मान लीजिए (a-3)x^2+12x+(a+6)0, forall x in R | vedclass

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Question

(C) द्विघात व्यंजक $f(x) = (a-3)x^2 + 12x + (a+6)$ के सभी $x \in R$ के लिए धनात्मक होने हेतु,$x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए और विविक्तकर $D$ ऋणात्

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$-1, -2$

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(C) द्विघात व्यंजक $f(x) = (a-3)x^2 + 12x + (a+6)$ के सभी $x \in R$ के लिए धनात्मक होने हेतु,$x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए और विविक्तकर $D$ ऋणात्मक होना चाहिए।$1$. $a-3 > 0 \implies a > 3$.$2$. $D = 12^2 - 4(a-3)(a+6) $144 - 4(a^2 + 3a - 18) $36 - (a^2 + 3a - 18) $36 - a^2 - 3a + 18 $-a^2 - 3a + 54 $a^2 + 3a - 54 > 0$$(a+9)(a-6) > 0$.चूंकि $a > 3$ है,इसलिए $a > 6$ की शर्त पूरी होनी चाहिए। अतः,$a \in (6, \infty)$,जिससे $\ell = 6$ प्राप्त होता है।$a$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $\alpha = 7$ है।अब,$\alpha = 7$ और $\ell = 6$ को समीकरण $(\alpha-3)x^2 + 12x + (\ell+2) = 0$ में रखने पर:$(7-3)x^2 + 12x + (6+2) = 0$$4x^2 + 12x + 8 = 0$$4$ से भाग देने पर: $x^2 + 3x + 2 = 0$$(x+1)(x+2) = 0$.मूल $x = -1, -2$ हैं।

मान लीजिए $(a-3)x^2+12x+(a+6)>0, \forall x \in R$ और $a \in (\ell, \infty)$ है। यदि $\alpha$,$a$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान है,तो $(\alpha-3)x^2+12x+(\ell+2)=0$ के मूल क्या हैं?

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