वास्तविक मान वाले फलन f(x) = operatorname{Cos | vedclass

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Question

(B) माना $g(x) = 9x^2 - 12x + 22$ है। हम इसे $g(x) = (3x - 2)^2 + 18$ के रूप में लिख सकते हैं। जब $3x - 2 = 0$ अर्थात $x = \frac{2}{3}$ होता है,तब $g(

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$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$

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(B) माना $g(x) = 9x^2 - 12x + 22$ है। हम इसे $g(x) = (3x - 2)^2 + 18$ के रूप में लिख सकते हैं। जब $3x - 2 = 0$ अर्थात $x = \frac{2}{3}$ होता है,तब $g(x)$ का न्यूनतम मान $18$ प्राप्त होता है। जैसे $x 	o \pm \infty$,वैसे ही $g(x) 	o \infty$ होता है। अतः,$g(x)$ का परिसर $[18, \infty)$ है। परिणामस्वरूप,$\sqrt{g(x)}$ का परिसर $[\sqrt{18}, \infty) = [3\sqrt{2}, \infty)$ है। अब,$\operatorname{Cos}^{-1}$ के तर्क $u = \frac{3}{\sqrt{g(x)}}$ पर विचार करें। चूंकि $\sqrt{g(x)} \geq 3\sqrt{2}$,इसलिए $0 अतः,$u \in (0, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ है। चूंकि $\operatorname{Cos}^{-1}(u)$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है,इसलिए $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(u)$ का परिसर $[\operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}), \operatorname{Cos}^{-1}(0))$ होगा। यह $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ के बराबर है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

वास्तविक मान वाले फलन $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{9x^2 - 12x + 22}}\right)$ का परिसर (range) ज्ञात कीजिए।

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