मान लीजिए $\omega$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $2\omega + 1 = z$ जहाँ $z = \sqrt{-3}$ है। यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\omega^2 - 1 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^7 \end{array} \right| = 3k$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है और $b, c, f$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{b}{c} = $

मान लीजिए $P=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$,$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $Q=PAP^{T}$ है। यदि $P^{T}Q^{2007}P=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ है,तो $2a+b-3c-4d$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $x \in R$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ और $R = PQP^{-1}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $x = 1$ के लिए,एक ऐसा इकाई सदिश $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ मौजूद है जिसके लिए $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ है।
$(2)$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ मौजूद है जिसके लिए $PQ = QP$ है।
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,सभी $x \in R$ के लिए।
$(4)$ $x = 0$ के लिए,यदि $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ है,तो $a + b = 5$ है।

यदि $A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ और $B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}} $,(जहाँ $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$),तो $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ {{e^{A + B}}} & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ का मान क्या है?

माना $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ है। यदि $A^2 + \gamma A + 18I = O$ है,तो $\operatorname{det}(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।