KCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ શ્રેણી $3+5+7+\ldots$ એ $n$ પદો સુધી છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5 - 3 = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
કિંમતો $a = 3$ અને $d = 2$ મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(3) + (n-1)2]$
$S_n = \frac{n}{2}[6 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 4]$
$S_n = n(n + 2)$

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=36$ અને $b^{2}=16$ મળે છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e=\sqrt{1-\frac{16}{36}}$.
$e=\sqrt{\frac{36-16}{36}}=\sqrt{\frac{20}{36}}$.
$e=\frac{\sqrt{20}}{6}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}$.

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos ^{2} A - \sin ^{2} B = \cos(A+B) \cdot \cos(A-B)$.
અહીં,$A = 45^{\circ}$ અને $B = 15^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos ^{2} 45^{\circ} - \sin ^{2} 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 15^{\circ}) \cdot \cos(45^{\circ} - 15^{\circ})$
$= \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(30^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(A) આપેલ છે કે,$ \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos 4 \theta}{1-\cos 6 \theta} $.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ 1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$ \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2(2 \theta)}{2 \sin^2(3 \theta)} = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin^2(2 \theta)}{\sin^2(3 \theta)} $.
અંશ અને છેદને અનુક્રમે $ (2 \theta)^2 $ અને $ (3 \theta)^2 $ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$ \lim _{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(2 \theta)}{2 \theta} \right)^2 \times \left( \frac{3 \theta}{\sin(3 \theta)} \right)^2 \times \frac{(2 \theta)^2}{(3 \theta)^2} $.
કારણ કે $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$ 1^2 \times 1^2 \times \frac{4 \theta^2}{9 \theta^2} = \frac{4}{9} $.

(D) આપેલ વિધાન "જો $P$,તો $Q$" સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P$ એ "$x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે" અને $Q$ એ "$x$ એકી સંખ્યા છે".
"જો $P$,તો $Q$" વિધાનનું પ્રતીપ વિધાન (contrapositive) "જો $\neg Q$,તો $\neg P$" તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\neg Q$ એ "$x$ એકી સંખ્યા નથી" અને $\neg P$ એ "$x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી".
તેથી,પ્રતીપ વિધાન "જો $x$ એકી સંખ્યા નથી,તો $x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી" થશે.

(A) $1$. રેખા બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. આ રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 4y = 20$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ઉપરની તરફ હોવાથી,અસમતા $5x + 4y \geq 20$ મળે છે.
$2$. પ્રદેશ જમણી બાજુએ શિરોલંબ રેખા $x = 6$ દ્વારા મર્યાદિત છે,અને છાયાંકિત ભાગ આ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$x \leq 6$ મળે છે.
$3$. પ્રદેશ ઉપરની બાજુએ સમક્ષિતિજ રેખા $y = 3$ દ્વારા મર્યાદિત છે,અને છાયાંકિત ભાગ આ રેખાની નીચેની તરફ હોવાથી,$y \leq 3$ મળે છે.
$4$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$5$. આ બધી શરતોને જોડતા,અસમતાઓનો સમૂહ $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે ${ }^{n} C_{12}={ }^{n} C_{8}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંચયના ગુણધર્મ મુજબ ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{k}$ હોય તો $r=k$ અથવા $n=r+k$ થાય.
અહીં,$r=12$ અને $k=8$ છે.
કારણ કે $12 \neq 8$,તેથી $n=12+8$ થાય.
આમ,$n=20$ મળે.

(C) આપેલ છે કે,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m} = 1$.
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરની પદાવલિને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+i)$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^{2}}{1^{2}-i^{2}} = \frac{1+i^{2}+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
હવે,સમીકરણ $i^{m} = 1$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i$ ની ઘાત એક ચક્ર અનુસરે છે:
$i^{1} = i$
$i^{2} = -1$
$i^{3} = -i$
$i^{4} = 1$
આમ,$m$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત જેના માટે $i^{m} = 1$ થાય તે $m = 4$ છે.

(A) $(x+a)^n$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+a)^n - (x-a)^n$ માટે,$a$ ની બેકી ઘાતવાળા પદો ઉડી જાય છે,અને માત્ર $a$ ની એકી ઘાતવાળા પદો બાકી રહે છે.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $(x+a)^n - (x-a)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $\frac{n+1}{2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 47$,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,પદોની સંખ્યા $\frac{47+1}{2} = \frac{48}{2} = 24$ થશે.

