KCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આધાર $b > 1$ ધરાવતા લઘુગણક વિધેય $f(x) = \log_{b}(x)$ માટે:
$1$. પ્રદેશ $(0, \infty)$ છે,જે તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $R^{+}$ નો ગણ છે.
$2$. વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $R$ નો ગણ છે.
$3$. કારણ કે કોઈપણ આધાર $b > 0, b \neq 1$ માટે $\log_{b}(1) = 0$ થાય છે,તેથી બિંદુ $(1, 0)$ હંમેશા આલેખ પર હોય છે.
$4$. કારણ કે $b > 1$ છે,વિધેય ચુસ્તપણે વધતું વિધેય છે,ઘટતું નથી.
તેથી,સાચું અવલોકન એ છે કે બિંદુ $(1, 0)$ હંમેશા લઘુગણક વિધેયના આલેખ પર હોય છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$.
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1-2i \sin \alpha)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{(1+2i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}$
$z = \frac{1 - 2i \sin \alpha - i \sin \alpha + 2i^2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{1 - 3i \sin \alpha - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} - i \frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે કાલ્પનિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ:
$-\frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = 0$
$\Rightarrow 3 \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \alpha = n \pi, n \in N$.

(A) આપણે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r+1}={ }^{n+1} C_{r+1}$.
આપેલ પદાવલિ: ${ }^{49} C_3+{ }^{48} C_3+{ }^{47} C_3+{ }^{46} C_3+{ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4$.
પગલું $1$: ${ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4 = { }^{46} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $2$: ${ }^{46} C_3+{ }^{46} C_4 = { }^{47} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $3$: ${ }^{47} C_3+{ }^{47} C_4 = { }^{48} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $4$: ${ }^{48} C_3+{ }^{48} C_4 = { }^{49} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $5$: ${ }^{49} C_3+{ }^{49} C_4 = { }^{50} C_4$ ને જોડતા.
આમ,અંતિમ કિંમત ${ }^{50} C_4$ છે.

(B) $GP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ છે.
તે જ રીતે,$2n$ પદોનો સરવાળો $S_{2n} = \frac{a(1 - r^{2n})}{1 - r}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \times \frac{1 - r}{a(1 - r^{2n})}$.
નિત્યસમ $1 - r^{2n} = (1 - r^n)(1 + r^n)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1 - r^n}{(1 - r^n)(1 + r^n)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1}{1 + r^n}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $a$ અને $b$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
તો,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-(a+b)x+ab=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ....$(i)$
આપેલ છે કે $AM = 5$ અને $GM = 4$.
તેથી,$\frac{a+b}{2} = 5 \Rightarrow a+b = 10$.
અને $\sqrt{ab} = 4 \Rightarrow ab = 16$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x^2-10x+16=0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-10x+16=0$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
તેથી,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=1}^{n} r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ છે.
કિંમત મૂકતા: $S = \sum_{r=1}^{n} r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{n} (n-r+1)$.
સરવાળો કરતા: $S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$.
આ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય છે.

(C) $\triangle ABC$ માં,$C$ કાટખૂણો છે,ખૂણા $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓ અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{a}{b}$
$\tan B = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{b}{a}$
$\tan A + \tan B = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$= \frac{a^2 + b^2}{ab}$
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = c^2$.
તેથી,$\tan A + \tan B = \frac{c^2}{ab}$.

(C) રેખા $x+y=3$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
બિંદુઓ $(1,1)$ અને $(-3,4)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{4-1}{-3-1} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - (-1)}{1 + (-1)(-\frac{3}{4})} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 + \frac{3}{4}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} \right| = \frac{1}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપેલ છે કે બંને વર્તુળો માટે ચાપની લંબાઈ $l$ સમાન છે.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = r \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ રેડિયનમાં છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,$l = r_1 \times (30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_1 \times \frac{\pi}{6}$.
બીજા વર્તુળ માટે,$l = r_2 \times (78^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$.
ચાપની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$r_1 \times \frac{\pi}{6} = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,$\frac{r_1}{6} = \frac{13r_2}{30}$ મળે.
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{13 \times 6}{30} = \frac{13}{5}$.

