(1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+ . . . +100(1+x)^{100 | vedclass

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Question

(D) माना $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(AGP)$ है।माना $r = (1+x)$. तब $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100}$.

Vedclass · Accepted Answer

$100 \cdot ^{101}C_{49} - ^{101}C_{50}$

Vedclass · Answer

(D) माना $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(AGP)$ है।माना $r = (1+x)$. तब $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100}$.$r$ से गुणा करने पर: $rS = r^2 + 2r^3 + . . . + 99r^{100} + 100r^{101}$.दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1-r) = r + r^2 + r^3 + . . . + r^{100} - 100r^{101}$.$S(-x) = \frac{r(r^{100}-1)}{r-1} - 100r^{101} = \frac{(1+x)((1+x)^{100}-1)}{x} - 100(1+x)^{101}$.$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}-(1+x)}{x^2}$.हमें $S$ में $x^{48}$ का गुणांक चाहिए।$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}}{x^2} + \frac{1+x}{x^2}$.$x^{48}$ पद $100(1+x)^{101}$ (गुणांक $100 \cdot ^{101}C_{48}$) और $-\frac{(1+x)^{101}}{x^2}$ (गुणांक $-^{101}C_{50}$) से प्राप्त होता है।अतः,गुणांक $100 \cdot ^{101}C_{48} - ^{101}C_{50}$ है।

$(1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+ . . . +100(1+x)^{100}$ में $x^{48}$ का गुणांक क्या है?

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