(A) વિચલન ગુણાંક $( CV )$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 $
જ્યાં $ \sigma $ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $ \bar{x} $ એ મધ્યક છે.
અહીં $ CV = 60 $ અને $ \sigma = 24 $ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$ 60 = \frac{24}{\bar{x}} \times 100 $
$ 60 = \frac{2400}{\bar{x}} $
$ \bar{x} = \frac{2400}{60} $
$ \bar{x} = 40 $
તેથી,મધ્યક $ 40 $ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $y = 3x - 1$.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 3$ મળે છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \cdot m_2 = -1$ ની શરતનું પાલન કરશે.
તેથી,$3 \cdot m_2 = -1$,જે આપણને $m_2 = -\frac{1}{3}$ આપે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ છે.
$(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $m = -\frac{1}{3}$ મૂકતા:
$(y - 2) = -\frac{1}{3}(x - 1)$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$3(y - 2) = -(x - 1) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $x + 3y - 7 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $B$ નો ઉપગણ છે,જેને $A \subset B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઉપગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$A$ નો દરેક ઘટક $B$ નો પણ ઘટક છે.
તેથી,$A$ અને $B$ નો યોગગણ $B$ થાય છે,એટલે કે $A \cup B = B$.
બંને બાજુ ઘટકોની સંખ્યા લેતા,આપણને $n(A \cup B) = n(B)$ મળે છે.
તે જ રીતે,$A$ અને $B$ નો છેદગણ $A$ થાય છે,એટલે કે $A \cap B = A$,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cap B) = n(A)$.

(A) આપેલ અસમતા $|x-2| \leq 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગુણધર્મ $|x| \leq a$ એ $-a \leq x \leq a$ ને સમાન છે.
આ ગુણધર્મને આપેલ અસમતા પર લાગુ કરતાં,આપણને $-1 \leq x-2 \leq 1$ મળે છે.
અસમતાના તમામ ભાગોમાં $2$ ઉમેરતા,આપણને $-1 + 2 \leq x \leq 1 + 2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 \leq x \leq 3$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in [1, 3]$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}\right)$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}\right)$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \pi/4$ અને $B = x$:
$y = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right) = \frac{\pi}{4} + x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 0 + 1 = 1$.

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(K, 0), (4, 0), (0, 2)$ છે અને $\text{Area} = 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{1}{2} |K(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$
$4 = \frac{1}{2} |-2K + 8|$
$8 = |-2K + 8|$
આનો અર્થ એ થાય કે:
$-2K + 8 = 8$ અથવા $-2K + 8 = -8$
કિસ્સો $1$: $-2K = 0 \Rightarrow K = 0$.
કિસ્સો $2$: $-2K = -16 \Rightarrow K = 8$.
આમ,$K$ ની કિંમત $0$ અથવા $8$ છે.

(C) આપેલ દ્વિતીય પ્રક્રિયા $a * b = \frac{a}{b+1}$ છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસતા:
$a * b = \frac{a}{b+1}$
$b * a = \frac{b}{a+1}$
અહીં $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા ક્રમનો નિયમ જાળવતી નથી.
જૂથનો નિયમ ચકાસતા:
$(a * b) * c = \left(\frac{a}{b+1}\right) * c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b}{c+1}\right) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
અહીં $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા જૂથનો નિયમ જાળવતી નથી.
તેથી,$*$ એ ન તો ક્રમનો નિયમ જાળવે છે કે ન તો જૂથનો નિયમ.

(A) આપેલ છે કે,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ અને $\tan y = \frac{2t}{1-t^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$x = \sin^{-1}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) = 2\tan^{-1}t$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2t}{1-t^2}\right) = 2\tan^{-1}t$.
આમ,$x = y$ થાય છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(X) = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.3 + k + 2k + 2k = 1$
$0.3 + 5k = 1$
$5k = 1 - 0.3$
$5k = 0.7$
$k = \frac{0.7}{5}$
$k = 0.14$

(A) વક્ર $y = \cos x$ દ્વારા $x = 0$ થી $x = \pi$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$
કારણ કે $x \in [0, \pi/2]$ માટે $\cos x \geq 0$ અને $x \in [\pi/2, \pi]$ માટે $\cos x \leq 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$Area = \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) dx$
$Area = [\sin x]_{0}^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$Area = (\sin(\pi/2) - \sin 0) - (\sin \pi - \sin(\pi/2))$
$Area = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,જો વિધેય $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય હોય,તો કોઈક $c \in (a, b)$ માટે $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = x^{2}$,$a = 2$,અને $b = 4$ છે.
$f(2) = 4$ અને $f(4) = 16$.
વિકલન $f'(x) = 2x$ છે.
સૂત્ર મુજબ,$2c = \frac{16 - 4}{4 - 2} = \frac{12}{2} = 6$.
તેથી,$c = 3$.