(A) પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (6, 0)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 6$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -a$ છે,જે $x = -6$ છે.
નાભિ $x$-અક્ષ પર હોવાથી અને નિયામિકા શિરોલંબ રેખા હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપનું છે.
$a = 6$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4(6)x$ મળે છે.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 24x$ છે.

(C) આપેલ લક્ષ: $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$
$x = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા,આપણને $\frac{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}})-1}{1-1} = \frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L'\text{Hospital rule}$ લાગુ પાડતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \sqrt{2} \sin x \sin^2 x = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \sqrt{2} \sin^3 x$
$L = \sqrt{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \sqrt{2} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

(C) "દરેક" (universal quantifier) ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ કરવા માટે,તેને "ઓછામાં ઓછી એક" (existential quantifier) વડે બદલવામાં આવે છે અને વિધાનના ગુણધર્મનો નિષેધ કરવામાં આવે છે.
આપેલ વિધાન: "દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x^2+5$ ધન છે".
તેનો નિષેધ: "ઓછામાં ઓછી એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $x^2+5$ ધન નથી".

(D) આપેલ અવલોકનો $a, b, c, d, e$ છે જેનો મધ્યક $m$ અને પ્રમાણિત વિચલન $S$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $S = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં અચળ $k$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા અવલોકનો $x_i' = x_i + k$ બને છે.
નવો મધ્યક $m' = \frac{\sum (x_i + k)}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + k = m + k$ થાય છે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $S' = \sqrt{\frac{\sum (x_i' - m')^2}{n}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S' = \sqrt{\frac{\sum ((x_i + k) - (m + k))^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$.
આમ,$S' = S$.
દરેક અવલોકનમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી પ્રમાણિત વિચલનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) ધારો કે ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ માં $n$ ઘટકો છે.
ગણ $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે અને ગણ $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
રકમ મુજબ,$2^m - 2^n = 56$.
આને $2^n(2^{m-n} - 1) = 56$ તરીકે લખી શકાય.
$56$ ના અવયવો પાડતા,$56 = 8 \times 7 = 2^3 \times (2^3 - 1)$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 2^3(2^3 - 1)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 3$ અને $m - n = 3$ મળે છે.
$m - n = 3$ માં $n = 3$ મૂકતા,$m - 3 = 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m = 6$.
આમ,$m$ અને $n$ ની કિંમતો અનુક્રમે $6$ અને $3$ છે.

(C) $17$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 17$ લઈએ:
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
તેથી,$17$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $\{4, -4\}$ છે.
$-3$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = -3$ લઈએ:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી કે જેના માટે $f(x) = -3$ થાય.
આમ,$-3$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $\phi$ (ખાલી ગણ) છે.
તેથી,પૂર્વ-પ્રતિબિંબો $\{4, -4\}$ અને $\phi$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $[x]^2-5[x]+6=0$ છે.
ધારો કે $[x] = y$,તો સમીકરણ $y^2-5y+6=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y-3)(y-2)=0$.
તેથી,$[x]=2$ અથવા $[x]=3$.
જો $[x]=2$ હોય,તો $2 \le x < 3$,જેનો અર્થ છે $x \in [2, 3)$.
જો $[x]=3$ હોય,તો $3 \le x < 4$,જેનો અર્થ છે $x \in [3, 4)$.
આ બંને અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x \ cm$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લંબાઈ $5x \ cm$ થશે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = 2(5x + x) = 2(6x) = 12x$.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ પરિમિતિ $180 \ cm$ છે,તેથી $P \geq 180$.
તેથી,$12x \geq 180$.
બંને બાજુ $12$ વડે ભાગતા,આપણને $x \geq 15$ મળે છે.
અહીં $x$ એ પહોળાઈ દર્શાવે છે,તેથી પહોળાઈ ઓછામાં ઓછી $15 \ cm$ હોવી જોઈએ.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
તેથી,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
દરેક $x \in R$ માટે $e^{x-x^2} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $(2x+1)(1-x)$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે $(2x+1)(1-x) > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{1}{2} < x < 1$.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ માં વધતું વિધેય છે.

