मान लीजिए f(x) = int frac{(2-x^2)e^x}{(sqrt{1 | vedclass

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Question

(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है। अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर: $f(x) = \int e^x \

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$\sqrt{3e}-1$

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(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है। अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर: $f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$. पहले पद को सरल करने पर: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. मान लीजिए $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ है। तब $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$. अतः,समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ के रूप में है। इसलिए,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$. चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$. अतः,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$. $x = \frac{1}{2}$ के लिए,$f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{(2-x^2)e^x}{(\sqrt{1+x})(1-x)^{3/2}} dx$ है। यदि $f(0) = 0$ है,तो $f(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx = f(x) + \text{constant}$ है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int e^x(x^3+x^2-x+4) dx = e^x f(x) + c$ है,तो $f(1) =$ क्या होगा?

$\int \frac{e^{\sin x}(\sin 2x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx =$

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x=$

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