(B) ધારો કે $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} d x $.
અંશ અને છેદને $ \cos^{2} x $ વડે ભાગતા:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^{2} x}{a^{2} \tan^{2} x + b^{2}} d x $.
ધારો કે $ \tan x = t $,તેથી $ \sec^{2} x d x = d t $.
જ્યારે $ x = 0, t = 0 $ અને જ્યારે $ x = \frac{\pi}{2}, t \to \infty $.
$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{a^{2} t^{2} + b^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{t^{2} + (b/a)^{2}} $.
સૂત્ર $ \int \frac{d x}{x^{2} + k^{2}} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{(b/a)} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{t}{b/a} \right) \right]_{0}^{\infty} $.
$ I = \frac{1}{ab} \left( \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0) \right) = \frac{1}{ab} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2ab} $.

(C) સમતલ $2x - 3y + 6z - 11 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
$X$-અક્ષની દિશાનો સદિશ $\vec{d} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{|\vec{n}| |\vec{d}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{n} \cdot \vec{d} = (2)(1) + (-3)(0) + (6)(0) = 2$.
માન: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ અને $|\vec{d}| = 1$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{2}{7}$.
આપેલ છે કે $\theta = \sin^{-1}(\alpha)$,તેથી $\alpha = \frac{2}{7}$.

(B) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 4 \text{ cm}$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
સપાટીના ક્ષેત્રફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવનો દર:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
$r = 4 \text{ cm}$ માટે:
$\frac{dV}{dS} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}^3 \text{ cm}^{-2}$.

(C) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે,તેથી ડાબી બાજુનું લક્ષ ($L$.$H$.$L$.) અને જમણી બાજુનું લક્ષ ($R$.$H$.$L$.) સમાન હોવા જોઈએ.
$L$.$H$.$L$. = $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} Kx^2 = K(2)^2 = 4K$.
$R$.$H$.$L$. = $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} 3 = 3$.
વિધેય સતત હોવાથી,$4K = 3$.
તેથી,$K = \frac{3}{4}$.

(B) રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા $(LPP)$ માં,જો હેતુલક્ષી વિધેય શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના બે અલગ-અલગ શિરોબિંદુઓ પર સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે આ બે શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ તે જ શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. આ $LPP$ માં શક્ય ઉકેલોના બહિર્મુખ ગણનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
પ્રથમ શ્રેણિકને $2$ વડે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 2+y & 6+0 \\ 0+1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2+y & 6 \\ 1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
બંને શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2+y = 5 \Rightarrow y = 5-2 = 3$
$2x+2 = 8 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$
આમ,$x=3$ અને $y=3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 8x^3$ અને $g(x) = x^{1/3}$.
સંયોજિત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(f \circ g)(x) = f(x^{1/3}) = 8(x^{1/3})^3$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(x^{1/3})^3 = x^{(1/3) \times 3} = x^1 = x$ મળે છે.
તેથી,$(f \circ g)(x) = 8x$.

(B) સંમિત શ્રેણિક માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે: $A^{T} = A$ $(1)$
વિસંમિત શ્રેણિક માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે: $A^{T} = -A$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $A = -A$
બંને બાજુ $A$ ઉમેરતા: $2A = 0$
તેથી,$A = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sec^{-1} x$ એ સેકન્ટ વિધેયનું પ્રતિવિધેય છે,જેનો પ્રદેશ $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ પર મર્યાદિત છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\sec^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર એ $[0, \pi]$ અંતરાલ છે,જેમાં $\frac{\pi}{2}$ નો સમાવેશ થતો નથી,કારણ કે $\sec x$ એ $\frac{\pi}{2}$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,તેનો વિસ્તાર $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ છે.