(D) ધારો કે $\theta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$. તેથી $\cot \theta = \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$.
પાયો $\sqrt{2+x}$ અને વેધ $\sqrt{2-x}$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કર્ણ $\sqrt{(\sqrt{2+x})^2 + (\sqrt{2-x})^2} = \sqrt{2+x+2-x} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
આમ,$\cos \theta = \frac{\text{પાયો}}{\text{કર્ણ}} = \frac{\sqrt{2+x}}{2}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{d}{d x}\left[\cos ^2 \theta\right] = \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{\sqrt{2+x}}{2}\right)^2\right]$ બને છે.
$= \frac{d}{d x}\left(\frac{2+x}{4}\right) = \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{4}\right) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f(y)$.
$x=0, y=5$ મુકતા,આપણને $f(5)=f(0)f(5)$ મળે છે.
$f(5)=3 \neq 0$ હોવાથી,$f(0)=1$ થાય.
હવે,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h)-f(5)}{h}$.
આપેલ વિધેય મુજબ,$f(5+h)=f(5)f(h)$.
તેથી,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5)f(h)-f(5)}{h} = f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
$f(0)=1$ હોવાથી,આ $f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f(5)f^{\prime}(0)$ થાય.
કિંમતો મુકતા,$f^{\prime}(5) = 3 \times 2 = 6$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{n}{n^2+r^2}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{1+(r/n)^2}\right)$ મળે છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{kn} \frac{1}{n} f(r/n) = \int_0^k f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ અને $k = 2$ છે.
તેથી,સંકલન $\int_0^2 \frac{1}{1+x^2} dx$ થશે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$[\tan ^{-1}(x)]_0^2 = \tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(0) = \tan ^{-1}(2)$ મળે છે.

(C) $(3, 2)$ નો સામ્ય વર્ગ એવી તમામ જોડીઓ $(x, y) \in A \times A$ ધરાવે છે કે જેથી $(x, y) R (3, 2)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $2x = 3y$,અથવા $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$.
કારણ કે $x, y \in \{2, 3, \ldots, 18\}$,આપણે $(3, 2)$ ના એવા ગુણકો શોધીએ છીએ કે જેમાં બંને ઘટકો $\le 18$ હોય:
$(x, y) = (3, 2)$
$(x, y) = (6, 4)$
$(x, y) = (9, 6)$
$(x, y) = (12, 8)$
$(x, y) = (15, 10)$
$(x, y) = (18, 12)$
આ ગણતરી કરતા,આપણને $6$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = A$.
આપણે $(I+A)^3$ નું વિસ્તરણ દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(I+A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$ નો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
કારણ કે $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે,તેથી $I^n = I$ અને $IA = AI = A$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$.
કારણ કે $A^2 = A$,તેથી $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ થાય.
હવે $A^2 = A$ અને $A^3 = A$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3(A) + A$.
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A + A$.
$(I+A)^3 = I + 7A$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 2A$.
હવે,$A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 4A = 2^2 A$.
આ પેટર્નનું અવલોકન કરતા,આપણે $A^n$ માટે સામાન્ય સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ:
$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 10$ માટે:
$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} x-3 & 2(x^2-9) & 2x^3-81 \\ x-5 & 2(x^2-25) & 4(x^3-125) \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|$.
જ્યારે $x=5$ હોય,ત્યારે બીજી હાર $5-5=0$,$2(25-25)=0$,અને $4(125-125)=0$ થાય છે. તેથી,$f(5)=0$.
હવે $f(1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(1) = \left|\begin{array}{ccc} -2 & -16 & -79 \\ -4 & -48 & -496 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right| = -2888$.
હવે $f(3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(3) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -27 \\ -2 & -32 & -392 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right| = -27(-4 - (-32)) = -756$.
આમ,$f(1) \cdot f(3) + f(3) \cdot f(5) + f(5) \cdot f(1) = (-2888 \times -756) + 0 + 0 = 2183328$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x & 2x \\ \sin x & x & x \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \cos x(x^2 - 2x^2) - x(2x \sin x - 2x \sin x) + 1(2x \sin x - x \sin x)$
$f(x) = \cos x(-x^2) - x(0) + x \sin x$
$f(x) = -x^2 \cos x + x \sin x$
હવે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ની કિંમત મેળવવાની છે:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^2 \cos x + x \sin x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( -\cos x + \frac{\sin x}{x} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\cos(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -1 + 1 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$.
નિશ્ચાયક $B$ આ મુજબ છે: $B = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને $B$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$B = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$B = x(x^2 - 1) - (x - 1) - (x - 1)$
$B = x(x^2 - 1) - 2(x - 1)$
$B = x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)$
$B = (x - 1)[x(x + 1) - 2]$
$B = (x - 1)(x^2 + x - 2)$
$B = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2) = x^3 - 3x + 2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે $B$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dB}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
કારણ કે $A = x^2 - 1$,તેથી $\frac{dB}{dx} = 3A$.

