मान लीजिए कि एक शांकव (conic) C बिंदु (4,-2) | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $P(x, y)$ शांकव $C$ पर एक बिंदु है जहाँ $x \geq 3$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{y - (-5)

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(B) दिया गया है कि $P(x, y)$ शांकव $C$ पर एक बिंदु है जहाँ $x \geq 3$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{y - (-5)}{x - 3} ight) = \frac{y+5}{2(x-3)}$ है।चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y+5} = \frac{dx}{2(x-3)}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln(y+5) = \frac{1}{2} \ln(x-3) + C_1$,जिसका अर्थ है $2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + C$.चूंकि शांकव $(4,-2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 \ln(-2+5) = \ln(4-3) + C \Rightarrow 2 \ln(3) = 0 + C \Rightarrow C = 2 \ln(3)$.$C$ का मान रखने पर,$2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + 2 \ln(3) = \ln(9(x-3))$ प्राप्त होता है।अतः,$(y+5)^2 = 9(x-3)$,जो एक परवलय है जिसका शीर्ष $(3, -5)$ है और $4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$ है।परवलय पर स्थित बिंदु $(x, y)$ के लिए नाभीय दूरी $d = x+a = x + \frac{9}{4}$ होती है।प्रश्न में दिए गए बिंदु $(4, -2)$ के लिए,$d = 4 + 2.25 = 6.25 = \frac{25}{4}$ है।अतः $12d = 12 	imes \frac{25}{4} = 3 	imes 25 = 75$।

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