(A) આપણે સંકલન $ I = \int_{-5}^{5} |x+2| \, dx $ ની કિંમત શોધવાની છે.
$|x+2| = -(x+2)$ જ્યારે $x < -2$ અને $|x+2| = (x+2)$ જ્યારે $x \ge -2$ હોવાથી,આપણે સંકલનને $x = -2$ આગળ વિભાજિત કરીશું:
$ I = \int_{-5}^{-2} -(x+2) \, dx + \int_{-2}^{5} (x+2) \, dx $
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય:
$ -\left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-5}^{-2} = -\left( (\frac{4}{2} - 4) - (\frac{25}{2} - 10) \right) = -\left( -2 - 2.5 \right) = 4.5 $
બીજા ભાગનું મૂલ્ય:
$ \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{5} = \left( (\frac{25}{2} + 10) - (\frac{4}{2} - 4) \right) = (12.5 + 10) - (-2) = 22.5 + 2 = 24.5 $
બંને ભાગનો સરવાળો:
$ I = 4.5 + 24.5 = 29 $

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ થાય.
આપણને સમીકરણ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}|^2 = 1, |\vec{b}|^2 = 1, |\vec{c}|^2 = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(A) આપેલ સંકલન $ I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\theta}{\cos x - \cos \theta} dx $ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$\cos 2x - \cos 2\theta = (2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \theta - 1) = 2\cos^2 x - 2\cos^2 \theta = 2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
તફાવતની રીત $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2(\cos x - \cos \theta)(\cos x + \cos \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
સમાન પદ $(\cos x - \cos \theta)$ ને છેદતા:
$I = 2 \int (\cos x + \cos \theta) dx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા ($\cos \theta$ અચળ છે):
$I = 2(\sin x + x \cos \theta) + C$.

(A) ધારો કે $y = \cos ^{-1}(2x^2 - 1)$ અને $z = \cos ^{-1} x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, 1]$ માટે $\cos ^{-1}(2x^2 - 1) = 2 \cos ^{-1} x$ થાય.
તેથી,$y = 2z$.
$y$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}(2z) = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} + 2x - 5$ છે.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોય તે માટે આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 5) = 2x + 2$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવા માટે શરત $f'(x) > 0$ છે.
$2x + 2 > 0$
$2x > -2$
$x > -1$.
આમ,વિધેય $(-1, \infty)$ અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે,$y = \log(\log x) \quad (1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x} \quad (2)$
હવે,સમીકરણ $(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા (ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}((x \log x)^{-1}) = -1(x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log x)^2} \cdot [x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1]$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1 + \log x}{(x \log x)^2}$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = 1$ $(y \neq 1)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 1 - y$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{1-y} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1-y} = \int dx$ મળે છે.
આથી,$-\log |1-y| = x + C$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $-\log |a| = \log |\frac{1}{a}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log \left|\frac{1}{1-y}\right| = x + C$ મળે છે.

(A) આપણે સંકલન $ I = \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિને પૂર્ણવર્ગમાં ફેરવતા: $ x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2} + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2} $.
હવે સંકલન $ I = \int \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} \, dx $ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $ \int \sqrt{t^{2}+a^{2}} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log \left|t + \sqrt{t^{2}+a^{2}}\right| + C $ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $ t = x+1 $ અને $ a = 2 $.
આ કિંમતો મૂકતા: $ I = \frac{x+1}{2} \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} + \frac{2^{2}}{2} \log \left|(x+1) + \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}}\right| + C $.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $ I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2x+5} + 2 \log \left|x+1 + \sqrt{x^{2}+2x+5}\right| + C $.
આમ,સાચો વિકલ્પ $ A $ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ હોવાથી):
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx}$
$= e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $x^2$ છે.

(B) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય છે જો અને માત્ર જો એક ઘટના બનવાથી બીજી ઘટનાની સંભાવના પર કોઈ અસર ન પડે.
જો $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય,તો તેમના પૂરક $A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ પણ સ્વતંત્ર હોય છે.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓની વ્યાખ્યા મુજબ,બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓના છેદની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P(A^{\prime}) \cdot P(B^{\prime})$.
કારણ કે $P(A^{\prime}) = 1 - P(A)$ અને $P(B^{\prime}) = 1 - P(B)$,તેથી આપણને $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = (1 - P(A))(1 - P(B))$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ એ સ્વતંત્રતા માટેની સાચી શરત છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અઋણ હોવી જોઈએ:
$9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3$.
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $x \in [-3, 3]$ છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $f(0) = \sqrt{9 - 0} = 3$.
જ્યારે $x = \pm 3$ હોય,ત્યારે $f(\pm 3) = \sqrt{9 - 9} = 0$.
વર્ગમૂળ વિધેય હંમેશા અઋણ કિંમતો આપે છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $0$ અને મહત્તમ કિંમત $3$ છે.
તેથી,વિધેયનો વિસ્તાર $[0, 3]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $ \Delta = \begin{vmatrix} Ax & x^2 & 1 \\ By & y^2 & 1 \\ Cz & z^2 & 1 \end{vmatrix} $.
$ R_1, R_2, R_3 $ માંથી અનુક્રમે $ x, y, z $ સામાન્ય લેતા:
$ \Delta = xyz \begin{vmatrix} A & x & \frac{1}{x} \\ B & y & \frac{1}{y} \\ C & z & \frac{1}{z} \end{vmatrix} $.
$ C_3 $ ને $ xyz $ વડે ગુણતા:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & x & yz \\ B & y & zx \\ C & z & xy \end{vmatrix} $.
નિશ્ચાયકનો પરિવર્તિત (transpose) લેતા:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & B & C \\ x & y & z \\ yz & zx & xy \end{vmatrix} = \Delta_1 $.
તેથી,$ \Delta_1 = \Delta $.