(C) આપેલ છે કે $\cos ^{-1}(x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(z)=3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(\theta)$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
તેથી,દરેક પદ $\cos ^{-1}(x)$,$\cos ^{-1}(y)$,અને $\cos ^{-1}(z)$ ની મહત્તમ કિંમત $\pi$ છે.
તેમનો સરવાળો $3 \pi$ થાય તે માટે,દરેક પદની કિંમત $\pi$ હોવી જોઈએ.
આમ,$\cos ^{-1}(x)=\pi$,$\cos ^{-1}(y)=\pi$,અને $\cos ^{-1}(z)=\pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,અને $z = \cos(\pi) = -1$.
હવે,આ કિંમતોને $x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)$ પદાવલીમાં મૂકતા:
$= (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1)$
$= (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2)$
$= 2 + 2 + 2 = 6$.

(B) આપેલ છે કે $2 \sin ^{-1} x - 3 \cos ^{-1} x = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \sin ^{-1} x - 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 4$
$2 \sin ^{-1} x - \frac{3 \pi}{2} + 3 \sin ^{-1} x = 4$
$5 \sin ^{-1} x = 4 + \frac{3 \pi}{2}$
$\sin ^{-1} x = \frac{8 + 3 \pi}{10}$
હવે,આપણે $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} x + 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x)$
$= 2 \sin ^{-1} x + \frac{3 \pi}{2} - 3 \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \frac{8 + 3 \pi}{10}$
$= \frac{15 \pi - 8 - 3 \pi}{10}$
$= \frac{12 \pi - 8}{10} = \frac{6 \pi - 4}{5}$

