मान लीजिए alpha in(0, infty) और A=begin{bmatr | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$।मान लीजिए $M = 2A - A^T$ और $N = A - 2A^T$ है। यहाँ $M =

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$16$

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(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$।मान लीजिए $M = 2A - A^T$ और $N = A - 2A^T$ है। यहाँ $M = -N^T$ है,इसलिए $\operatorname{det}(M) = \operatorname{det}(-N^T) = (-1)^3 \operatorname{det}(N) = -\operatorname{det}(N)$।दिया गया समीकरण $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M) \cdot \operatorname{adj}(N)) = 2^8$ है।गुणधर्म $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(X)) = (\operatorname{det}(X))^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$,हमें प्राप्त होता है $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det}(M))^2$ और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(N)) = (\operatorname{det}(N))^2$।अतः,$(\operatorname{det}(M))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$।चूँकि $\operatorname{det}(M) = -\operatorname{det}(N)$,इसलिए $(-\operatorname{det}(N))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$,जिसका अर्थ है $(\operatorname{det}(N))^4 = 2^8$।इसलिए,$(\operatorname{det}(N))^2 = 2^4 = 16$,अर्थात $\operatorname{det}(N) = \pm 4$।अब,$N = A - 2A^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & \alpha \ -3 & 0 & -1 \ -2\alpha & -1 & -2 \end{bmatrix}$।सारणिक की गणना करने पर: $\operatorname{det}(N) = -1(0 - 1) - 0 + \alpha(3 - 0) = 1 + 3\alpha$।$1 + 3\alpha = 4$ लेने पर (चूँकि $\alpha > 0$),हमें $3\alpha = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 1$।अब $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$।$\operatorname{det}(A) = 1(0 - 1) - 2(2 - 0) + 1(1 - 0) = -1 - 4 + 1 = -4$।अंत में,$(\operatorname{det}(A))^2 = (-4)^2 = 16$।

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