(A) આપણને આપેલ છે કે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{4 \pi}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x$ અને $\tan ^{-1} y=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x) + (\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\pi - (\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \pi - \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \frac{\pi}{5}$.

(A) આપેલ બિંદુના યામ $P(x, y, z) = (6, 7, 8)$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ નું $XY$-સમતલથી લંબ અંતર તેના $z$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે $|z|$ છે.
અહીં,$z$-યામ $8$ છે.
તેથી,$XY$-સમતલથી લંબ અંતર $|8| = 8$ થાય.

(B) ધારો કે $ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $.
ગુણધર્મ $ \int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)}{\cot ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)+\tan ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)} d x $.
કારણ કે $ \tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x $ અને $ \cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x $,તેથી:
$ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cot ^{7} x}{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x} d x $.
$ I $ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$ 2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7} x + \cot ^{7} x}{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x} d x = \int_{0}^{\pi / 2} 1 d x $.
$ 2I = [x]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} $.
તેથી,$ I = \frac{\pi}{4} $.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$
$2 + 2\lambda + 3 = 0$
$5 + 2\lambda = 0$
$2\lambda = -5$
$\lambda = -\frac{5}{2}$

(B) વક્ર $y=x^2$ છે અને રેખા $y=16$ છે. છેદબિંદુઓ $x^2=16$ મૂકીને મેળવી શકાય છે,જે $x = \pm 4$ આપે છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = 2 \int_0^{16} x \, dy = 2 \int_0^{16} \sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^{16}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^{16}$
$A = \frac{4}{3} \left( 16^{3/2} - 0^{3/2} \right)$
$A = \frac{4}{3} \times (4^2)^{3/2} = \frac{4}{3} \times 4^3$
$A = \frac{4}{3} \times 64 = \frac{256}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(C) આપેલ છે કે,ખામીયુક્ત પેન પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
તેથી,ખામી રહિત પેન પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ છે.
પેન બદલી સાથે લેવામાં આવતી હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ પ્રયત્નો છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક પેન ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = \left(\frac{9}{10}\right)^{5}$.
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$.
તેથી,$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^{5} + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$.

(D) $XY$-સમતલમાં કોઈ બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ લેતી વખતે,$z$-યામની નિશાની બદલાય છે,જ્યારે $x$ અને $y$ યામ સમાન રહે છે.
તેથી,$XY$-સમતલમાં બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, -\gamma)$ થશે.

(C) આપેલ છે કે,શ્રેણિક $A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|KA| = K^{n}|A|$ છે.
અહીં,શ્રેણિકની કક્ષા $n = 3$ છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને $|KA| = K^{3}|A|$ મળે છે.

(D) આપેલ શ્રેણિકો $ A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ અને $ B = \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ છે.
$ A $ માંથી $ B $ બાદ કરતા:
$ A - B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\pi x) + \cos^{-1}(\pi x) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $.
પ્રમાણિત નિત્યસમ $ \sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ અને $ \tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ નો ઉપયોગ કરતા,પદોનું સાદું રૂપ આપતા આપણને $ \frac{1}{2} I $ મળે છે,જ્યાં $ I $ એ એકમ શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{2}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતને ઓળખીએ છીએ.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનો વિકલિત $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,જેનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતનો ઘાતાંક.
આપેલ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ નો ઘાતાંક $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{2} = x$ $(1)$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળ $m = \tan(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
અહીં,$\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$m = \frac{dy}{dx} = 1$ મૂકતા:
$2y(1) = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
હવે $y = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\frac{1}{2})^{2} = x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$y = \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિકલન એ દરેક હારનું વારાફરતી વિકલન કરીને અને બાકીની હારને અચળ રાખીને મેળવેલા નિશ્ચાયકોનો સરવાળો છે.
$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ 0 & 0 & 0 \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|$.
કારણ કે જે નિશ્ચાયકમાં કોઈ એક હારના તમામ ઘટકો $0$ હોય,તે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે,તેથી બીજો અને ત્રીજો નિશ્ચાયક શૂન્ય થઈ જશે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.