(D) આપેલ છે કે $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sin x$ અને $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
વિકલ્પો ચકાસતા:
$(a)$ જો $f(x) = \sin^2 x$ અને $g(x) = x$ હોય,તો $f(g(x)) = \sin^2 x$ અને $g(f(x)) = \sin^2 x$ મળે. આ શરતો સાથે મેળ ખાતું નથી.
$(b)$ જો $f(x) = \sin \sqrt{x}$ અને $g(x) = \sqrt{x}$ હોય,તો $f(g(x)) = \sin \sqrt{\sqrt{x}} = \sin x^{1/4}$ અને $g(f(x)) = \sqrt{\sin \sqrt{x}}$ મળે.
$(c)$ જો $f(x) = \sin^2 x$ અને $g(x) = \sqrt{x}$ હોય,તો $f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin^2 \sqrt{x} = (\sin \sqrt{x})^2$ અને $g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ મળે.
$(d)$ જો $f(x) = \sin \sqrt{x}$ અને $g(x) = x^2$ હોય,તો $f(g(x)) = f(x^2) = \sin \sqrt{x^2} = \sin |x|$ અને $g(f(x)) = g(\sin \sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$ મળે.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે શરતોનું સંપૂર્ણ પાલન કરતા નથી,પરંતુ વિકલ્પ $(d)$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \tan x$.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y)$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $f(f^{-1}(y)) = y$.
અહીં,આપણે $f^{-1}(1)$ શોધવાનું છે,તેથી આપણે $f(x) = 1$ લઈએ.
$\tan x = 1$.
$\tan x = \tan \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \alpha$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,તેથી $x$ ના મૂલ્યોનો ગણ $\{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$ છે.
તેથી,$f^{-1}(1) = \{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = |\cos x|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $g(x) = \cos x$ એ તમામ $x \in R$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.
માનાંક વિધેય $h(x) = |x|$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,સંયોજિત વિધેય $f(x) = |\cos x|$ એ તમામ $x \in R$ માટે સતત છે.
જોકે,$f(x)$ ત્યાં વિકલનીય નહીં હોય જ્યાં માનાંકની અંદરનું પદ શૂન્ય થાય,એટલે કે $\cos x = 0$ હોય ત્યાં.
આ $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ માટે તમામ $n \in Z$ પર થાય છે.
આ બિંદુઓ પર,આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ $f(x)$ ના આલેખમાં તીક્ષ્ણ ખૂણાઓ (cusps) જોવા મળે છે.
આમ,$f(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ $\frac{\pi}{2}$ ના એકી ગુણાંકો પર વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ છે કે $y = 2x^{3x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln y = \ln(2x^{3x}) = \ln 2 + 3x \ln x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 0 + 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x + 3$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y(3 \ln x + 3) = 2x^{3x}(3 \ln x + 3)$.
$x = 1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 2(1)^{3(1)}(3 \ln 1 + 3)$.
કારણ કે $\ln 1 = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = 2(1)(0 + 3) = 2 \times 3 = 6$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln f(x) = x \ln x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ મળે.
આમ,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$x > 0$ હોવાથી,$x^x$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,$1 + \ln x > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\ln x > -1$.
આ $\ln x > \ln(\frac{1}{e})$ ને સમાન છે.
તેથી,$x > \frac{1}{e}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ છે. \\ પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત શોધો: $f'(x)=3x^2-12x+12$. \\ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે $f'(x)=0$ લો: $3(x^2-4x+4)=0 \Rightarrow 3(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2$. \\ હવે,દ્વિતીય વિકલિત શોધો: $f''(x)=6x-12$. \\ $x=2$ આગળ દ્વિતીય વિકલિતની કિંમત શોધો: $f''(2)=6(2)-12=0$. \\ કારણ કે $f''(2)=0$ છે,આપણે તૃતીય વિકલિત તપાસીએ: $f'''(x)=6$. \\ કારણ કે $f'''(2)=6 \neq 0$,તેથી $x=2$ આગળ વક્રતા બદલાય છે. \\ તેથી,$x=2$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflexion) છે.

(B) $\because$ શંકુની ત્રાંસી ઊંચાઈ $L = 6$ એકમ છે.
ધારો કે ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$L^2 = r^2 + h^2$ હોવાથી,$r^2 = L^2 - h^2 = 36 - h^2$.
આ કિંમત ઘનફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi (36 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (36h - h^3)$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (36 - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,$36 - 3h^2 = 0 \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = 2 \sqrt{3}$ એકમ.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2 V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (-6h) = -2 \pi h$.
$h = 2 \sqrt{3}$ આગળ,$\frac{d^2 V}{dh^2} = -4 \sqrt{3} \pi < 0$,તેથી ઘનફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi (36 - (2 \sqrt{3})^2) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (36 - 12) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (24) (2 \sqrt{3}) = 16 \sqrt{3} \pi$ ઘન એકમ.

(B) અંતરાલ $[0, 2]$ પર આપેલ વિધેય $f(x) = x(x - 1)^2$ છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,$(0, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં,$a = 0$ અને $b = 2$ છે.
$f(0) = 0(0 - 1)^2 = 0$.
$f(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2$.
તેથી,$f'(c) = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$.
હવે,વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f(x) = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x$.
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
$f'(c) = 1$ લેતા:
$3c^2 - 4c + 1 = 1$.
$3c^2 - 4c = 0$.
$c(3c - 4) = 0$.
આથી $c = 0$ અથવા $c = 4/3$ મળે.
કારણ કે $c$ એ વિવૃત અંતરાલ $(0, 2)$ માં હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $c = 4/3$ પસંદ કરીએ છીએ.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{3+4 \cos ^2 x} d x$.
$u = \cos x$ આદેશ લેતા,$du = -\sin x d x$,એટલે કે $\sin x d x = -du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{-du}{3+4u^2} = -\int \frac{du}{3+(2u)^2}$.
છેદમાંથી $3$ સામાન્ય લેતા: $I = -\frac{1}{3} \int \frac{du}{1 + (\frac{2u}{\sqrt{3}})^2}$.
$t = \frac{2u}{\sqrt{3}}$ આદેશ લેતા,$dt = \frac{2}{\sqrt{3}} du$,તેથી $du = \frac{\sqrt{3}}{2} dt$.
$t$ ની કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = -\frac{1}{3} \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} dt}{1+t^2} = -\frac{\sqrt{3}}{6} \int \frac{dt}{1+t^2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$ હોવાથી,$I = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}(t) + C$.
છેલ્લે $t = \frac{2 \cos x}{\sqrt{3}}$ મૂકતા,$I = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{\sqrt{3}}\right) + C$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ છે.
નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશ અને છેદને $2 \cos \frac{x}{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin(3x) + \sin(2x)}{\sin x} dx$.
સૂત્રો $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ અને $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x + 2 \sin x \cos x}{\sin x} dx = \int (3 - 4 \sin^2 x + 2 \cos x) dx$.
$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (3 - 2(1 - \cos 2x) + 2 \cos x) dx = \int (3 - 2 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx$.
$I = \int (1 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx = x + \sin 2x + 2 \sin x + C$.

