मान लीजिए कि एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के प्रथम $n$ पदों का योग $3n^2 + 5n$ है। तो इस समांतर श्रेणी के प्रथम $10$ पदों के वर्गों का योग क्या होगा?

यदि $a_1 = a_2 = 2$ और $n > 2$ के लिए $a_n = a_{n-1} - 1$ है,तो $a_5$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ पर विचार करें जहाँ $a_{1}=1, a_{2}=2$ और $n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}}+a_{n}$ है। यदि $\left(\frac{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}{a_{3}}\right) \cdot\left(\frac{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}{a_{4}}\right) \cdot\left(\frac{a_{3}+\frac{1}{a_{4}}}{a_{5}}\right) \cdots\left(\frac{a_{30}+\frac{1}{a_{31}}}{a_{32}}\right)=2^{\alpha}\left({}^{61}C_{31}\right)$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $1$ से $2021$ तक के पूर्णांकों को एक एकल पूर्णांक जैसे $123 \dots 91011 \dots 20202021$ के रूप में लिखा जाता है,तो परिणामी संख्या में बाएं से गिनने पर $2021^{st}$ अंक क्या होगा?

$1$ अंक का उपयोग किए बिना बनी और $500$ से कम या उसके बराबर सभी $3$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए,जो $11$ की गुणज हैं।

यदि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ के लिए $x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \tan^{2n} \theta$ और $y = \sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta$ है,तो: