मान लीजिए $f(x) = x^{2025} - x^{2000}$,$x \in [0, 1]$ और अंतराल $[0, 1]$ में फलन $f(x)$ का न्यूनतम मान $(80)^{80}(n)^{-81}$ है। तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[0, 3]$ पर फलन $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25$ का न्यूनतम मान क्या है?

एक आयत $ABCD$,$y = \sin x$ और $x-$अक्ष द्वारा $x \in [0, \pi]$ के लिए परिबद्ध क्षेत्र में स्थित है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। आयत का क्षेत्रफल अधिकतम होगा जब $'\alpha'$ संतुष्ट करता है:

यदि $x, y$ दो धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $x+y=20$ और $x^3 y$ का अधिकतम मान $x=\alpha, y=\beta$ पर $k$ है,तो $\frac{k}{\alpha^2 \beta^2} =$

मान लीजिए कि $\lambda$ के सभी धनात्मक मानों का समुच्चय,जिसके लिए फलन $f(x) = 1 + x(\lambda^2 - x^2)$ का स्थानीय न्यूनतम बिंदु $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ को संतुष्ट करता है,$(\alpha, \beta)$ है। तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष के समानांतर भुजाओं वाला एक आयत,वक्रों $y=x^2-4$ और $y=\frac{4-x^2}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र में स्थित है। ऐसे आयत का अधिकतम संभव क्षेत्रफल किस पूर्णांक के सबसे निकट है?