फलन f:R to left[ { - frac{1}{2},frac{1}{2}} r | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f:R 	o \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight]$ जहाँ $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ है।सबसे पहले,एकैकी (injective) की जाँच करें:$f'(

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आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है

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(D) दिया गया है $f:R 	o \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight]$ जहाँ $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ है।सबसे पहले,एकैकी (injective) की जाँच करें:$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(1) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$.चूँकि $f'(x)$ का मान $x = 1$ और $x = -1$ पर अपना चिह्न बदलता है,फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।अब,आच्छादक (surjective) की जाँच करें:माना $y = \frac{x}{1 + x^2}$ है। तब $yx^2 - x + y = 0$ होगा।$x$ के वास्तविक मान के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।$D = (-1)^2 - 4(y)(y) = 1 - 4y^2 \ge 0$.$4y^2 \le 1 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ight]$.चूँकि परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।अतः,फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

फलन $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right],$ जो $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ द्वारा परिभाषित है,वह

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