यदि एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए,द्विघात समीक | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.यह $nx^2

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$11$

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(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.यह $nx^2 + n^2x + \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = 10n$ में सरल हो जाता है।$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.माना दो क्रमागत पूर्णांक हल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं।मूलों का योग: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.मूलों का गुणनफल: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.मान रखने पर: $(\frac{-(n+1)}{2})(\frac{1-n}{2}) = \frac{n^2 - 31}{3}$.$\frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124$ $\Rightarrow n^2 = 121$ $\Rightarrow n = 11$.

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