एक A.P. के प्रथम दस पदों का योग 160 है और एक | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A$.$P$. $a, a+d, \dots$ है और $G$.$P$. $g, gr, \dots$ है।दिया गया है कि $A$.$P$. के प्रथम दस पदों का योग $160$ है,इसलिए $S_{10} = \frac

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$\frac{34}{9}$

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(A) मान लीजिए $A$.$P$. $a, a+d, \dots$ है और $G$.$P$. $g, gr, \dots$ है।दिया गया है कि $A$.$P$. के प्रथम दस पदों का योग $160$ है,इसलिए $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 160$,जो सरल होकर $2a + 9d = 32$ हो जाता है।दिया गया है कि $G$.$P$. के प्रथम दो पदों का योग $8$ है,इसलिए $g + gr = 8$,या $g(1+r) = 8$ है।हमें $a = r$ और $g = d$ दिया गया है। इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:$2r + 9g = 32$ और $g(1+r) = 8$ प्राप्त होता है।दूसरे समीकरण से,$g = \frac{8}{1+r}$ है। इसे पहले समीकरण में रखने पर:$2r + 9(\frac{8}{1+r}) = 32 \Rightarrow 2r(1+r) + 72 = 32(1+r)$।$2r^2 + 2r + 72 = 32 + 32r \Rightarrow 2r^2 - 30r + 40 = 0 \Rightarrow r^2 - 15r + 20 = 0$।मान लीजिए मूल $r_1$ और $r_2$ हैं। तब $r_1 + r_2 = 15$ और $r_1r_2 = 20$ है।$G$.$P$. का प्रथम पद $g = \frac{8}{1+r}$ है। $g$ के सभी संभावित मानों का योग है:$g_1 + g_2 = \frac{8}{1+r_1} + \frac{8}{1+r_2} = 8 \left( \frac{1+r_2 + 1+r_1}{(1+r_1)(1+r_2)} \right) = 8 \left( \frac{2 + (r_1+r_2)}{1 + (r_1+r_2) + r_1r_2} \right)$।मान रखने पर: $8 \left( \frac{2 + 15}{1 + 15 + 20} \right) = 8 \left( \frac{17}{36} \right) = \frac{34}{9}$।

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