मान लीजिए कि A गैर-ऋणात्मक वास्तविक तत्वों का | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है।दिया गया है $A\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \

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$27$

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(C) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है।दिया गया है $A\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$,जिससे हमें प्राप्त होता है:$a_1 + a_2 + a_3 = 3$$b_1 + b_2 + b_3 = 3$$c_1 + c_2 + c_3 = 3$चूंकि सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का गुणनफल तब अधिकतम होता है जब उस पंक्ति के सभी तत्व समान हों।पंक्ति $1$ के लिए: $a_1 a_2 a_3 \le (\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^3 = (\frac{3}{3})^3 = 1$.इसी प्रकार,पंक्ति $2$ और पंक्ति $3$ के लिए,गुणनफल अधिकतम $1$ है।सारणिक $\operatorname{det}(A)$ तत्वों के गुणनफल का योग है। हैडामार्ड की असमानता या पंक्ति योग पर विचार करने पर,$n 	imes n$ आव्यूह जिसका पंक्ति योग $S$ है,उसका अधिकतम सारणिक $S^n$ होता है यदि आव्यूह विकर्ण आव्यूह हो।यहाँ,$S=3$ और $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(A) \le 3^3 = 27$.अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ हो,जो $\operatorname{det}(A) = 27$ देता है।

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