यदि f(x)=x^x है,तो वह अंतराल जिसमें f(x) ह्रा | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x^x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकल

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$\left[0, \frac{1}{e}\right]$

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(A) दिया गया है $f(x) = x^x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$।$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ है,इसलिए $f'(x) \leq 0$ का अर्थ है $1 + \ln(x) \leq 0$।इससे $\ln(x) \leq -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \leq e^{-1} = \frac{1}{e}$।चूंकि $f(x) = x^x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान है,वह $\left(0, \frac{1}{e}\right]$ है।दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही अंतराल $\left[0, \frac{1}{e}\right]$ है।

यदि $f(x)=x^x$ है,तो वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान (decreases) है,वह है

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उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x) = (x+1)^{3}(x-3)^{3}$ निरंतर वर्धमान या निरंतर ह्रासमान है।

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