constraints) કહેવામાં આવે છે.
સમજૂતી:
સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નમાં,તમે અમુક મર્યાદાઓ (સુરેખ અસમતાઓ) ને અનુસરીને ઉદ્દેશ્ય વિધેય (સુરેખ સમીકરણ) ને શ્રેષ્ઠ (મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ) બનાવવાનો પ્રયાસ કરો છો,જે ચલની સંભવિત કિંમતોને મર્યાદિત કરે છે.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x+4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x+y \leq 40$
$2$. $x+2y \leq 60$
$3$. $x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
- $x+y=40$ અને $x+2y=60$ નું છેદબિંદુ: બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું બાદ કરતાં $y=20$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=20$. બિંદુ: $(20, 20)$.
- $x+y=40$ નું $x$-અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ: બિંદુ $(40, 0)$.
- $x+2y=60$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ: બિંદુ $(0, 30)$.
- ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z=3x+4y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 0)$ પર: $z = 3(0) + 4(0) = 0$
- $(40, 0)$ પર: $z = 3(40) + 4(0) = 120$
- $(0, 30)$ પર: $z = 3(0) + 4(30) = 120$
- $(20, 20)$ પર: $z = 3(20) + 4(20) = 60 + 80 = 140$
આમ,મહત્તમ કિંમત $140$ છે જે બિંદુ $(20, 20)$ પર મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ન હોય તેવી ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) \neq 0$.
શરત $P(A \mid B) = P(B \mid A)$ આપેલ છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
કારણ કે $P(A \cap B) = P(B \cap A)$,અને $P(A \cap B) \neq 0$ હોવાથી બંને બાજુ $P(A \cap B)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)}$
તેથી,$P(A) = P(B)$ મળે છે.

(C) વિધાન $(I)$: જો $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર હોય,તો $P(E \cap F) = P(E)P(F)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $P(E^{\prime} \cap F^{\prime}) = P((E \cup F)^{\prime}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^{\prime})P(F^{\prime})$. આમ,$E^{\prime}$ અને $F^{\prime}$ સ્વતંત્ર છે. વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$: જો $E$ અને $F$ પરસ્પર નિવારક હોય,તો $P(E \cap F) = 0$. તેમના સ્વતંત્ર હોવા માટે,આપણે $P(E \cap F) = P(E)P(F)$ ની જરૂર છે. કારણ કે $P(E) > 0$ અને $P(F) > 0$,તેથી $P(E)P(F) > 0$. આમ,$P(E \cap F) \neq P(E)P(F)$,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સ્વતંત્ર હોઈ શકે નહીં. વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $A$ એ મીરા મંદિર $A$ ની મુલાકાત લે તે ઘટના છે અને $B$ એ મંદિર $B$ ની મુલાકાત લે તે ઘટના છે. ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે તે તેની મિત્રને મળે છે.
આપેલ છે:
$P(A) = \frac{2}{5}$
$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
$P(F|A) = \frac{1}{3}$
$P(F|B) = \frac{2}{7}$
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તે તેની મિત્રને મંદિર $B$ પર મળી,જે $P(B|F)$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B|F) = \frac{P(B) \times P(F|B)}{P(A) \times P(F|A) + P(B) \times P(F|B)}$
$P(B|F) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{3}{5} \times \frac{2}{7})}$
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{2}{15} + \frac{6}{35}}$
છેદ માટે સામાન્ય છેદ શોધતા: $15 = 3 \times 5$ અને $35 = 7 \times 5$,તેથી લ.સા.અ. $105$ છે.
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{14}{105} + \frac{18}{105}} = \frac{\frac{18}{105}}{\frac{14+18}{105}} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$