(B) $I = \int \frac{1}{x[6(\log x)^2 + 7 \log x + 2]} dx$
ધારો કે $t = \log x$,તેથી $dt = \frac{1}{x} dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{6t^2 + 7t + 2}$
છેદના અવયવો પાડતા: $6t^2 + 7t + 2 = (2t + 1)(3t + 2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(3t + 2)(2t + 1)} = \frac{A}{3t + 2} + \frac{B}{2t + 1}$
$1 = A(2t + 1) + B(3t + 2)$
$t = -\frac{1}{2}$ લેતા,$B = 2$ મળે છે.
$t = -\frac{2}{3}$ લેતા,$A = -3$ મળે છે.
તેથી,$I = \int (\frac{-3}{3t + 2} + \frac{2}{2t + 1}) dt$
$I = -\frac{3 \log |3t + 2|}{3} + \frac{2 \log |2t + 1|}{2} + C$
$I = -\log |3t + 2| + \log |2t + 1| + C$
$I = \log |\frac{2t + 1}{3t + 2}| + C$
$t = \log x$ પાછા મૂકતા:
$I = \log |\frac{2 \log x + 1}{3 \log x + 2}| + C$

(D) ધારો કે $f(x) = (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x$.
આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસીએ:
$f(-x) = (1-(-x)^2) \sin(-x) \cdot \cos^2(-x)$
કારણ કે $(-x)^2 = x^2$,$\sin(-x) = -\sin x$,અને $\cos(-x) = \cos x$:
$f(-x) = (1-x^2) (-\sin x) \cdot (\cos x)^2$
$f(-x) = -(1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x \, dx = 0$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_1^5 (|x-3| + |1-x|) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $x \in [1, 5]$ હોવાથી,$|1-x| = x-1$ થાય.
તેથી,$I = \int_1^5 |x-3| \, dx + \int_1^5 (x-1) \, dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$x \in [1, 3]$ માટે $|x-3| = 3-x$ અને $x \in [3, 5]$ માટે $|x-3| = x-3$ થાય.
$\int_1^3 (3-x) \, dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_1^3 = (9 - 4.5) - (3 - 0.5) = 4.5 - 2.5 = 2$.
$\int_3^5 (x-3) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 3x]_3^5 = (12.5 - 15) - (4.5 - 9) = -2.5 - (-4.5) = 2$.
બીજા ભાગ માટે,$\int_1^5 (x-1) \, dx = [\frac{x^2}{2} - x]_1^5 = (12.5 - 5) - (0.5 - 1) = 7.5 - (-0.5) = 8$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $I = 2 + 2 + 8 = 12$.