(B) આપણને નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx$ આપેલ છે,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.
આપણે અંતરાલ $[0.2, 3.5]$ ને તે બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય તેની કિંમત બદલે છે:
$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = \int_{0.2}^{1} [x] \, dx + \int_{1}^{2} [x] \, dx + \int_{2}^{3} [x] \, dx + \int_{3}^{3.5} [x] \, dx$
કારણ કે $x \in [0.2, 1)$ માટે $[x] = 0$,$x \in [1, 2)$ માટે $[x] = 1$,$x \in [2, 3)$ માટે $[x] = 2$,અને $x \in [3, 3.5]$ માટે $[x] = 3$ છે,તેથી:
$= \int_{0.2}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{3.5} 3 \, dx$
$= 0 + [x]_{1}^{2} + 2[x]_{2}^{3} + 3[x]_{3}^{3.5}$
$= 0 + (2 - 1) + 2(3 - 2) + 3(3.5 - 3)$
$= 0 + 1 + 2(1) + 3(0.5)$
$= 1 + 2 + 1.5 = 4.5$

(C) આપણને સંકલન $ I = \int \frac{(x+3) e^{x}}{(x+4)^{2}} d x $ આપેલ છે.
આને ઉકેલવા માટે,અંશને $(x+4-1)$ તરીકે લખીએ:
$ I = \int e^{x} \frac{(x+4-1)}{(x+4)^{2}} d x $.
અપૂર્ણાંકને અલગ પાડતા,આપણને મળે છે:
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{x+4}{(x+4)^{2}} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર:
$ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) d x = e^{x} f(x) + C $.
અહીં,ધારો કે $ f(x) = \frac{1}{x+4} $.
તેથી,$ f'(x) = -\frac{1}{(x+4)^{2}} $.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$ I = e^{x} \left( \frac{1}{x+4} \right) + C = \frac{e^{x}}{x+4} + C $.

(D) ધારો કે $ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{e^{\sin x}+1} $.
ગુણધર્મ $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{1}{e^{\sin(-x)}+1} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{1}{e^{-\sin x}+1} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
આપણને આપેલ છે કે $\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}$ પણ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}|^2 = 1^2$.
ગુણધર્મ $|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ મૂકતા:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$.
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે,$f: R \rightarrow R$ અને $f(x)=x^{4}$.
$f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_{1}) = f(x_{2})$ પરથી $x_{1} = x_{2}$ મળવું જોઈએ.
અહીં,$x_{1}^{4} = x_{2}^{4} \Rightarrow x_{1} = \pm x_{2}$.
ઉદાહરણ તરીકે,$f(1) = 1^{4} = 1$ અને $f(-1) = (-1)^{4} = 1$.
કારણ કે $f(1) = f(-1)$ પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી $f$ એક-એક નથી.
$f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો હોવો જોઈએ.
બધા $x \in R$ માટે $x^{4} \geq 0$ હોવાથી,વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે.
વિસ્તાર $[0, \infty) \neq R$ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) આપેલ રેખા: $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ $(1)$
બિંદુ $P(-2, 4, -5)$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3\lambda - 3, 5\lambda + 4, 6\lambda - 8)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(3\lambda - 3 - (-2), 5\lambda + 4 - 4, 6\lambda - 8 - (-5)) = (3\lambda - 1, 5\lambda, 6\lambda - 3)$ છે.
કારણ કે $PQ$ એ આપેલ રેખા (જેના દિક્-ગુણોત્તર $(3, 5, 6)$ છે) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda - 1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda - 3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ ને $Q$ માં મૂકતા,$Q\left(-\frac{21}{10}, \frac{55}{10}, -\frac{62}{10}\right)$ મળે.
અંતર $PQ = \sqrt{(-\frac{21}{10} + 2)^2 + (\frac{55}{10} - 4)^2 + (-\frac{62}{10} + 5)^2}$
$PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1 + 225 + 144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{cc}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(3 \times 1) - (x \times x) = (3 \times 1) - (2 \times 4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \pm \sqrt{8}$
$x = \pm 2 \sqrt{2}$