मान लीजिए कि एक अतिपरवलय H का केंद्र मूल बिंद | vedclass

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Question

(A) अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए,जहाँ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ है।चूँकि $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित है और शीर्षों

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$\frac{28}{3}$

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(A) अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए,जहाँ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ है।चूँकि $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित है और शीर्षों $(\pm a, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसकी त्रिज्या $a$ है। $C_1$ का क्षेत्रफल $36 \pi$ दिया गया है,इसलिए $\pi a^2 = 36 \pi$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।$C_2$ एक नाभि $(ae, 0)$ पर केंद्रित है और शीर्ष $(a, 0)$ पर स्पर्श करता है। नाभि और शीर्ष के बीच की दूरी $|ae - a| = a(e - 1)$ है। अतः,$C_2$ की त्रिज्या $r = a(e - 1)$ है।$C_2$ का क्षेत्रफल $4 \pi$ दिया गया है,इसलिए $\pi r^2 = 4 \pi$,जिससे $r^2 = 4$,यानी $r = 2$ प्राप्त होता है।$a = 6$ रखने पर,$6(e - 1) = 2$,इसलिए $e - 1 = \frac{1}{3}$,जिससे $e = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।अब,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 ight) = 36 \left( \frac{16}{9} - 1 ight) = 36 \left( \frac{7}{9} ight) = 28$ है।नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 	imes 28}{6} = \frac{28}{3}$ है।

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