यदि समाकलन int_{-1}^1 frac{cos alpha x}{1+3^x | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) माना $I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha (-x)}{1+3^{-x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+\frac{1}{3^x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{3^x \cos \alpha x}{3^x+1} dx$  $(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} dx + \int_{-1}^{1} \frac{3^x \cos \alpha x}{1+3^x} dx$$2I = \int_{-1}^{1} \frac{(1+3^x) \cos \alpha x}{1+3^x} dx = \int_{-1}^{1} \cos \alpha x dx$चूंकि $\cos \alpha x$ एक सम फलन है:$2I = 2 \int_{0}^{1} \cos \alpha x dx = 2 \left[ \frac{\sin \alpha x}{\alpha} \right]_{0}^{1} = \frac{2 \sin \alpha}{\alpha}$$I = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$दिया गया है $I = \frac{2}{\pi}$,अतः $\frac{\sin \alpha}{\alpha} = \frac{2}{\pi}$.निरीक्षण द्वारा,$\alpha = \frac{\pi}{2}$ समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि $\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$.

यदि समाकलन $\int_{-1}^1 \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} d x$ का मान $\frac{2}{\pi}$ है,तो $\alpha$ का एक मान है

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यदि $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ जहाँ $m, n \geq 1$ है और $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,जहाँ $\alpha \in R$,तो $\alpha$ का मान .... है।

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