यदि परवलय y^{2} = 12x पर स्थित बिंदुओं P_{1}( | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 12$,अतः $a = 3$ है। परवलय पर स्थित बिंदु $P_{1}(3t_{1}^{2}, 6t_{1})$ और $P_{2}(3t_{2}^{2}, 6t_{2})$ हैं।चूंक

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$288$

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(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 12$,अतः $a = 3$ है। परवलय पर स्थित बिंदु $P_{1}(3t_{1}^{2}, 6t_{1})$ और $P_{2}(3t_{2}^{2}, 6t_{2})$ हैं।चूंकि जीवा $P_{1}P_{2}$ शीर्ष $(0, 0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए $OP_{1}$ और $OP_{2}$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होगा।प्रवणता $m_{1} = \frac{6t_{1}}{3t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}}$ और $m_{2} = \frac{6t_{2}}{3t_{2}^{2}} = \frac{2}{t_{2}}$ है।अतः,$(\frac{2}{t_{1}})(\frac{2}{t_{2}}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -4$.अब,$x_{1}x_{2} = (3t_{1}^{2})(3t_{2}^{2}) = 9(t_{1}t_{2})^{2} = 9(-4)^{2} = 9(16) = 144$.और $y_{1}y_{2} = (6t_{1})(6t_{2}) = 36(t_{1}t_{2}) = 36(-4) = -144$.इसलिए,$x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} = 144 - (-144) = 144 + 144 = 288$.

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