एक चक्रीय चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ $2$ और $5$ हैं और उनके बीच का कोण $60^{\circ}$ है। यदि चतुर्भुज का क्षेत्रफल $4\sqrt{3}$ है,तो चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

एक $\triangle ABC$ में,$(b^2-c^2) \cot A + (c^2-a^2) \cot B =$

$\triangle ABC$ में,यदि $a=2$,$B=\tan ^{-1} \frac{1}{2}$ और $C=\tan ^{-1} \frac{1}{3}$ है,तो $(A, b)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ समीकरण $b^2 = ac$ को संतुष्ट करती हैं। तो $\frac{\sin A \cot C + \cos A}{\sin B \cot C + \cos B}$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय क्या है?

मान लीजिए $PQRS$ एक समतल में एक चतुर्भुज है,जहाँ $QR = 1$,$\angle PQR = \angle QRS = 70^{\circ}$,$\angle PQS = 15^{\circ}$ और $\angle PRS = 40^{\circ}$ है। यदि $\angle RPS = \theta^{\circ}$,$PQ = \alpha$ और $PS = \beta$ है,तो वह अंतराल (अंतराल) जिसमें $4 \alpha \beta \sin \theta^{\circ}$ का मान स्थित है,है/हैं
$(A)$ $(0, \sqrt{2})$
$(B)$ $(1, 2)$
$(C)$ $(\sqrt{2}, 3)$
$(D)$ $(2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$

यदि एक $\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाइयों के व्युत्क्रम हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression) में हैं,तो इसकी बाह्य-त्रिज्याएँ $r_1, r_2, r_3$ किसमें होंगी?