मान लीजिए कि अवकल समीकरण x dy - y dx = sqrt{x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ है): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}}

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ है): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$. मानक समाकलन $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$. $y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. अतः,$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$. $x$ से गुणा करने पर: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$. $y(3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 3$ रखने पर: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$. $\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$. $18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$,जहाँ $x > 0$ और $y(1) = 0$,का हल वक्र $y = y(x)$ है। तो $y(3)$ का मान ज्ञात कीजिए:

Similar Questions

बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$ है।

अवकल समीकरण $\cos x \cos y \frac{dy}{dx} = - \sin x \sin y$ का हल है

$\tan y \frac{dy}{dx} = \sin(x+y) + \sin(x-y)$ का हल है

जब $x = 0, y = \frac{1}{27}$ हो,तो $\frac{dy}{dx} = (x + 9y)^2$ का विशिष्ट हल क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module