जब (2m + 1)^{2n} (m, n in N) को 8 से विभाजित | vedclass

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Question

(A) हमें $(2m + 1)^{2n}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है। माना $x = 2m + 1$ है। चूँकि $m \in N$,$x$ एक विषम पूर्णांक है। किसी भी

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(A) हमें $(2m + 1)^{2n}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है। माना $x = 2m + 1$ है। चूँकि $m \in N$,$x$ एक विषम पूर्णांक है। किसी भी विषम पूर्णांक को $2m + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $(2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1$ पर विचार करें। चूँकि $m(m + 1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,यह हमेशा सम होता है। माना $m(m + 1) = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। अतः $(2m + 1)^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1$। अब,$(2m + 1)^{2n} = ((2m + 1)^2)^n = (8k + 1)^n$। द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(8k + 1)^n = \binom{n}{0}(8k)^n + \binom{n}{1}(8k)^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}(8k) + 1$। अंतिम पद को छोड़कर सभी पद $8$ के गुणज हैं। इसलिए,$(2m + 1)^{2n} = 8K + 1$ किसी पूर्णांक $K$ के लिए। अतः,$8$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

जब $(2m + 1)^{2n}$ $(m, n \in N)$ को $8$ से विभाजित किया जाता है,तो प्राप्त शेषफल क्या है?

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