(B) આપેલ સમીકરણો $y=3x$ અને $y=x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $3x = x^2$ લઈએ,જે $x^2 - 3x = 0$ આપે છે,તેથી $x(x-3) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=3$ છે.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=3$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{27}{2} - \frac{27}{3} \right)$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) રેખા $y=x$ અને વક્ર $y=x^3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x^3 = x$ લઈને છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
આનાથી $x^3 - x = 0$ મળે છે,તેથી $x(x^2 - 1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = -1, 0, 1$.
આ પ્રદેશ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^1 (x - x^3) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$
$= 2 \left( \frac{1}{4} \right) = 0.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{dy/dx} = x+1$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\frac{dy}{dx} = \log(x+1)$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int dy = \int \log(x+1) dx$ મળે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log(x+1) dx = (x+1) \log(x+1) - (x+1) + C$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x \log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x \log(x+1) - x + \log(x+1) + C$.
તેથી,$y = (x+1) \log(x+1) - x + C$.
શરત $y(0) = 3$ આપેલ છે,તેથી $x=0$ અને $y=3$ મૂકતા: $3 = (0+1) \log(1) - 0 + C \Rightarrow 3 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 3$.
$C=3$ ની કિંમત સામાન્ય ઉકેલમાં મૂકતા,$y = (x+1) \log(x+1) - x + 3$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$y+x-3 = (x+1) \log(x+1)$ મળે છે.

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે.
$(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે,જ્યાં $(X, Y)$ એ સ્પર્શક પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
$x$-અંતઃખંડ $Y = 0$ મૂકીને મળે છે: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.
$y$-અંતઃખંડ $X = 0$ મૂકીને મળે છે: $Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$-અંતઃખંડ $2x$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $2y$ છે.
તેથી,$x - y \frac{dx}{dy} = 2x \Rightarrow -y \frac{dx}{dy} = x \Rightarrow -\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y} \Rightarrow -\ln|x| = \ln|y| + \ln|C|$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\ln|y| + \ln|x| = \ln|C|$ મળે છે,જે $xy = C$ આપે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
તેથી $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો દર્શાવે છે.
ધારો કે $M$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{AM} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$
$\vec{AM} = \frac{(3+5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (4+4)\hat{k}}{2}$
$\vec{AM} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AM}$ નું માન છે:
$|\vec{AM}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
$a+b$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|a+b| = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ મળે.
ગુણધર્મ $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 + 2(a \cdot b) = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2(a \cdot b) = -1$,અથવા $a \cdot b = -\frac{1}{2}$.
$a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ હોવાથી,$1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(B) સહ-અંતિમ ધારાઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકના મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$, $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$, અને $\vec{c} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
ઘનફળ $V = \left|\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |0(0 - 1) - 1(0 - 1) + 1(1 - 0)|$.
$V = |0 + 1 + 1| = |2| = 2 \text{ ઘન એકમ}$.

(D) આપેલ છે કે $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$.
આપણે પદાવલિ $E = (a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$p, q, r$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = (a+b) \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} + (b+c) \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} + (c+a) \cdot \frac{a \times b}{[a b c]}$
$E = \frac{1}{[a b c]} [a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (a \times b) + a \cdot (a \times b)]$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{[a b c]} [[a b c] + 0 + [b c a] + 0 + [c a b] + 0]$
કારણ કે $[a b c] = [b c a] = [c a b]$ હોવાથી:
$E = \frac{[a b c] + [a b c] + [a b c]}{[a b c]} = \frac{3[a b c]}{[a b c]} = 3$.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ અને $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = -3\hat{i} + 2k\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = 3k\hat{i} + 1\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$.
$-9k + 2k - 10 = 0$.
$-7k - 10 = 0$.
$-7k = 10$.
$k = -\frac{10}{7}$.
આમ,$k$ ની કિંમત $-\frac{10}{7}$ છે.

(C) સમતલોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y + 4z = 4$ ....$(i)$
$4x + 6y + 8z = 12$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3y + 4z = 6$ ....$(ii)$
અહીં અભિલંબ સદિશો $(2, 3, 4)$ સમાન હોવાથી,સમતલો સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો $ax + by + cz = d_1$ અને $ax + by + cz = d_2$ વચ્ચેનું અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર:
$D = \left| \frac{d_2 - d_1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
કિંમતો $a = 2, b = 3, c = 4, d_1 = 4$,અને $d_2 = 6$ મૂકતા:
$D = \left| \frac{6 - 4}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{2}{\sqrt{4 + 9 + 16}} \right| = \frac{2}{\sqrt{29}}$ એકમ.

(C) આપેલ સમીકરણ $xy = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $x = 0$ અથવા $y = 0$ છે.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં,સમીકરણ $x = 0$ એ $YZ$-સમતલ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $y = 0$ એ $ZX$-સમતલ દર્શાવે છે.
કારણ કે $YZ$-સમતલ અને $ZX$-સમતલ એકબીજાને લંબ છે,તેથી સમીકરણ $xy = 0$ એ કાટખૂણે રહેલા સમતલોની જોડી દર્શાવે છે.

(NONE) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-2}$ છે.
આ રેખા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x - 2y + z = 5$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો સાઈન $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(2) + (4)(-2) + (-2)(1) = 4 - 8 - 2 = -6$.
તેથી,$|\vec{b} \cdot \vec{n}| = |-6| = 6$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,$\sin \theta = \frac{6}{(2\sqrt{6})(3)} = \frac{6}{6\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(A) સમતલ બિંદુ $P(3,2,0)$ અને રેખા $\frac{x-3}{1}=\frac{y-6}{5}=\frac{z-4}{4}$ ને સમાવે છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3,6,4)$ છે.
રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બિંદુ $P(3,2,0)$ અને $Q(3,6,4)$ ને જોડતો સદિશ $\vec{PQ} = (3-3)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v} \times \vec{PQ}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20-16) - \hat{j}(4-0) + \hat{k}(4-0) = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $(3,2,0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-3) - 1(y-2) + 1(z-0) = 0$ છે.
$x - 3 - y + 2 + z = 0$.
$x - y + z = 1$.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0,2)$ પર: $Z = 4(0) + 6(2) = 12$
$2$. $(3,0)$ પર: $Z = 4(3) + 6(0) = 12$
$3$. $(6,0)$ પર: $Z = 4(6) + 6(0) = 24$
$4$. $(6,8)$ પર: $Z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0,5)$ પર: $Z = 4(0) + 6(5) = 30$
અહીં $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે,જે $(0,2)$ અને $(3,0)$ બંને શિરોબિંદુઓ પર મળે છે. તેથી,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુએ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$n=10$.
એક પાસાને ફેંકતા એકી સંખ્યા મળે તેની સંભાવના,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
એકી સંખ્યા ન મળે તેની સંભાવના,$q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે એકી સંખ્યા ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે,જે $P(X \geq 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{10} = 1 \times 1 \times \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે. તેથી,$\frac{25}{36} + k + \frac{1}{36} = 1 \Rightarrow k + \frac{26}{36} = 1 \Rightarrow k = 1 - \frac{13}{18} = \frac{5}{18}$.
યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E(X) = \frac{1}{3}$,તેથી:
$E(X) = 0 \times \frac{25}{36} + 1 \times k + 2 \times \frac{1}{36} = k + \frac{2}{36} = k + \frac{1}{18}$.
$E(X) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$k + \frac{1}{18} = \frac{1}{3} \Rightarrow k = \frac{1}{3} - \frac{1}{18} = \frac{6-1}{18} = \frac{5}{18}$.
$X$ નું વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X^2) = 0^2 \times \frac{25}{36} + 1^2 \times k + 2^2 \times \frac{1}{36} = 0 + k + \frac{4}{36} = k + \frac{1}{9}$.
$k = \frac{5}{18}$ મૂકતા:
$E(X^2) = \frac{5}{18} + \frac{1}{9} = \frac{5+2}{18} = \frac{7}{18}$.
હવે,$Var(X) = \frac{7}{18} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{7}{18} - \frac{1}{9} = \frac{7-2}{18} = \frac{5}{18}$.

(B) આપેલ છે કે યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $n=5$ અને $p$ પ્રાચલો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = 9 P(X=3)$.
કિંમતો મૂકતા: ${ }^5 C_2 p^2 (1-p)^{5-2} = 9 \times { }^5 C_3 p^3 (1-p)^{5-3}$.
અહીં ${ }^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ અને ${ }^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ હોવાથી:
$10 p^2 (1-p)^3 = 9 \times 10 p^3 (1-p)^2$.
બંને બાજુ $10 p^2 (1-p)^2$ વડે ભાગતા (ધારો કે $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 9p$.
$1 = 10p$.
$p = 1/10$.